基本不等式的变形及应用

1、基本不等式a2 b2 2ab的变式及应用不等式a2 b2 2ab是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用1十种变式aba2b2_ a b 2 ab ()；2a b、22 ab2（ ）;22若b 0，2则a2ab ;b1若a,b R ,(1)24abab上述不等式中等号成立的允要条件均为2 a b . 2(a2 b2)a2a,bR ,则114ab ab若ab0 ,则12 a1b2a bbm时等号成立）若 m, n R ,a,b R，则b2(a b)(当且仅当anm n(a b c)23

2、(a2b2c2（当且仅当a b c时等号成立）2、应用例 1、若 a,b,c Rc 2，求证：.a 1. b 1 c 14证法一：由变式得即.a 1HI 二理同b- 2VC匕止因C- 2 a- 24C- 2b- 21由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 a 1 .b 1 . c 1 4a2 b2评论：本解法应用“ ab”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是2一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功证法二：由变式得 a1 b 12(a 1b 1)同理：.c 11. 2(c_1一1).a 1.b 1、c112(ab 2). 2(c2). 2(a b c

3、 4).12 5故结论成立评论：本解法应用“ a b J2(a2 b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离 散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。证法三：由变式得( a 1. b 1、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15故.a 1. b 1. c 14 即得结论评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式，本变式的功 能可以将平方进行“分拆”与“合并”。本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个整平方，从而有效的去掉了根号。

4、例2、设 a,b,c R ，求证:ab.b . cJa Vb Jca证明：由变式得v'b2 . a , b， b=2勺 b Jc， 厂2i c Q aca三式相加即得：Vbbccaa、b 、c评论:本解法来至于“若ba20，则b2a b”这个变式将基本不等式转化成更为灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。2 2例3、实数a,b满足(a 4) (b 3)2，求a b的最大值与最小值解析：结合变式得2(a 4)2(b 3)2 (ab7)24343因此 、14 a b7.14 即 7,14 a b7.143.143.14a3a 3当且仅当3(a 4)4

5、( b3)、再结合条件得7及7时，分4. 14414b4b 477别获得最小值与最大值；评论：由a2m22 2b n2mnabn(m n)a2m(m n)b2mn (a2b)再结合个很特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一m, n R即得变式，这可是个特殊分式的关系，它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题，也为我们 处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径。例4、已知x, y (2,2)，且 xy 1，解析：由变式u44 x22X)(14(14x22 (T27)125上述两不等式当且仅当屮、再结合xy2时,_63取得最小值;评论：由a2 b22abb(a b) a(a b

6、)4ab结合a,b R ,两边同除以ab(a b)即得变式，本题两次使用基本不等式，第一次应用变式，第二次应用基本不 等式。值得注意的是两次等号成立的条件必须一致，否则，最值是取不到的。例5、当0 x a时，不等式 2x(a x)22恒成立，求a的最大值;解：由变式、得11(丄 1 )2x2 (ax)22 x a x14142 x(a x)2(X a x)2上述三个不等式中等号均在同一时刻8由笃 20 a 2a故a的最大值为2 ；x a x时成立评论：由(a b)24ab再结合a,b2R即得变式；又由ab22ab得2 2 2 2 2 1 2 2 22(a b ) (a b) b a (a b)结合ab 0 ,两边同除a b即得变式。本题的求解，虽然“廖廖几步”，但来之实在不易。首先这两个变式不一定大家都熟悉，其次,三次使用变式进行转化，必须保证等号在同一时