基本不等式知识点归纳

1、基本不等式知识点总结向量不等式:|a|-|b|< |a_b|w|a| |b|【注意】：a b 同向或有0= |a b|=|a|b| >|a|-|b|=|a-b|；彳呻中 H -I HH-4 h 4 Ha b 反向或有 0 |a-b|=|a|b| > |a| - |b|=|a b|；斗呻H h 44Hab不共线台|a|b|<|a±b|v|a| + |b|.(这些和实数集中类似) 代数不等式：a, b同号或有 0 = |a+b|=|a| + |bp |a| |b|=|a b|；a,b异号或有 Ou |ab冃a| + |bp |a| |b| =|a + b|.绝对值

2、不等式：aaa3 w a a a?a - b 兰 a b 兰 a + b (ab HO时，取等)双向不等式:|ab| 沖土b| w a+|b(左边当ab w 0(> 0)时取得等号，右边当 ab > 0(w 0)时取得等号.)放缩不等式:a b0, a m 0,则 口 / a m a a + m【说明】：ba a m(aAbAQmnO，糖水的浓度问题)【拓展】：a b 0, m 0,bdb a, b,c R ,，则一aca n 迂 N+, Jn +1- Vn < 尸 <2/nbb mn。则aa +mbdd;acc、.nn -1 ；：111111 n N ., n . 1

3、 ,2n n +1 n n 1n Inx w 1 -x (x 0) ,ex > x 1 (x R).函数 f (x)二 ax b (a、xb - 0)图象及性质(1)函数 f(x)a、b 0图象如图:函数f(x)a、b 0性质:值域:(：，-2 . ab 2、ab,：)；重要不等式1、和积不等式: 2 2a,bR = a b > 2ab (当且仅当a2 2【变形】：ab < (a b) 2< a b (当a = b时，(a b)2 2 2【注意】：、ab < -b (a, b 三 R )，ab < (a b) 2(a,b 三 R)2 2二b时取到2 a2 b

4、2=ab)2、均值不等式：两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系, 即平方平均 > 算术平均 > 几何平均 > 调和平均”2+-a b w、ab（当且仅当a = b时取2 2x - _2x1x2x则x+丄x（当且仅当x=1时取“=”）；（当且仅当X1时取“=”）_2即x 1 _2或x 1 <-2(当且仅当a二b时取“=”)xx*若ab 0，则a b _2（当且仅当a二b时取b a若 ab 鼻 0，贝U a> 2即卩 a + b 启 2或 a + b 兰-2b a（当且仅当a = b时取“=”）3、含立方的几个重要不等式（a3 b3 c

5、 3> 3abc3abc. abc wa、b、c为正数）：（a b c .0等式即可成立a b c 3二abcw（） w3a = b = c或 a b c = 0时取等); a3 b3 c 3当ab 0时，八种变式： ab乞a ba b、2T）；（屮a2 b2 a b 乞.2(a2 b2)；若b>0,则22a -b;b a>0,b>0,则丄-_4a b*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，女口：h ohoa b - 2ab同时除以ab得2或 1亠1一。b2则2存2*。b 2 a b最值定理(积定和最小)x, y 0,由x - y > 2丽，若积xy =

6、 P(定值)，则当x = y时和x y有最小值2、"p ；(和定积最大) 1 x, y 0,由x y > 2 xy，若和x y二S(定值)，则当x = y是积xy有最大值一 s2.4【推广】：已知x, y R，则有(x y)2 = (x _ y)2 - 2xy.(1) 若积xy是定值，则当|xy|最大时，|xy|最大；当|x y|最小时，|xy|最小.(2) 若和| x y |是定值，则当| x - y |最大时，| xy |最小；当| x - y |最小时，| xy |最大.1 1-+ - 已知a,x,b,yR ,若ax by = 1，则有则:的最小值为：1111byax2(

7、ax by)( ) = a b> a b 2、，ab = (#a . b)xyxyxya 已知，若x p则x+y和卩的最小值为：x+y二(x+y)(+2)二位+B十空+竺 羽+0+2、矗-(而+筋尸 1 '. .卩曲曲应用基本不等式求最值的凑系数(乘、除变量系数)凑项(加、减常数项)调整分子：例3求函数“八种变形技巧”：.例1.当0：x：；4时，求函的数 y = x(8-2x)最大值.51例2.已知x，求函数f (x) = 4x -2的最大值.44x-5x2 ：； 7x "10f(x) =( -1)的值域；x 1变用公式：基本不等式, ab有几个常用变形,2a2 b22

8、a2 b2(a b2 "( 2)2不易想到，应重视;例4.求函数连用公式:. i5y 二、2x-15-2x(x)的最大值；2 22 165.已知a b 0 ,求旳二a的最小值;b(a b)对数变换:16.已知x ，y -,且xy = e，求t = (2x)"y的最大值;三角变换:-n7.已知 0 ： y < x ，且 tan x 二 3tan y，求 t = xy 的最大值;常数代换(逆用条件)：例8.已知a 0,b 7,且a 21，求-的最小值. a b“单调性”补了“基本不等式”的漏洞： 平方和为定值若 X y2 = a （ a 为定值，a = 0），可设 x =

9、 . a cos ：, y =、a sin ：,其中 0 w : ： 2 二.f (x, y) =x y= . asin t 卜.；'a cos： = , 2a sin( )在0,- 2 )上是444增函数,15兀在-：上是减函数;44g(x, y)=xy asi n2：1357,上是减函数；4 44 4在0,丄二，冬上二,2二）上是增函数，在4444 m(x, y)Jx y xysin 二Mcos：.令 t = sin= “ cos：、.2a sin(),. a sin J cos ：4其中 t -、2, 1)U(-1,1)U(1, .由 t2 =1 2sin :cosa，得 2si

10、n a cos。=t2，从 而 m(x,y)；在-迈,-1)U(-1,1)U(1, V上是减函数.掐(t -1)掐(t)t和为定值若 x + y = b （ b 为定值，b 式 0 ）,贝U y = bx. g（x, y） =xy = x2 +bx在（皿,?上是增函数，在址）上是减函数；1 1 x + ybb m（x, y）2.当b 0时，在（-： ,0）,（0,上是减函数，在x y xy-x + bx2bbb?,b）,（b, ：）上是增函数；当b 0时，在（：，b）,（b,?上是减函数，在-,0）,（0 :）上 是增函数.2 222bb n（x, y）=x y =2x 2bx b在（-：，上

11、是减函数，在?,=：）上是增函数；积为定值c若 xy = c （ c为定值，chO）,贝U y=.xc f （x, y） = x y = x .当 c 0 时，在,；c ,0）,（3, 上是 减函数，在x（c, -、c, ：）上是增函数；当 C ： 0 时，在（©0）,（0, ：）上是增函数； m（x, y）二 10,）,（,七）上是增函数；当d 0时 d d1二-=1（x-）.当 c 0时，在c,0）,（0, c上是减函数,xy xy cx2 n(x, y) = x2 y2 = x2 冷x在（_：,_&,&,：）上是增函数；当C ： 0时，在（ = ,0）,（0,七）上是减函数； =（x c）1 10,1, -2c在（-：，- c）,（0,、, c上是减函数，在x(-、c,0, '-C, r)上是增函数.倒数和为定值1 1 2若(d为定值,x y d差为z，其中d1乙一d y2d f(X)=X *1_d2z20时，c.成等差数列且均不为零，可设公x十乙得%二d1-dz,y 一 1 dz在（：，-丄）,（-一,0上是减函数，d d，在（：）,（丄,0上是增函数，d d1 10,）,（ ,=）上是增函数；当d 0时 d d1 1-存石，d2 g(x, y) =xy亍.当 d 0 时，1 -d z在（一：,）,1,。上是减函数，d d