空间直线方程

1、第六节第六节空间直线及其方程空间直线及其方程空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程 0),(0),(zyxgzyxf )()()(tzztyytxx一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo)1(01111 dzcybxa)2(02222 dzcybxa1 2 l因此其一般式方程因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，( (不不唯一唯一) ):(212121不成立不成立ccbbaa ),(0000zyxm2. 对称式对称式( (点向式点向式) )方程方程故有故有mxx0 设直线上的动点为设直线上的动点为 则则),(zyxmny

2、y0 pzz0 此式称为直线的此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为也称为点向式点向式方程方程)s已知直线上一点已知直线上一点),(0000zyxm),(zyxm和它的方向向量和它的方向向量 , ),(pnms smm/0 pzzmxxyyn0000)4(,0被理解为被理解为则则如果如果 00)4(,000zzyypn被理解为被理解为则则如果如果)4(,),(的方向向量的方向向量称为直线称为直线 lpnms ,的方向数的方向数称为称为lpnm. )()(方向余弦方向余弦的方向角的方向角也称为也称为方向余弦方向余弦的方向角的方向角ls:交面式方程的方向向量交面式方程的方向向量. ),(),(

3、22211121cbacbanns)()(201022221111dzcybxadzcybxa1n2nsl1 2 ),(1111cban ),(2222cban 3. 参数式方程参数式方程设设得参数式方程得参数式方程 :tpzznyymxx 000tmxx 0tnyy 0tpzz 0取不同的取不同的 t , 就对应到直线上的不同的点就对应到直线上的不同的点.3221211 zyxzyx与平面与平面求直线求直线例例1:的交点的交点.解解: 2221tztytx由直线的参数方程由直线的参数方程代入平面得代入平面得: :, 1,32221 tttt)4 ,3,2( 交点为交点为例例2. .用对称式及

4、参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点先在直线上找一点. . 043201 zyxzyx632 zyzy再求直线的方向向量再求直线的方向向量2,0 zy令令 x = 1, 解方程组解方程组, ,得得交已知直线的两平面的法向量为交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点是直线上一点 .)2,0,1( 故故.s, )1,1,1(1 n)3,1,2(2 nxyzo1 2 l因为直线同时在两平面上因为直线同时在两平面上故所给直线的对称式方程为故所给直线的对称式方程为参数式方程为参数式方程为 tztytx32 41t41 x1 y32 z解题思路解题思路: 1. 1. 找直线上一

5、找直线上一点点; ;2. 2. 找直线的找直线的方向方向向量向量. .)3,1,4( 21nns 312111 kji21ns,ns 21nns 可以取可以取4、两点式方程、两点式方程, ),(, ),(11110000zyxmzyxm已知两点已知两点.,10mml过点过点直线直线)(存在唯一存在唯一l:的方向向量的方向向量l, ),(01010110zzyyxxmms:的方程的方程l010010010zzzzyyyyxxxx.的两点式方程的两点式方程这就是直线这就是直线 l0m1ml交面式方程只是其中交面式方程只是其中的平面有无穷多张的平面有无穷多张过直线过直线,l:,其余的平面是其余的平面

6、是的两张的两张)(的的称为过直线称为过直线 l022221111)()(dzcybxadzcybxa )(是任意实数是任意实数 )(3.)3(1:式确是平面的方程式确是平面的方程检验检验, )3(, )2( , )1(2必满足必满足上的点满足上的点满足直线直线 l.)3(式确定的平面内式确定的平面内在在从而从而l:注注:,)3(但缺一张但缺一张的所有平面的所有平面式中包括了过式中包括了过 l02222dzcybxa平面束平面束.)2,0,1(, )1,2,1(.310的平面束方程的平面束方程写出过写出过例例 mm:,.10的方程的方程的直线的直线过过解解lmm,312221 zyx 31212

7、221:zxyx改成交面式改成交面式 012301:zxyx整理得整理得:所求平面束为所求平面束为01231)()(zxyx .012)31( zyx即即.为任意实数为任意实数 的坐标为的坐标为点点已知直线已知直线例例pzyxzyxl,0101:.4 . )3,2,1( 作平面作平面和直线和直线过点过点lp:.作平面束作平面束过过解解l011)()(zyxzyx 0)1()1()1()1( zyx即即必须必须点点所求平面过所求平面过,p01312111)()()()( 31 032323234zyx.012 zyx即即.的方程的方程这就是平面这就是平面 2l1l二、线面间的位置关系二、线面间的

8、位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角则两直线夹角 满足满足 两直线的夹角指其方向向量间的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角( (通常取通常取锐角锐角) )212121ppnnmm 212121pnm 222222pnm 2121cosssss 1s2s直线直线:1l,111111pzznyymxx 直线直线:2l,222222pzznyymxx 两直线的平行与垂直两直线的平行与垂直,:1111111pxxnyymxxl.:2222222pxxnyymxxl2121ssll/212121ppnnmm2121ssll.0212121ppnnmm例例4. . 求以下两直线的夹角求以

9、下两直线的夹角解解: 直线直线直线直线二直线夹角二直线夹角 的余弦为的余弦为13411:1 zyxl 0202:2zxyxl cos 22 从而从而4 的方向向量为的方向向量为1l的方向向量为的方向向量为2l)1,2,2( )1(1)2()4(21 2221)4(1 222)1()2(2 )1,4,1(1 s2010112kjis :这样定义这样定义的夹角的夹角与平面与平面直线直线 l内内与它在平面与它在平面直线直线不垂直时不垂直时与与当当 ll ,.2,; 时时垂直于垂直于当当投影的夹角投影的夹角lls n20 2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 ls nls n snsn cossin

10、222222pnmcbacpbnam 22202直直直线与平面的平行与垂直线与平面的平行与垂.:0dzcybxa nsl /.cpbnamnsl/ ,0cpbnam,:pxxnyymxxl000 010404:.5yxzxl已知直线已知直线例例,122: zyx平面平面. 的夹角的夹角与平面与平面求直线求直线 l的方向向量的方向向量直线直线解解l., ),(),(),(141014101s, )2,1,2( n的法向量的法向量平面平面snsn sin1161414242,924298.arcsin924 解解: 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1n

11、s ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程综合题综合题1. 求过点求过点( -3, 2, 5)且与两平面且与两平面x-4z=3 和和 2x y - 5 z=1 的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.01022)1,2,1(.2 zyxm在平面在平面求点求点.的坐标的坐标内的垂足内的垂足 pmpn . )2,2,1(. n的法向量的法向量解解.的方向向量的方向向量它也是直线它也是直线 mp,212211 zyxmp 的方程为的方程为直线直线 tztytx21221:改写成参数方程改写成参数方程:代入平面方程得代入平面方程得,010)21

12、(2)22(2)1( ttt,31 t解得解得:点的坐标点的坐标代入参数方程得垂足代入参数方程得垂足 p.35,38,34 ., 解解方方程程组组方方程程联联立立或或者者将将平平面面和和直直线线解解:由由m点向已知直线作垂线点向已知直线作垂线, 设垂足为设垂足为n,令令tzyx 12131. 1213 tztytx3. 求过点求过点m(2,1,3)且与直线且与直线l12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程.m(2,1,3)n), 12, 13(tttn 设设lmn :显然显然0)3(22)33(3 ttt0 lmn得得73 t因此因此)73,713,72( n取所求直线的方向向量

13、为取所求直线的方向向量为mnmn373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyxm(2,1,3)n设所求直线与设所求直线与的的交点为交点为b,2l2l) 1 , 2 , 1 (ab)1 ,2,1(a,11231:1 zyxl12:2 zyxl相交相交, ,求此直线方程求此直线方程 .4.4.一直线过点一直线过点 且垂直于直线且垂直于直线 又和直线又和直线记为记为(2t , t, -t ) ab则则)1, 2, 12( ttt又因为直线又因为直线ab要垂直于直线要垂直于直线l10)1()2(2)12(3 ttt78 t)715,76,79( ab512231 zyx由由点向式点向式得所求得所求直线方程直线方程解：解：.04201)2,1,3(.5的距离的距离到直线到直线求点求点 zyxzyxlp 0pphls, )2,0,1(.0pl上取一点上取一点在在解解, )0,1,2(0 pp则则112111 kjisl的方向向量的方向向量, ),(330 sinppph0sspp0),(),(),(110110012110221),(29.223 phd所求距离所求距离, )1,1,0( s取取 0923042:.6zyxzyxl求直线求直线.14:的方程的方程上的上的在平面在平面 zyx投