空间直线及其方程

1、2011.2.6北京工商大学8-6-18.6 空间直线及其方程空间直线及其方程空间直线的各种方程空间直线的各种方程两直线的夹角两直线的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角小结小结 思考题思考题 作业作业2011.2.6北京工商大学8-6-2一、空间直线的各种方程形式1. 空间直线的一般形式空间直线的一般形式1 2 定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线. 222221111100 dzcybxadzcybxa空间直线的空间直线的一般式方程一般式方程l注注;)1(222111不不成成比比例例、与与、cbacba(2) 直线直线l的一般方程形式不是唯一的的一般方程形式不是唯

2、一的.空间直线及其方程空间直线及其方程xyzol(1)2011.2.6北京工商大学8-6-32.对称式对称式点向式方程点向式方程定义定义 如果一非零向量平行于一条如果一非零向量平行于一条sl0m m 一条直线一条直线可以可以有许多有许多方向向量方向向量.已知直线已知直线, 称此向量为该直线的称此向量为该直线的方向向量方向向量. .s空间直线及其方程空间直线及其方程xyzo),(0000zyxm设一直线过设一直线过 ， 其方向向量为的其方向向量为的),(pnms 求此直线方程。求此直线方程。2011.2.6北京工商大学8-6-4pzznyymxx000 直线的直线的对称式方程对称式方程而方向而方

3、向且且smm0/( (点向式、标准式点向式、标准式）空间直线及其方程空间直线及其方程的的直直线线l称称为为、的的三三个个坐坐标标pnms方向数方向数. .向量的余弦称为该直线的方向余弦。向量的余弦称为该直线的方向余弦。l)z , y,x(m 解解),(0000zzyyxxmm 因为因为(2)2011.2.6北京工商大学8-6-5 0000 xxpzznyy直线的方向数直线的方向数m,n,p 可以等于可以等于0,当当m=0时时,空间直线及其方程空间直线及其方程注意注意 直线的方程可表示为直线的方程可表示为 0000 xxyy当当m=n=0 时时,直线的方程可表示为直线的方程可表示为2011.2.

4、6北京工商大学8-6-63. 直线的参数方程直线的参数方程求直线与平面的交点时常用此。求直线与平面的交点时常用此。tpzznyymxx 000设设为参数为参数ttpzztnyytmxx 000直线的直线的参数式方程参数式方程故故 ),(pnms 空间直线及其方程空间直线及其方程(3)2011.2.6北京工商大学8-6-74. 空间直线的两点式空间直线的两点式),(),(22221111zyxmzyxm设一直线过两点设一直线过两点 ，则此直线的方程为则此直线的方程为: 121121121zzzzyyyyxxxx 直线的直线的两点式方程两点式方程 由直线的对称式得由直线的对称式得pzznyymxx

5、000 ),(121212zzyyxx 21mm空间直线及其方程空间直线及其方程(4)直线方程的几种形式可以互相转换直线方程的几种形式可以互相转换.2011.2.6北京工商大学8-6-8 例例解解取取所求直线方程为所求直线方程为 11xpzznyymxx000 m1 m2s求过两点求过两点m1(1,2,3),m2(2,6,5)的直线方程的直线方程.向量向量21mm与直线平行与直线平行)2 , 4 , 1( s 21mm 42y23 z 过两点作直线过两点作直线空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-9解解 交点为交点为),0, 3, 0( b取取bas ),4, 0

6、, 2( 所求直线方程所求直线方程 22x. a. bs,),4 , 3, 2(轴垂直相交轴垂直相交且和且和一直线过点一直线过点ya .求其方程求其方程例例 03y.44 z空间直线及其方程空间直线及其方程xyzo2011.2.6北京工商大学8-6-10可将对称式方程拆为一般方程可将对称式方程拆为一般方程如对称式方程为如对称式方程为111101 zyx可写成一般方程可写成一般方程 可将直线的对称式方程可将直线的对称式方程又如又如110101 zyx注注 )0( zy即即可写成一般方程可写成一般方程pzznyymxx000 01 x11 zy 1 x1 y化为一般方程吗化为一般方程吗 各类直线方

7、程的互换各类直线方程的互换空间直线及其方程空间直线及其方程xyzo112011.2.6北京工商大学8-6-11直线的一般方程如何化为对称式方程直线的一般方程如何化为对称式方程(1) 用代数的用代数的消元法消元法化为比例式化为比例式; (2) 在直线上找一定点在直线上找一定点,再求出方向向量再求出方向向量, (重要重要)即写出对称式方程即写出对称式方程.空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-12写成比例式写成比例式,7351 zyx例例 0220123zyxzyx将将解解 法一法一 0220123zyxzyx(1)(2)015 yx037 zx)2(2)1( )2(

8、)1( . z可消去可消去. y可可消消去去两个方程中两个方程中, 每一个只有两个变量每一个只有两个变量,共同的变量共同的变量即得即得对称式方程对称式方程.化为对称式方程化为对称式方程.解出解出x.空间直线及其方程空间直线及其方程此直线上一定点为此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为方向向量为(1,5,7)2011.2.6北京工商大学8-6-13先求直线上一定点先求直线上一定点: 于是得直线上的一定点于是得直线上的一定点取取 21nns对称式方程对称式方程7578173zyx 将将 化为对称式方程化为对称式方程. 0220123zyxzyx 0220123zyxzyx,73 x,0 ,

9、78,73 因因所求直线与两平面的法向量都垂直所求直线与两平面的法向量都垂直. )1, 1 , 2()1 , 2, 3(2n1ns法二法二,0代入代入以以 z00)7 , 5 , 1(78 y空间直线及其方程空间直线及其方程1 2 ls2011.2.6北京工商大学8-6-14两个对称式方程两个对称式方程7351 zyx7578173zyx 实际上直线的对称式方程不唯一实际上直线的对称式方程不唯一.注意注意怎么不一样怎么不一样答答(当定点取得不同时对称式方程不同当定点取得不同时对称式方程不同).空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-15241312 zyx令令241

10、312 zyx得得62 zyx解解 tztytx243206)24()3()2(2 ttt1 t再代入再代入代入平面方程代入平面方程,求直线求直线例例与平面与平面的交点的交点.t 得得, 1 x, 2 y. 2 z空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-16解解 先作一过点先作一过点m且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 3再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点n,令令12131 zyx tztytx1213. m垂直相交垂直相交的直线方程的直线方程.12131)3 , 1 , 2( zyxm且与直线且与直线求过点求过点例例 n2 1 )2(

11、x)1( y)3( z0 t 空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-1773 t交点交点)73,713,72( n取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为mnmn)373, 1713, 272( )724,76,712( 直线方程为直线方程为451122 zyx0)3()1(2)2(3 zyx tztytx1213代入代入得得将将)3 , 1 , 2(m直线过点直线过点. m n空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-18定义定义直线直线:1l111111pzznyymxx 直线直线:2l222222pzznyymxx ),cos(

12、21ll两直线的两直线的方向向量的夹角方向向量的夹角称为称为两直线的夹角两直线的夹角.两直线的夹角公式两直线的夹角公式二、两直线的夹角二、两直线的夹角（锐角锐角）222222212121212121pnmpnmppnnmm 空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-19两直线的两直线的位置关系位置关系 21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 直线直线:1l直线直线:2l),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例例.21ll 即即(两直线两直线垂直、平行的条件垂直、平行的条件

13、):1l:2l),(1111pnms ),(2222pnms 空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-20 1.与与直线直线及及112211 zyx都平行且过原点的都平行且过原点的平面方程平面方程为为( ).例例 tztyx2110 zyx提示提示平面过原点平面过原点由点法式方程即可得由点法式方程即可得.法向量法向量)1 , 1, 1( )1 , 2 , 1()1 , 1 , 0( n空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-212.垂直的垂直的且与直线且与直线过点过点 1432)1, 2 , 1(tztytx).(平平面面方方程程是是04

14、3 zyx3.130211:1 zyxl过直线过直线且且平平行行于于).(11122:2的平面方程为的平面方程为直线直线zyxl 023 zyx 提示提示)3 , 2 , 1(点点)1 , 3, 1()1 , 1 , 2()1, 0 , 1( 21ssn)1 , 3 , 1( n 提示提示空间直线及其方程空间直线及其方程 2011.2.6北京工商大学8-6-22与与两两直直线线182511:1 zyxl).(326:2的夹角为的夹角为与与 zyyxl6. a4. b3. cc2. d 提示提示22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 两直线的夹角公式两

15、直线的夹角公式:4.)2 , 1, 1( )1 , 2 , 0()0 , 1, 1( 2s)1 , 2, 1( 1s空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-23解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为),(pnms ,1ns ,2ns 取取21nns ),1, 3, 4( .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.和和且且与与两两平平面面求求过过点点34)5 , 2 , 3( zx152 zyx 过已知直线外一点作直线与已知直线平行过已知直线外一点作直线与已知直线平行空间直线及其方程空间直线及其方程 2

16、011.2.6北京工商大学8-6-24直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 定义定义20 ,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax ),(pnms ),(cban 2),(ns 2),(ns三、直线与平面的夹角三、直线与平面的夹角 sin 2cos空间直线及其方程空间直线及其方程称为该直线与平面的夹角称为该直线与平面的夹角.2cos 222222|pnmcbacpbnam 直线与平面夹角公式直线与平面夹角公式2011.2.6北京工商大学8-6-25直线与平面的直线与平面的)1()2(/(直线与平面垂直、平行的充要条件直线与平面垂直、平行的充要条件);

17、pcnbma . 0 cpbnam ll 位置关系位置关系空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-26解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sinpnmcbacpbnam 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角.,21121: zyxl设直线设直线例例, 32: zyx 平面平面求直线与平面的夹角求直线与平面的夹角.空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-27,031020123 zyxzyxl为为设直线设直线1995,数学一考研选择数学一考研选择,(3分分).(, 0

18、224则则为为平平面面 zyx 平行于平行于la. .上上在在 lb 垂垂直直于于lc.斜斜交交与与 ld.c),(pnms / 提示提示)7,14,28( )1 , 2, 4( 空间直线及其方程空间直线及其方程)10, 1, 2()2 , 3 , 1( 2011.2.6北京工商大学8-6-28平面束的方程平面束的方程设有两块设有两块不平行不平行的平面的平面其中系数不互相其中系数不互相成比例成比例交成一条直线交成一条直线l过直线过直线l的所求全体平面的所求全体平面 平面束平面束)1(0:11111 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa作作(3)表示过直线表示过直线l的平面的平面)(2 除除0)(2222 dzcybxa1111dzcybxa )3()2(0:22222 dzcybxa 空间直线及其方程空间直线及其方程2011.2.6北京工商大学8-6-29解解想一想想一想 还有别的方法吗还有别的方法吗?试比较哪种方法试比较哪种方法简单简单?的的和点和点求过直线求过直线)1, 1 , 1(010 zyxzyx.平平面面方方程程)1(0)1( zyxzyx