第2章解析函数PPT课件

1、第2章 解析函数By By 付小宁付小宁 1.1.1复变函数的导数 定义定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义，当变量 在点 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量 若极限 （或 ） （2.1） 存在，则称 在点 处可导，)(zf0zDz0zz)(0Dzz)()(00zfzzfw)(zfzzfzzfz)()(lim000000( )()limzzf zf zzz)(zf0z1 解析函数的概念 此极限值称为 在点 处的导数，记作 或 ，即 如果函数 在区域区域 内每一点都可导，则称 在 内可导. 如果函数 在曲线曲线 L上每一点都可导，则称 在 L上可导. )(zf0z)(0zf 0zzdw

2、dz000()()limzf zzf zz 0()fz0zzdwdz)(zfD)(zfD)(zf)(zf 例例1 求函数 的导数（ 为正整数）. 解解 因为 所以，由导数定义有 ( )nf zzn0()()nnkkn knkzzC zznnnnnnnnnnzzCzzCzzCz)()()()(22211( )fzzzzzznnzn)(lim)(0)()(lim112110nnnnnnzzCzzCz1nnz例例2 是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴的直线趋向于轴的直线

3、趋向于沿着平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 yxyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 1.1.2 可导与连续的关系 若函数 在点 处可导，则 在点 处必连续. 当w为常数时,连续函数可导. 证证因为 知 ，故 在点 处连续. )(zfw 0z)(zf0z0000)()()(lim)()(lim00zzzfzfzzzfzfzzzz000)()(lim)(lim00zzzfzfzzzzzz0)

4、(00zf)()(lim00zfzfzz)(zf0z 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来到复变函数中来, 且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn 1.1.3 导数

5、运算法则 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中 例例3 求下列函数的导数. （1） （2） 解解 （1） （2） 52)2()(izzf)0()1 ()(242zzzzf( )fz4242)2(204)2(5izzziz2 3232(1) (31)zzz2332444(

6、1) 22 (1)( )zzzzfzz 例例4 设 . 解解 因为 所以 ( )f z )(,)42(22ifzz求( )fz)22()42(22zzz2)(24)(2)(2)(2iiiif)1)(23(4iii204 复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )(

7、 )(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数定义定义21.1.4 复变函数的微分. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf1. 2 解析函数的概念1.2.1 解析函数的定义解析函数的定义.

8、 )( , )(000解析解析在在那末称那末称导导的邻域内处处可的邻域内处处可及及在在如果函数如果函数zzfzzzf).( )( .)( ,)(全纯函数或正则函数全纯函数或正则函数个解析函数个解析函数内的一内的一区域区域是是或称或称内解析内解析区域区域在在则称则称内每一点解析内每一点解析区域区域在在如果函数如果函数DzfDzfDzf1.2.2 奇点的定义奇点的定义.)( , )(00的奇点的奇点为为那末称那末称不解析不解析在在如果函数如果函数zfzzzf根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处

9、解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等不等价价的概念的概念. 即函数在一点处可导即函数在一点处可导, 不一定在该点不一定在该点处解析处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.例例5 .)( 2)(,)( 22的解析性的解析性和和研究函数研究函数zzhyixzgzzf 解解由本节知识可知由本节知识可知: ; )( 2在复平面内是解析的在复平面内是解析的zzf ; 2)(处处不解析处处不解析yixzg , )( 2的解析性的解析性下面讨论下面讨论zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz

10、 , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趋于趋于沿直线沿直线令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 11 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义不可导不可导而在其他点都而在其他点都处可导处可导仅在仅在因此因此 zzzh例例6.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 解解 , 0 1 处处可导处处可导在复平面内除在复平面内除

11、因为因为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外处处解析外处处解析在复平面内除在复平面内除所以所以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z例例7.)Re()( 的可导性与解析性的可导性与解析性研究函数研究函数zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 处可导处可导在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()()Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因为因为,)()

12、(lim 00 xzzzfzzfxy . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义可导可导而在其他点都不而在其他点都不处可导处可导仅在仅在因此因此 zzf , )( , 0 不可导不可导时时即当即当zfz 课堂练习课堂练习.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 答案答案处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .定理定理 . )( )( )( )1(内解析内解析在在除去分母为零的点除去分母为零的点和、差、积、商和、差、积、商的的与与内解析的两个函数内解析的两个函数在区域在区域DzgzfD

13、. )( , )( , . )( , )( )2(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法则可利用求导法则.根据定理可知根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它的奇点它的奇点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的区域内是解析零的点的区域内是解析在不含分母为在不含

14、分母为任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzP 2 函数解析的充要条件 2. 1 回顾解析函数 2.1.1 如果函数 不仅在点 处可导，而且在点 的某邻域内的每一点都可导，则称 在点 处解析，并称点 是函数的解析点；如果函数 在区域 内每一点都解析，则称 在区域 内解析或称 为区域 内的解析函数，区域 称为的 解析区域. 0z)(zfD0z)(zf0z0z)(zf)(zfD)(zfDD)(zf 如果 在点 处不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点,则称 为 的奇点. 问题问题：有函数在曲线上解析、曲线外不解析？)(zf0z0z)(zf0z)(zf 2.1.2. 解析函数的运算性质：（

15、1）若函数 和 在区域 内解析，则 、 、 在 内也解析；（2）若函数 在区域 内解析，而 在区域 内解析，且 ，则复合函数 在 内也解析，且.)(zf( )g zD( )f z ( )g z( )( )f zg z( )( ( )0)( )f zg zg zD)(hfw G( )hg z()g DG ( )wf g zD ( )( )( )df g zdf hdg zdzdhdz.D 2.2 函数解析的充要条件 定理一 设函数 在区域 内有定义，则 在 内解析的充分必要条件为 在 内任一点 处 （1）可微； （2）满足 上式称为柯西黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称CR

16、条件（或方程）. ),(),()(yxivyxuzfD)(zf, u vzxiyDD,uvxyxvyu定理1的证明（必要性）：导数的定义，可得：，则由处可导，把记为在设ibazfiyxzzf)( )(|)(|)( |)(|)()()(zoyixibazozibazfzzf实部和虚部整理得：。按，其中yixzviuzfzzf)()(；|)(|),(),(zoybxayxuyyxxu(,)( , )(|)v xx yyv x yb xa yoz ；xvyuyvxu 程成立：方处可微，并有在及因此，RCyxyxvyxu),(),(),(程成立，则有方处可微，并有在及设RCyxyxvyxu),(),(

17、),(；|)(|),(),(zoyyxuxyxuuyx；|)(|),(),(zoyyxvxyxvvyx:方程可得由RC ；|)(|)(,(),(zoyixyxivyxuviuwxx所以ibayxivyxuxxzwz),(),(lim0处可导。在即iyxzzf)(定理1的证明（充分性）： 定理二 函数 在区域 内解析的充要条件为 （1） 在 内连续； （2） 在 内满足CR条件 ，),(),()(yxivyxuzfD,uuvvxyxyD, u v,uvxyxvyuD例1 讨论下列函数的可导性和解析性：).sin(cos)( (3). ;|(2). );Re(.12yiyezfzwzwx）（，且，

18、）因为解：（01vxu0 0 0 , 1yvxvyuxu.,)Re(从而不解析导可在整个复平面内处处不所以立，方程在整个复平面不成所以zwRC且，所以、, 0|)2(22222vyxuyxzw0 02y ,2yvxvyuxux不解析。，因此，在整个复平面上不可导。，；可导，在方程成立，所以处只有在点)()(00)( 0)()0 , 0(zfzfzzfzzfR且，所以因为,sincos)sin(cos)( (3).yevyeuyiyezfxxxcosy, siny, siny, ,cosyxyvxxvxyuxxueeee在整个复平面内解析；方程成立，所以四个偏导数连续，并且)(R-Czf).()

19、sin(cos)( zfyiyexvixuzfx事实上，解解例例2 ? )( , , , , ),()(2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求例例3. )( , )( 内为一常数内为一常数区域区域在在则则内处处为零内处处为零在区域在区域如果如果DzfDzf 证证xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvx

20、u故故 , , 常数常数常数常数所以所以 vu . )( 内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzf参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明: . , )( 则以下条件彼此等价则以下条件彼此等价内解析内解析在区域在区域如果如果Dzf ;)( )1(恒取实值恒取实值 zf; 0)()2( zf ;)( )3(常数常数 zf ;)( )4(解析解析zf ;)(Re )5(常数常数 zf ;)(Im )6(常数常数 zf;)7(2uv .)( arg )8(常数常数 zf例例4 4. , , ),( ),( 0,)( , )(2121为常数为常数其中其中必相互正交必相互正交与与那末曲线族

21、那末曲线族且且为一解析函数为一解析函数设设cccyxvcyxuzfivuzf 证证 )( zf因为因为, 01 yuiyv , 不全为零不全为零与与所以所以yuyv , 都不为零都不为零与与如果在曲线的交点处如果在曲线的交点处yuyv 根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,线的斜率分别为线的斜率分别为中任一条曲中任一条曲与与曲线族曲线族 ),( ),( 21cyxvcyxu ,21yxyxvvkuuk 根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得 yxyxvvuukk21, 1 yyyyvuuv . ),( ),( 21相互正交相互正交与与故曲线族故曲线族cyxvcyxu . , , , , 它们仍然

22、相互正交它们仍然相互正交一条是铅直的一条是铅直的另另的切线一条是水平的的切线一条是水平的两族中的曲线在交点处两族中的曲线在交点处则另一个必不为零则另一个必不为零中有一个为零中有一个为零和和如果如果yyvu一、指数函数1.指数函数的定义指数函数的定义: )( 个条件个条件在复平面内满足以下三在复平面内满足以下三当函数当函数zf;)( (1)在复平面内处处解析在复平面内处处解析zf);()( (2)zfzf ).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx 其中其中时时当当)sin(cosexp ,yiyezzx 记为记为的指数函数的指数函数此函数称为复变数此函数称为复变数2.3 初等函数指数

23、函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式: )(,2)(expArg,|exp|为任何整数为任何整数其中其中kkyzezx . exp 来表示来表示可以用可以用指数函数指数函数zez)sin(cosyiyeexz . exp , 的符号的符号只是代替只是代替没有幂的意义没有幂的意义注意注意zez2. 加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 证证 , , 222111iyxziyxz 设设21expexpzz 左端左端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyy

24、yyexx )sin()cos(212121yyiyyexx .)exp(21右端右端 zz , exp ,的周期性的周期性可以推出可以推出根据加法定理根据加法定理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(为任何整数为任何整数其中其中k . 所没有的所没有的该性质是实变指数函数该性质是实变指数函数xe例例5 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;

25、22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 例例6 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:).20()5(;)4(;)3(;)2(;)1(4343322 iiiiiieeeeee )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeeexiyxz )(2Arg为整数为整数kkyez .,(- arg 内的一个辐角内的一个辐角为区间为区间其辐角主值其辐角主值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3a

26、rg32 ie ,24Arg43 kei;24arg43 ie ,24Arg43 kei;24arg43 ie iiee )5(;)3(43ie ;)4(43ie )sin(cossincos ii )sin(sin)cos(cos i2sin2cos22sin2sin2 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i ,20 因为因为, 02sin . 的三角表示式的三角表示式上式就是复数上式就是复数 iiee )( Arg iiee 所以所以,22k ,时时当当 )(arg iiee ,2 ,时时当当 )(arg iiee .22 例例7 的周期的周期求函数求函数. )

27、( 5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函数故函数.10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 二、对数函数1. 定义定义4.ArglnLn , )( )0( zizzwzfwzzew 记为记为称为对数函数称为对数函数的函数的函数满足方程满足方程 .2 , )( , Arg的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也是多值函数也是多值函数所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于izfwz ,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果将如果将 . Ln ln Ln 的主值的主值称为称

28、为，记为记为为一单值函数，为一单值函数，那末那末zzz.arglnlnzizz 其余各值为其余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz. Ln , , 的一个分支的一个分支称为称为上式确定一个单值函数上式确定一个单值函数对于每一个固定的对于每一个固定的zk特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是实变数对数函数是实变数对数函数的主值的主值时时当当xzzxz 例例8 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整

29、数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.例例9解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k例例10解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k.6232ln ki),

30、2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln2. 性质性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处可导处处可导和其它各分支处处连续和其它各分支处处连续主值支主值支的复平面内的复平面内包括原点包括原点在除去负实轴在除去负实轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 证证 (3) , iyxz 设设,0时时当当 x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,处处连续处处连续在

31、复平面内其它点在复平面内其它点除原点与负实轴除原点与负实轴所以所以z , ln arg是单值的是单值的内的反函数内的反函数在区域在区域zwzezw wezzwdd1dlnd 证毕证毕.1z 三、乘幂 与幂函数ba1. 乘幂的定义乘幂的定义 , , , Lnabbeaba定义为定义为乘幂乘幂复数复数为任意一个为任意一个为不等于零的一个复数为不等于零的一个复数设设 . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值的由于由于bakaiaa , )1(为整数时为整数时当当b Lnabbea )2arg(ln kaiabeikbaiabe 2

32、)arg(ln ,lnabe .具有单一的值具有单一的值ba ,0) ,( )2(时时为互质的整数为互质的整数与与当当 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 个值个值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 时相应的值时相应的值即取即取 qk特殊情况特殊情况: ,)( )1时时正整数正整数当当nb Lnannea LnLnLnaaae ) (项项指数指数 n LnLnLnaaaeee ) (个个因子因子 n.aaa ) (个个因子因子 n ,)( 1 )2时时分数

33、分数当当nb Ln11annea nkainkaean2argsin2argcos ln1 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中; , bzwza 就得到一般的幂函数就得到一般的幂函数为一复变数为一复变数如果如果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的反函数的反函数及及数数就分别得到通常的幂函就分别得到通常的幂函时时与与当当例例1111 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2,

34、 1, 0 k其中其中答案答案课堂练习课堂练习.3)( 5 计算计算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik例例1212 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii 2. 幂函数的解析性幂函数的解析性 , )1(的的在复平面内是单值解析在复平面内是单值解析幂函数幂函数nz .)(1 nnnzz . , )2

35、(1个分支个分支具有具有是多值函数是多值函数幂函数幂函数nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的内是解析的, ,) 1 ( (3)也是一个多值函数也是一个多值函数两种情况外两种情况外与与除去除去幂函数幂函数nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是无穷多值的是无穷多值的为无理数或负数时为无理数或负数时当当b四、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义,sincos yiyeiy 因为因为

36、,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况.,2cos izizeez 我们定义余弦函数为我们定义余弦函数为.sin数数为为iz-ize -e z =2i正正弦弦函函.cos , sin ,是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .2 为周期的为周期的是以是以正弦函数和余弦函数都正弦函数和余弦函数都

37、例例1313 . 5sin)( 的周期的周期求求zzf 解解,sin)2sin( zz 因为因为,5sin)25sin( zz 所以所以 525sin)25sin( zz又因为又因为,5sin525sin zz 所以所以 .52 5sin)( 的周期是的周期是故故zzf有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyix

38、yixyix正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz , 时时为纯虚数为纯虚数当当yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhcoscoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .cos ,sin , yiyiy时时当当( (注意：这是与实变函数完全不同的注意：这是与实变函数完全不同的) )其他复变数三角函数的定义其他复变数三角函数的定义,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz

39、 余切函数余切函数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数 . , , , cos sin 解析性解析性奇偶性奇偶性周期性周期性我们可以讨论它们的我们可以讨论它们的类似类似和和与与zz例例1414 . tan 的实部与虚部的实部与虚部确定确定z解解zzzcossintan , iyxz 设设)cos()sin(yixyix yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin .sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222y

40、xyiyxx )Re(tanz )Im(tanz 例例1515解解 , iyxz 设设 . 1sinhsin iz 解方程解方程)sin(sinyixz yxiyxsinhcoscoshsin , 1sinhi 0,coshsin yx故有故有1sinsinhcos yx, 0cosh y因为因为, 0sin x所以所以, kx代入代入将将 kx1sinsinhcos yx, 1sinh)1(sinhky , 3, 1, 1, 4, 2, 0, 1kky, 2, 1, 0,)12(,2 nininz即即例例1616 . )3tan( )1(cos 的值的值和和求求ii 解解2)1cos()1(

41、)1(iiiieei 211iiee )1sin1(cos)1sin1(cos211ieie 1sin)(211cos)(2111ieeee . 1sinh1sin1cosh1cosi )3cos()3sin()3tan(iii iiiisin3sincos3cossin3coscos3sin 1sinh3sin1cosh3cos1sinh3cos1cosh3sinii 22)1sinh3(sin)1cosh3(cos)1cosh3sin1cosh3)(cos1sinh3cos1cosh3(sin ii1sinh3sin1cosh3sin1cosh3sin1cosh3cos1sinh1cosh3cos3sin22222222 i.)3(sin2)1(cosh22sin6sin22 i2. 双曲函数的定义双曲函数的定义,2cosh zzeez 为为我们定义双曲余弦函数我们定义双曲余弦函数,2sinh zzeez 双曲正弦函数为双曲正弦函数为.zzzzeeeetanhz 双曲正切函数为双曲正切函数为. , 的定义完全一致的定义完全一致函数函数它与高等数学中的双曲它与高等数学中的双曲时时为实数为实数当当xz.cosh , sinh ,是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数容易证明容易证明zz它们的导数分别为它们的导数分别为,cosh)(sinhzz 并有如下公