极坐标与参数方程的主要知识点

1、极坐标与参数方程的主要知识点1、 极坐标与直角坐标系的互化设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为 ( x, y) ，极坐标 ( , ) ，由下图可知下面的关系式成立：x_2_或y_tan2、 直线的参数方程：x_siny y0x x0ty( y y0 ) k (x x0 )( x x0 )cos_cossin3、 圆的参数方程： ( x a) 2( y b)2r 2x_y_4、 椭圆的参数方程：中心在坐标原点焦点在x_X 轴上：_yx2y21 ：x_5、 双曲线的参数方程：b2y_a26、 抛物线的参考方程： y22 px ( p0) ：x_y_7、 设点 p(x, y) 事平面直角坐标系中的

2、任意一点，在变换x '_(0):_(的作用y '0)下，点 p( x, y) 对应到点 p '(x ', y') ，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。相关公式：1、 点 p( x0 , y0 ) 到直线 L : Ax By C 0( A2B20) 的距离公式：dA0 xB0 yCA2B2sin()sincoscossin2、)sincoscossinsin(2、 辅助角公式：asinb cosa2 b2?sin()(其中 tanb )a常用：sincos2 sin()4sin3 cos2sin(3)3 sincos2sin(6)3、 两点

3、间的距离公式：p1( x1, y1), p2 ( x2 , y2 )p1 p2(x1x2 )2( y1y2 )2极坐标与参数方程学案例1在极坐标系中，点A 和点B的极坐标分别为(2,)和(3,0) ， O 为极点，则3AB =_.例2已知直线的极坐标方程为?sin()2，求点 A(2, 7) 到这条直线的距离。424例3已知曲线 C1, C1 的极坐标方程为cos3,4cos(0,0) ，则曲线2C1与 C1 的交点的极坐标为_ 。例4把下列的参数方程化为普通方程：x1 sin 2( 为参数)x2cos（1）2（2）( 为参数)ysincosy2sin3x4kx12tk 2(t为参数 )1（3

4、）1（ 4）4k2 ( k为参数 )y3t2yk21例5已知点P(x, y) 是圆 x2y26x 4y 12 0 的动点，求：（ 1） x2y2 的最值；（ 2） xy 的最值；（ 3）求点 P 到直线 x y10 的距离 d 的最值。例6已知曲线x4cos t为参数 ，x8cos为参数） ;C1:(t) C2:y(y3 sin t3sin（ 1）化 C1 ， C2 的方程为普通方程，并分别说明他们表示什么曲线；（ 2）若 C1 上的点 P 对应的参数为 t， Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线2C3 :x32t(t为参数 ) 距离的最小值。y2t例 7（本题 10 分）在直角

5、坐标系中，曲线C1x4cos的参数方程为( 为参数 ) 以坐y3sin标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为sin() 524（）分别把曲线C1与 C2 化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线（）在曲线C1 上求一点 Q ，使点 Q 到曲线 C2 的距离最小，并求出最小距离例 8. 已知曲线 C 的极坐标方程为4sin，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立x1 t ,平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），求直线 l 被曲线 C 截得的3y t 12线段的长度例 9.

6、(2013 年全国二卷)选修 4-4: 坐标系与参数方程已知动点）， M 为P，Q 都在曲线C:PQ 的中点。（ t为参数）上，对应参数分别为t=a与t=2a（ 0<a<2(I) 求 M 的轨迹的参数方程 :(II)将 M 到坐标原点的距离d 表示为 a 的函数， 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.例 10.（ 2013 年全国一卷）选修 4 4：坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程为x=4+5costx 轴的正半轴为（ t 为参数），以坐标原点为极点，y=5+5sint极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =2sin。（）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1

7、与 C2 交点的极坐标（ 0,0 2）例11.（ 2013 年全国北京卷）在极坐标系中，点 (2，到直线 的距离等于)sin =26抛物线的参数方程抛物线的标准方程的形式有四种，故对应参数方程也有四种形式下面仅介绍 x22 py( p0)及 y22 px( p0) 两种情形（1）对于抛物线 x22 py( p0) ，其参数方程为 x，2 py2 pt2 设抛物线 x2y2 pt ，上动点P坐标为，2) ，O 为抛物线的顶点， 显然 kOP2 pt2t的(2 pt 2 pt2 ptt ，即几何意义为过抛物线顶点 O 的动弦 OP 的斜率（2）同理，以圩抛物线 y22 px( p0) ，其参数方程为x2 pt2，y，设抛物线2 ptx22 py 上 动 点 P 坐 标 为 (2 pt2，2 pt) ， O 为 抛 物 线 的 顶 点 ， 可 得kOP2 pt1t1， t 的几何意义是过抛物线的顶点O 的动弦 OP 的斜2 pt2tkOP率的倒数例12.已知 A，B 为抛物线 x24 y 上两点，且 OAOB ，求线段 AB 中点的轨迹方程解析：设 kOAt， OBOAOB1，kt据t的几何意义，可得， 2，B4，4A(4t 4t)t t2x14t42t1 ，设线段中点P(x， y) ，则2tt141y4t22t22t2t2 .消去参数 t 得 P 点的轨迹方程为 x22( y4