极坐标系与参数方程一轮复习

1、极坐标系与参数方程 知识梳理一、极坐标1 、极坐标定义 ： M 是平面上一点，表示 OM 的长度，是 MOx ，则有序实数实数对( , ), 叫极径，叫极角；一般地，0,2) ，0 。2 、极坐标和直角坐标互化公式：xcos2x2y2的象限由点( x, y)所ysin或y，tan( x 0)x在象限确定 .二、常见曲线的极坐标方程1、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程是；（2）圆心在极轴上的点 ( a,0) 处，且过极点 O 的圆的极坐标方程是；（3）圆心在点 (a,) 处且过极点的圆 O 的极坐标方程是。22、直线的极坐标方程（1）过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程

2、是；（2）过点 ( a,0) ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是；三、常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点 ( x0 , y0 ) ，倾 圆心在点 ( a, b) ，中心在原点，中心在原点，长y 22 px( p0)斜角为半径为 r长、短轴分别为短轴分别为2a、2b2a、2b第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换【知识点 】定义 1：设 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:x 'x(0) 的作用下，y 'y(0)点 P(x, y) 的对应点为 P '( x ', y ') 。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。定义 2： 在平

3、面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形 F 的平移。若以向量 a 表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量 a 平移在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为 ( x, y) ，向量 a(h, k) ，平移后的对应点为 P ( x , y ) .则有： (x, y) (h,k)(x , y )即有：xxh ，yyk在平面直角坐标系中，由xxh 所确定的变换是一个平移变换。yyk因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。【典例1】（2014 年高考辽宁卷（文）将圆 x2 y21 上每一点的横坐

4、标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.(I) 写出 C 的参数方程；（ II ）设直线 l ：2x y 2 0 与 C 的交点为 P1， P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程练习：1将点 P( 2, 2) 变换为点 P ( 6, 1) 所用的伸缩变换公式是（）A. x1B. x1x3xx3x3 x2 xC.1D.y2yy3yy2 yy2y2.在同一直角坐标系中，将直线x 2y2 变成直线 2 x'y ' 4 ，则满足图象变换的伸缩变换公式是 _.x '4x3.在平面直角坐标系中将

5、曲线22按照变换:得到的曲线 C ' 的方程为C : xy 13y 'y2_。4. 已知曲线 C1 :xcos1 ，纵坐标y( 为参数 ) . 若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的sin2压缩为原来的3，得到曲线 C2 ，则曲线 C2 的参数方程为 _，普通方程为2_。【典例 2】把圆 C1 : ( x3)2( y1)24 先向下平移1 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后得到圆 C2 ，求圆 C2 的普通方程。练习：1.点 P(2, 3) 先向左平移 3个单位长度，再向上平移 2个单位长度后得到点 P' 的坐标是_。2.抛物线 x24y 先向右平移1 个单位长

6、度，再向上平移1 个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标是 _。3. 将曲线C : x2y22x4 y0 先向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度后得到的曲线的方程是_。第二节极坐标与直角坐标互化xcos2x2y2【知识点 】sin或y (x 0)ytanx，的象限由点 ( x, y) 所在象限确定 .练习一：把下列点的极坐标化为直角坐标（1）(3,)；（ ）22(2,)；（3） (4,)；432（4）( 3, )；（5） (3,7 )； （6） (1,5)；264练习二：把下列点的直角坐标化为极坐标（1） (3,3)；（2） (0,51)；)； （3） (0,32（4） (3,0)；（

7、5） (3,3)；（6）( 2,2 3)；考点二：曲线的极 坐标方程与直 角坐标方程的互化练习一：把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）cos2sin10 :；（2）4cos(3 ) 30:；4（3）4sin() :；4（4）2sin:；（5）4cos2sin:；（6）4cos:；(7)直线:； （ 8）射线3 :；44(9)212:； (10)22:；3cos24sin212cos注意：极：直线0 或射线0直： ykx （或 ykx （ x0 ）或 y kx（ x0 ）练习二：把下列曲线的 直角坐标方程化为 极坐标方程 :（ 1） x y 2 0 :； （2） 3 xy1 :；（ 3）

8、 x2y21:；（ ）3x22 y26 :；44（ 5）x2y26x 0 :；（ ）2y24 :；6 (x 3)高考再现1（ 2013 年高考辽宁卷（文）在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . 圆 C1 , 直线 C2的极坐标方程分别4sin , cos2 2.4(I) 求 C1 与 C2 交点的极坐标 ;(II) 设 P 为 C1 的圆心 , Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点 . 已知直线 PQ 的参数方程为xt 3a, 求 a, b 的值 .yb t 3t R为参数122. （ 2014年高考广东卷（文）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为

9、2cos2sin与cos1。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1 与C2 交点的直角坐标为_3（ 2014 年高考陕西卷（文）在极坐标系中，点2，到直线 sin 6 1 的距离是_4. （2015 年高考湖南卷（文）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 .若曲线 C 的极坐标方程为2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为 _.第三节参数方程与普通方程互化【知识点 】常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点 ( x0 , y0 ) ，倾圆心在点中心在原点，中心在原点，y22 px( p 0)斜角为( a, b

10、)，半径长、短轴分别为长短轴分别为为 r2a、2b2a、2b把参数方程化为普通方程的常用方法：（ 1）代入法：利用解方程的技巧求出参数 t ，然后代入消去参数；（ 2）三角法：利用三角恒等式消去参数，如平方关系sin 2cos21；（ 3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。练习一：把下列曲线的直角坐标（普通）方程化为参数坐标方程（ 1） C : x2y21，C :2516x2y 21，C:（2）C:43（ 3） C （: x2) 2( y 1)24 ，C:（ 4） C : x2y24 x 2 y 11 0 ， C :（ 5） C : x2y24 y 0 ， C :（ 6）直

11、线 l 的倾斜角为 3，且过点 P(4, 2) ，则 l ：4（ 7）直线 l 过点 M (4, 1) ，倾斜角为，则 l ：2练习二：把下列参数方程化为直角坐标方程（普通方程）x52t（1）C:1（ t ：参数）， C :y2tx11 t（2）C:2 (t 为参数 ) C :3y t2x24 t（3）C :5 （ t ：参数）， C :y13 t5（4）C:x23cos（ ：参数）， C :y33 sin（5）C:x2cos t （ t ：参数）， C :y3 sin t（6）C:x5cos （：参数）， C :y4sin（7）C :xp2（ p ：参数）， C :y2 p（8）C:x3si

12、n4cos （ ：参数）， C :y4sin3cos；高考再现1（2013年高考广东卷（文）已知曲线 C 的极坐标方程为2cos. 以极点为原点 , 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 , 则曲线 C 的参数方程 _。2（2013 年高考湖南（文11）在平面直角坐标系 xoy 中, 若直线 l1 :x2s 1,y(s 为参数 )sxat,为参数 ) 平行 , 则常数 a 的值为 _和直线 l2 :(ty2t 13 （2013 年高考陕西卷（文15）圆锥曲线xt 2y2t( t 为参数 ) 的焦点坐标是 _2x 2 2 t，4. （2014 年高考湖南卷（文）在平面直角坐标系中，曲线C：(t

13、为参数 )的2y 1 2 t普通方程为 _5（ 2013 年高考课标 卷（文）已知曲线 C1x45cos t,的参数方程为5( t 为参数 ), 以y5sin t坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为2sin .()把C1的参数方程化为极坐标方程;( 求与C2交点的极坐标(0,02 ).) C16（ 2014 年高考新课标卷2（文）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos， 0，2 .(I) 求 C 的参数方程；（II ）设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l：y3x

14、2垂直，根据 (1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标7. （2015 年高考广东卷（文）在平面直角坐标系x y 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1 的极坐标方程为cossin2 ，曲线 C2 的参数方程xt 2为（ t 为参数），则 C1 与 C2 交点的直角坐标为y2 2t第四节极坐标和参数方程的综合应用考点一：曲线上的动点到直线距离的最值问题常用参数方程和三角恒等变换的知识解决。步骤：（ 1）利用曲线的参数方程把曲线上的动点P 的坐标设出来；（ 2）利用点到直线的距离公式求出曲线上的动点P 到直线 l 的距离 d ；（ 3）利用辅助角公式 a sin xb

15、cosxa2b2 sin(x ) （其中 tanb ），把第（ 2）a步求出的距离 d 的右边化为 d| Asin(x)k | （ t0 ）的模式。t（ 4）利用三角函数的有界性求出距离d 的最值。【典例 1】 在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为x3 cos ,y( 为参数 ) ，在以原sin点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 的极坐标方程为sin()42 。4（I ）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；（II ）设 P 为曲线 C1 上的动点，求点 P 到 C2 的距离的最小值，并求此时点P 的坐标。变式：若把曲线C1x3cos ,的参

16、数方程改为( 为参数 ) ，设 P 为曲线 C1 上的动点，求点y3sinP 到 C2 的距离的最大值。练习：2y2x 2 t，（年高考新课标卷（文）已知曲线C：x1，直线 l ：(t为参数1 2014149y 2 2t)(I) 写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程；（ II ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值x3 1 t2. (2015 年高考陕西卷（文）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为2 (t 为y3 t2参 数），以原点 为极点 ， x 轴的正半轴为 极轴 建立 极坐标系， e

17、C 的极坐标 方程为2 3 sin.(I) 写出 e C 的直角坐标方程；(II) P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求点 P 的坐标 .考点二：标准直线参数方程中参数t 的几何意义【知识梳理】若l :xx0at （ t：参数）已是 标准参数方程 ，即a2b21 ，且 l 和曲线 Cyy0bt( 圆、椭圆、抛物线 ) 交于 A、 B 两点，则 : 把 l 中的 x、 y 代入曲线C 的直角坐标 方程， 整 理at 2btc0()，其中， P(x, y)；t 、 t为方程)的两根（即 、B两点对应的参数分别为 t 、 t）0012(A12t1t2b , t1t2c ；a

18、a由 t 的几何意义，得 :公式 1:长度之积 :|PA | PB | | t1t 2 | ；公式 2:长度之和 :| PA | | PB | | t1t 2 |( ac 0 ) ；或 | PA | | PB | | t1t2 |(t1t2 )24t1t2 ( ac 0 ) ；公式 3:弦长|AB| t1 t 2| (t1t2 ) 24t1t2 ；但若是l和圆可不用此公式 , 而用|AB|2 r 2d2更简单；说 明 ：上 述 公 式 中的 两条 线 段 为 l 所 过 的 点 M (P, A, QL ) 分 别 和 曲 线 C 两 交点A,B(M ,NL ) 的连线段 ；t1 t2公式 4:

19、 线段 AB的中点 M对应的参数 t2。x32 t,【典例】在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为2（t 为参数） .在极坐标系2 ty52（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为2 5 sin .（）求圆C 的直角坐标方程；（）设圆C 与直线 l 交于点 A 、B，若点 P 的坐标为(3, 5) ，求11的值 .|PA|PB |练习： 1.已知过点 P ( 3,1) 的直线 l :x3t 与曲线 C :x4cos交于 A、By1 ty4sin两点，求 | PA|PB |, | AB |；2.经过点 M (2,1) 作

20、直线 l ，交椭圆 x 2y 21 于 A、 B 两点。如果点 M 恰好为线段 AB 的164中点，求直线 l 的方程。3. （2014 年高考江苏卷（文） ）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2x1 2 t，(t 为参数 )，直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长2y2 2 t考点三：求动点的轨迹方程问题求曲线的极坐标方程的方法和步骤：建、设、限、代、化(1)建立适当的极坐标系，设M (,) 是一曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方

21、程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程【典例】（2013 年高考课标 卷（文）已知动点 P,Q 都在曲线 C :x2cos t (t为参数 ) 上,y2sin t对应参数分别为 t与 t 2 (02 ), M 为PQ的中点.( ) 求 M 的轨迹的参数方程 ;( ) 将 M 到坐标原点的距离d 表示为的函数 , 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 .练习：1.已知曲线x3cos为参数 ) ，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上C 的参数方程为(2sinyx '1 x的点按坐标变换3得到曲线 C '。1y 'y2（）求曲线 C ' 的普通方程；（）若点 A 在曲线 C '上，点 B（3，0），当点 A 在曲线 C ' 上运动时，求 AB 中点 P 的轨迹方程。2. 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C (3,) ，半径 r 3 。3（）求圆 C 的极坐标方程；uuuruuur（） 若点 Q 在圆 C 上运动，点 P 在