【人教A版】最新高中数学必修二：2.3.4平面与平面垂直的性质学案设计 新人教A版必修2

1、最新人教版数学精品教学资料第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用,培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.合作学习一、设计问题,创设情境如图,长方体abcd-a'b'c'd'中,平面a'add'与平面abcd垂直,直线a'a垂直于其交线ad.平面a'add'内的直线a'a与平面abcd垂直吗?二、信息交流,揭示规律问题

2、1:如图,若,=cd,ab,abcd,abcd=b.讨论直线ab与平面的位置关系.问题2:能不能用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明?问题3:平面与平面垂直的性质定理的特点有哪些?四、运用规律,解决问题【例1】 如图,已知平面,a,直线a满足a,试判断直线a与平面的位置关系.【例2】 如图,四棱锥pabcd的底面是ab=2,bc=的矩形,侧面pab是等边三角形,且侧面pab底面abcd.(1)证明:侧面pab侧面pbc;(2)求侧棱pc与底面abcd所成的角;(3)求直线ab与平面pcd的距离.【例3】 如图,把等腰直角三角形abc沿斜边ab旋转至abd的位置,使cd=ac.(1

3、)求证:平面abd平面abc;(2)求二面角cbda的余弦值.【例4】 如图,在矩形abcd中,ab=33,bc=3,沿对角线bd把bcd折起,使c移到c',且c'在平面abc内的射影o恰好落在ab上.(1)求证:ac'bc'(2)求ab与平面bc'd所成角的正弦值;(3)求二面角c'bda的正切值.五、变式演练,深化提高1.如图,三棱柱abc-a1b1c1中,bac=90°,ab=bb1=1,直线b1c与平面abc成30°角,求二面角bb1ca的正弦值.2.如图,边长为2的等边pcd所在的平面垂直于矩形abcd所在的平面,b

4、c=2,m为bc的中点.(1)证明:ampm;(2)求二面角pamd的大小.六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?七、作业精选,巩固提高课本p74习题2.3b组第1,3题.参考答案问题1:直线ab与平面垂直.问题2:两个平面垂直的性质定理文字语言描述为:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.符号语言描述为:ab.图形语言描述为:如图两个平面垂直的性质定理证明过程如下:如图,已知,=a,ab,aba于b.求证:ab.证明:在平面内作becd垂足为b,则abe就是二面角cd的平面角.由,可知abbe.又abcd,be与cd是内的两条相交直线

5、,ab.问题3:两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线,因此它是立体几何中最重要的定理.应用面面垂直的性质定理的口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”.四、【例1】 解:在内作垂直于与交线的垂线b,b.a,ab.a,a.即直线a与平面平行.【例2】 解:(1)证明:在矩形abcd中,bcab,又平面pab底面abcd,侧面pab底面abcd=ab,bc侧面pab.又bc侧面pbc,侧面pab侧面pbc.(2)如图,取ab的中点e,连接pe,ce,又pab是等边三角形,peab.又侧面pab底面abcd,pe平面abcd.pce为侧棱pc与底面abcd所成角.pe=b

6、a=,ce=,在rtpec中,pce=45°为所求.(3)在矩形abcd中,abcd,cd侧面pcd,ab侧面pcd,ab侧面pcd.取cd的中点f,连接ef,pf,则efab.又peab,ab平面pef.又abcd,cd平面pef.平面pcd平面pef.作egpf,垂足为g,则eg平面pcd.在rtpef中,eg=为所求.【例3】 解:(1)证明:(证法一):由题设,知ad=cd=bd,作do平面abc,o为垂足,则oa=ob=oc.o是abc的外心,即ab的中点.oab,即o平面abd.od平面abd.平面abd平面abc.(证法二):取ab中点o,连接od,oc,则有odab,

7、ocab,即cod是二面角cabd的平面角.设ac=a,则oc=od=a,又cd=ad=ac,cd=a.cod是直角三角形,即cod=90°.二面角是直二面角,即平面abd平面abc.(2)取bd的中点e,连接ce,oe,oc,bcd为正三角形,cebd.又bod为等腰直角三角形,oebd.oec为二面角cbda的平面角.同(1)可证oc平面abd,ocoe.coe为直角三角形.设bc=a,则ce=a,oe=a,cosoec=即为所求.【例4】 解:(1)证明:由题意,知c'o平面abd,c'oabc',平面abc'平面abd.又adab,平面abc&

8、#39;平面abd=ab,ad平面abc'.adbc'.bc'c'd,bc'平面ac'd.bc'ac'.(2)bc'平面ac'd,bc'平面bc'd,平面ac'd平面bc'd.作ahc'd于h,则ah平面bc'd,连接bh,则bh为ab在平面bc'd上的射影,abh为ab与平面bc'd所成的角.又在rtac'd中,c'd=33,ad=3,ac'=3.ah=.sinabh=,即ab与平面bc'd所成角的正弦值为.(3)过o

9、作ogbd于点g,连接c'g,则c'gbd,则c'go为二面角c'bda的平面角.在rtac'b中,c'o=,在rtbc'd中,c'g=.og=.tanc'go=2,即二面角c'bda的正切值为2.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要.五、1.解:由直三棱柱性质得平面abc平面bcc1b1,过a作an平面bcc1b1,垂足为n,则an平面bcc1b1(an即为我们要找的垂线),在平面bcb1内过n作nqb1c,垂足为q,连接qa,则nqa即为二面角的平面角.ab1在平面abc上的射影为ab,caab,cab1a.ab=bb1=1,得ab1=.直线b1c与平面abc成30°角,b1cb=30°,b1c=2.在rtb1ac中,由勾股定理,得ac=.aq=1.在rtbac中,ab=1,ac=,得an=.sinaqn=,即二面角bb1ca的正弦值为.2.解:(1)证明:如图,取cd的中点e,连接pe,em,ea,pcd为正三角形,pecd,pe=pdsinpde=2sin60°=.平面pcd平面abcd,pe平面abcd.四边形abcd是矩形,ade,ecm,ab