微分几何第一章曲线论第一节向量函数第5小节

1、1 向量函数1.1.向量函数的极限；向量函数的极限；2.2.向量函数的连续；向量函数的连续；3.3.向量函数的微商；向量函数的微商；4.4.向量函数的积分向量函数的积分. .复习复习命题命题1.1.，设设)(),(),()(tztytxtr ，,321aaaa 则则atrtt )(lim0.)(lim)(lim)(lim321000 atzatyatxtttttt极限极限极限的分量等于分量的极限的分量等于分量的即即连续连续)(),(),()(tztytxtr .)(),(),(均连续均连续tztytx命题命题2.2.可微可微)(),(),()(tztytxtr .)(),(),(均可微均可微t

2、ztytx.)(),(),()(且且tztytxtr 微微商商微微商商的的分分量量等等于于分分量量的的即即命题命题3.3.定义定义的二阶微商；的二阶微商；称为称为)()(trtr )(类函数类函数kc的三阶微商；的三阶微商；称为称为)()(trtr .)( 的高阶微商的高阶微商叫叫二阶及二阶以上的微商二阶及二阶以上的微商tr.,21类函数类函数阶连续微商的函数称为阶连续微商的函数称为上有直至上有直至在区间在区间kcktt.0类函数类函数连续函数称为连续函数称为c.类函数类函数无限可微的函数称为无限可微的函数称为 c.类函数类函数解析函数称为解析函数称为 c命题命题4 4,)(),(),()(2

3、1ttctztytxtrk .,)(),(),(21ttctztytxk 证：证：,)()()()(321etzetyetxtr ,)()(1etrtx ,)(21ttctrk 为常向量，为常向量，1e;,)(21ttctxk .,)(),(21ttctztyk 同理同理定义定义),(vurr 对于二元向量函数对于二元向量函数uvurvuurruu ),(),(lim0.ur vvurvvurrvv ),(),(lim0.vr 注注,),(),(),(),(若若vuzvuyvuxvur ,则则uuuuzyxr .,vvvvzyxr 定义定义上的二元函数，上的二元函数，是定义在平面区域是定义在平

4、面区域设设dvuzvuyvuxvur),(),(),(),( 上可微，上可微，在在若若dvuzvuyvux),(),(),(上可微，上可微，在在则称则称dvur),(.),(的全微分的全微分为为且称且称vurrdvrdurrdvu 对于二元向量函数，对于二元向量函数，.分等概念分等概念也可定义偏微商、全微也可定义偏微商、全微1.4 向量函数的泰勒公式向量函数的泰勒公式定理定理,)(001tttctrn 设设公式：公式：则有以下则有以下taylor),()()!1()()(!)()(! 2)()()()(00)1(10)(02000tttrnttrnttrttr ttrttrnnnn . 0),

5、(,00 ttt 时时其中其中特别地，特别地，,)(时时当当 ctr )(!)()(! 2)()()()(0)(02000trnttrttr ttrttrnn.上述级数是收敛的上述级数是收敛的,)(时时当当 ctr 1.5 向量函数的积分向量函数的积分定义定义)(不定积分不定积分,),()(battrtr 若若.)()(的一个原函数的一个原函数为为则称则称trtrr .)()(的不定积分的不定积分做做的所有原函数的集合叫的所有原函数的集合叫trtr.)( dttr记作记作易易知知，trtr的一个原函数的一个原函数为为若若)()(.)()(ctrdttr 则则命题命题),(),(),()(tzt

6、ytxtr 若若),(ts都连续，都连续，)(tf ;)(,)(,)()(1 dttzdttydttxdttr）（ dttrdttr)()(2 ）（；为常数为常数)( ;)()()()(3 dttsdttrdttstr）（ dttrmdttrm)()(4）（；为常向量为常向量)(m.)()()()(5 dttsdttrdttstr）（定义定义)(定积分定积分 badttr)( niiitltr10)()(lim 注注可积可积)(),(),()()1(tztytxtr .)(),(),(可积可积tztytx可积，可积，若若)(),(),()()2(tztytxtr .)(,)(,)()(则则 b

7、abababadttzdttydttxdttr积分积分积分的分量等于分量的积分的分量等于分量的即即命题命题5 5上可积，上可积，在在上连续，则上连续，则在在若若,)(,)(batrbatrr bccabadttrdttrdttr)()()(1）（；为常数为常数)(m；为常向量为常向量)(m而且而且 babadttrmdttrm)()(2）（ babadttrmdttrm)()(3）（ babadttrmdttrm)()(；为常向量为常向量)(m).()(4xrdttrdxdxa ）（注注.分析中来分析中来所有结果都平移到向量所有结果都平移到向量并不能把数学分析中的并不能把数学分析中的.),()

8、()()(:一般不成立一般不成立微分中值定理微分中值定理例如例如baabrarbr ),(,0 ,sin,cos)(: ttttr设向量函数设向量函数如如，取取)2, 0(,000 ttatb则则,0 ,sin2 , 0)()()()(000ttrtrarbr ，则应有，则应有假如微分中值定理成立假如微分中值定理成立),()()()(baabrarbr ,20 ,cos,sin0 ,sin2 , 000tt 即有：即有：,cossin0sin00 tt 且且,sin000tt 且且 这这是是不不可可能能的的，.值定理一般不成立值定理一般不成立故对向量函数，微分中故对向量函数，微分中两个重要命题两个重要命题命题命题6 6有固定长有固定长向量函数向量函数)(tr.)()(垂直垂直与与trtr ., 0)()(battrtr 即即证：证：有固定长有固定长)(tr常数常数 )(tr常数常数 2)(tr常数常数 2)(tr0)()(2 trtr).()(trtr 定义定义)(旋转速度旋转速度)(tro)(ttr tt 0lim.)(的旋转速度的旋转速度关于关于叫做向量函数叫做向量函数ttrt .叫做平均旋转速度叫做平均旋转速度命题命题7 7.)(微商的模微商的模的旋转速度等于其一阶的