52简并态的定态微扰理论

1、5.2 简并态的定态微扰理论n未微扰态简并时，原微扰公式:n不能用，原因是1)出现分母=0情形；2)零阶态矢可为简并态的叠加。n若取使vnn（n与n简并）为零的初始态，则上述表达式有可能仍有用。n设有g度简并态|m(0),其展开的子空间为d。d中的态可一般地写为：n记p0为投影到d的投影算符,p1=1-p0则是投影到其他态矢组成的子空间部分的算符.本征方程可写为n分别用p0和p1作用于上式，有n若微扰成立,则要求 且 e 与 不同。上式可解为:n n 代入第一式(0)dee ,(0)k den得n考虑能量至一阶，波函数至零阶，可有n此即g维简并子空间的线性方程组，其解即为求n n (v=)0(

2、1)det()det0dnveevn由此可得零阶态矢和一阶能移:n因采用使v对角化的|m(0)组合,该方法不限于严格简并情形. 将近简并能级并入d可使微扰展开快速收敛。(1)(0)(0)iliilv ln若微扰使简并完全消除,可将 看作微扰，其对矢态的修正为0101021vppvhevpp(0)(0)2(0)0011(1)00(0 1)(0 1)()(0)0(0)(0)11(0)()0(0)0(0)(0)(0)(0)(0)(0)()111jjiijiijjjijijidjjijik djidkp llpvppvp lehvp leep llvppv lvvehp llv kkv lvveenp

3、1子空间对一阶态矢修正的贡献：np0|l(1)+p1|l(1)即为完整的一阶态矢修正。n2阶能量修正：n形式与非简并情形类似,但求和限于d外的子空间(2)(0)(1)(0)(1)(0)(1)102(0)(1)(0)(0)1iiliiiiiikliidkk dlv llv pllv plvlv pleen上述一阶波函数和二阶能级修成成立的条件是微扰完全消除简并，否则需将 作为微扰，进一步用简并法求其修正。n归纳之，简并态的微扰法为：归纳之，简并态的微扰法为：n1）对简并态的微扰态构造相应的微扰矩阵）对简并态的微扰态构造相应的微扰矩阵n2）解久期方程，即对角化微扰矩阵。久期方程本征）解久期方程，即

4、对角化微扰矩阵。久期方程本征值为一阶能量修正，本征解为值为一阶能量修正，本征解为0的零阶本征矢的零阶本征矢n3）对高阶微扰使用等同于非简并的微扰理论表达式，）对高阶微扰使用等同于非简并的微扰理论表达式，但求和不包括但求和不包括d子空间中的态。子空间中的态。20110(0)01dpvppvpeh简并微扰理论应用举例一、一阶stark效应n氢原子的n相同但lm不同的态是简并的，如2s和2p态简并。对v=-eze，应用简并微扰理论，得微扰矩阵n其中n容易求出 ，n能移与e成线性关系（一阶stark效应），源于零阶波函数有偶极矩 .二、原子的精细结构：自旋轨道作用 n类似氢的原子如碱金属, 外层电子所

5、受势为非纯库仑形式的中心势. 不同l 的能级分裂立, l 越大能量越高.n自旋轨道作用可定性地理解为：在电场中运动的电子感受到等效磁场n对电子磁矩作用导致n上式比实际大一倍，需用相对论性量子力学解释。)(rvcevecvbceff222( )111()clseffeecedv respxhbm cm credrdvl sm c r dr n下面我们取n对h0=p2/2m+vc(r) ，可选基：|ls;mms或|ls;jmj n由于hls与j2、jz对易，选|ls;jmj为基：n由于hls在nlm下已对角化，故一级能量修正为2211()2clsedvhl sm c r dr nhls对不同 j

6、产生的能移差正比于(2l+1)和nln对na,基态为(1s)2(2s)2(2p)6(3s),3p与3s能量不简并，而hls使3p1/2和3p3/2进一步分裂，使其向3s的跃迁产生所谓na的两条d线，波长为5890和5896a(黄光)n由于nle2/a03，精细结构的分裂量级为约为balmer分裂(e2/a0)的2=(1/137)2倍，非常小，与相对论质量修正同量级. 三、zeeman效应 n均匀磁场可由矢势a=(bxr)得出。取b沿z方向,n电子的h(除自旋项外)：n因a无散，ap+pa=2ap=blz, a2=b2(x2+y2)n故n b2 项一般可忽略n考虑电子自旋磁矩与磁场的作用，可将h

7、分为：n将hb作为微扰，采用h0+hls的j2,jz本征态为基矢，则一阶能移为：nsz的期待值可求出为n得n此即zeeman效应n如果hb比hls大很多，则应用h0+hb作零阶h，而将hls作为微扰，并用|l,s=;ml,ms为基。n由于n原2(2l+1)简并的h0态分裂,新简并态具有相同ml+2msn由于n此时ml+2ms简并的态进一步分裂n微扰方法的选取：n由于 n据b的大小，可定出应用h0+hls，还是h0+hb的本征态为基。n对hbhls的b，则应以简并态微扰形式处理hb+hls220, (1/137),2blsee behhm ca四、van der waals作用 n对远距离的两中性体系,由于诱导电偶极矩的作用,其相互吸引势具为1/r6的形式，称为van der waals作用。n例如n两氢原子相距r，nh=