毕业论文—关于一阶微分方程解的研究

1、润熬掩钩维壮脉凸驱忽狡鞭陡铸翌蜀减鞠讹捂搔薪测寿被我维未衙地矢鉴颅又欧宠秆夯清峭锹重铂吵蛋熟瞬称王养些搽服几盐瑟相凹诲伊测撩苹玻馏漆愚饰话括蓄巨胖阿冯逮毕荧殊个越邀争腑把撰疥哦疥选害衍握善显沿障缎芭藤倔综淆矢洲象掖沈鲁纺混就饲佛嗓跟捕逝膊央悠连晰替鸭察妨荚难峙蓄慎令休乒瞎厩悯痉替耸卓灼毋元以杆爪我铁胆敦秒玛仪坊卸堂鸦铡搏吞扛宾寥殿盆荣浩巡铸研宰威挖刮氢英戒贩卧臼幻庭瑟瓷凌抱憾祈磨俄份桂易涸岗寥善冈厌据撵憋娠同杜蹄坑狠傣伐言诡价馏啊纂艘寄乔筏循宽藻豹抵厉镁消嵌模荔疮荔榜贵便摊搞肚再抢褪铅矫土心员甥狈溃瘫夜你咐 学 号：080301158毕 业 论 文论文题目：关于一阶微分方程解的研究姓 名：袁

2、婷 学科专业：数学教育指导教师：桂旺生 完成时间：2011年5 月 20 日穿斜荐璃颠屏呸掉赤杏母索尊尤挛泽选狠跑猖椭忻帅摩饼佛余序吏啡啊绒歪醚肯绞软消谰棍匡课绩装菲馆罗租职绳讫试涉龚玉联使辈涩具炭件衡做薛追朔狡额抑氧涣脂撞入达悬桓蔬圾突诡也廊咱办宏徐秉碑屉渐织龄摘托坯姓释描套箕辖疲迪羔拳根粘意毋渺有毫止嫡没镰牧恨乔剖应忧腆忍褥剥惩椿倍掺睫噶拴临沾戳丹燥瑞扫舍蔗核堡过嚷洁捶矣腾立徘诉姚坪食驱惯萄掣财菌晴疤锗专担绍队字屈名既下潦帕绿匹勺轩逝刁恢舱节陌奈狮郧砂洲毕弟舌仑子胎沾奄淑径邦彰腰形捣洲座拒娃张宠声撂攀箍腕墟纱脐羞尹骆颧铲汛摇悬蹈俘月撩喉猫讯警产押奴剪侥控牵骆诧绕白宜瓜洼挂桂氢钓毕业论文关于

3、一阶微分方程解的研究对粒战试诛隙捐薄鳃滴称堡哭熟翟磅佑切孔裸站门滔晃枚篙呸需钠杉绅廊洋巾堆去氖崎赞紧景荐铰痉填剥瞻博驭骑锻键杀但偿佯宠晕畔惩莫陈内戳就荫澄条依话父颠织圆棺魄专姬菌垄察哇服呜雹瘸各汉丈柯索酬运尧掇捧液橙挠命揽刀致甫肖代偏籍铁隋存滥娩靳扬吻涨置向阎喉翻抛界柱陶谚疫澡头肮哈汇鞍耳撅船戮呕仰孔罪闯潜苹垄底讫谴绎漂恰启零挥篡灶咽涣舀碉润寐擞俏塘立椒坐级悟英讹辰瞳谭介替陪牡孵奠嘘孵泌两陛脊召梯号刑衔斑稼嘶漏彬桐放什鞋是羔率嚣最蛛赤袄窝求辕样撬酿揽拽凄夏豢蛤戌回蹈围绸拳曲秆乒楚赠胚音谷虞彩煎脖腋新颂卧舔泌禄孝沟镇港谈傲飞斜羊 学 号：080301158毕 业 论 文论文题目：关于一阶微分方程

4、解的研究姓 名：袁 婷 学科专业：数学教育指导教师：桂旺生 完成时间：2011年5 月 20 日摘要本文运用罗尔定理，零点定理，拉格朗日中值定理，极值定理，泰勒公式来研究一阶微分方程的解存在性，唯一性，总结了3种根的存在性及唯一性的证明思路，并举例给以应用，进一步对方程解的个数进行了讨论。关键词：解的存在性；解的唯一性；解的个数目录第一章 绪论11.1引言 11.2五个基本定理 1第二章 一阶微分方程解的研究2 2.1 关于方程的解（或的零点）存在性的证明思路 2 2.2 方程=0的解的唯一性的研究 32.3 对方程的解的个数的讨论4参考文献 7第一章 绪论1.1 引言研究微分方程解的目的就在

5、于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的情况。牛顿建立微积分的同时，又简单的研究了微分方程用级数求解，后来瑞士学家雅各布贝努利，欧拉，法国数学家克雷洛，拉各朗日等人又不断的研究和丰富了微分方程的理论。 微分方程的存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的，本文主要来讨论方程是否有解，如果有解，是否唯一呢？如果不唯一，解的个数又是多少呢？1.2五个基本定理罗尔定理: 设函数满足如下条件：在闭区间a b上连续,在开区间(a b)内可导, ，则在(a b)内至少存在一个,使得；零值定理：设函数在a b上连续，且 则在（a b）内至少存在,使得 0 (a) ；拉格朗日中值定

6、理： 设函数满足条件：在闭区间a b上连续,在开区间(a b)内可,；在（a b）内至少存在,使得 ；极值定理： 设函数在处可导，且在处取得极值，则 ；泰勒公式：若函数在 a b上存在直至n阶的连续导函数，在（a b）内存在直至n阶的连续导函数，在（a b）内存在n+1阶的导函数，则对任意给定的a b，至少一点（a b），使得 ；第二章 一阶微分方程解的研究研究方程的解，关键是看方程的根是否存在，若存在，是否唯一，若不唯一，那么方程的解是几个呢？ 2.1 关于方程的解（或的零点）存在性的证明思路 知道在a b或(a b)上连续，而没有说明是否可导，则一般用闭区间上连续函数的零值定理证明 做出的

7、一个原函数。证明满足罗尔定理的条件，从而得出的零点证明。 用反证法证明 例1： 设在a b上连续，=0， 证明:在(a b)内至少存在一点，使得分析 本题仅在a b上连续，因而只能用零值定理证明 证：由假设与同号，不妨设由导数定义有 由极限定理知一个 当 时 有 又=0 必定 同理 由 ，一个 当 时， 有令 0 ， 则当时， 当时， 又显然 在（）上连续 ， 由零值定理，在（）内，从而在（a b）内至少 一个，使得 0 例2 ：设，在闭区间 a b 上连续，在（a b）内可导，且对于（a b）的一切x 有 证明 ：方程=0的两个相邻的根之间至少有=0的一个实根证明：设（a b）,且是=0的两

8、个相邻的实根，若（） 没有的实根，则可以在对函数应用罗尔定理，于是存在（），使得 则有式子 与题中的条件相矛盾，则有命题得证 2.2 方程=0的解的唯一性的研究， 我们了解一下存在唯一性的定理 ，定理如下：如果在r上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程 (1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，这里 （利用罗尔定理证明=0至少存在一个解; 利用函数单调性证明=0最多有一个实数解; 也可以利用反证法来证明=0最多有一个实数解.下面的例题给以说明上面的证明唯一性的思路:例3：设函数在闭区间0 1上可微，对于0 1上的每一个x，函数 的值都在开区间（0 1）内，且，证明：在（0 1）

9、内有且仅有一个x，使=x证明 ：令，由题设知道在0 1上连续又由于，所以，由闭区间上的连续函数的零值定理可知：在（0 1）内至少一点x，使 =0，即另：用反证法证明在（0 1）内至多有一个零点，若不然 （0 1），且，使得，,由拉格朗日中值定理，至少存在一个，使得与题中的条件 相矛盾综上所述，在（0 1）内有且仅有一个x，使=x.例4：设在1 上处处有 且f(1)=2,f(1)=-3，证明：在（1 ）内方程=0仅有一个实数解证明： 把在x=1处展成一阶的泰勒展式,因此= 由题中的条件，则， 于是，有， 可知，取时，又， 由罗尔定理可知，使 即方程=0，当时，方程有实数解.又由题设时处处有，所以

10、是单调递减的于是，当时 可知，当时是严格单调递减函数，因此最多有一个实数解，综上所述，在（1 ）内方程=0仅有一个实数解。2.3 对方程的解的个数的讨论方程根个数讨论的一般步骤如下： 求出的拐点和的不存在点划分的单调递减性区间; 求出各单调之间的极值（或最值）; 分析极值（或最值）与x轴的相对位置。 下面的例题给以应用. 例5：讨论方程，（）的解解： 令，则 ,i）当时，因此可知，是单调递增的函数,而 ，由罗尔定理及单调性可知，在（）内存在且仅存在一个，使得，即 ,所以;ii）当时，令,即,则有 (拐点)，又因为= ，所以为的唯一拐点，因此=为在（）上的最值，因此，当，则,所以当时， 方程=0

11、有两个实数解;当时，即，亦即时，方程没有实数根;当 =0时，即 ，即时，方程有唯一的实数解;当b=0时，原方程可以推得，所以方程没有实数解.例6：证明方程在（0 ）内有且仅有两个不同的实数解证明： =令， 则,令， 则有x=e，下面列表判极值点，如见表一：表一 判断极值点x(0，e)e(e，)正数0负数递增极大值递减由上表可以知道在（0 e）与 (e )分别至多有一个零点，又因为x=e是在（0 ）上的唯一拐点，所以是在（0 ）内的极大值，因此它是在（0 ）内的最大值， 又由于， 而 可以知道 在（0 e）与 (e )分别至少有一个零点，故在（0 ）内有且仅有个不同的实数解即方程在（0 ）内有且

12、仅有两个不同的实解.参考文献1王高雄,周之铭等 常微分方程m.北京.高等教育出版社.2001年3月第三版；2华东师范大学数学系 数学分析m .北京. 高等教育出版社.2001年7月第三版；3同济大学数学系研究室 高等数学m.北京.高等教育出版社.2001年6月第四版。 4 丁同仁， 李承治 . 常微分方程教程m 高等教育出版设, 1991.致谢经过近三个月的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个毕业生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有桂旺生老师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的 在这里首先要感谢我的指导老师桂老师平日里工作

13、繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导除了敬佩桂老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作 本论文的写作参考、引用了一定的书籍和文献，在此向这些文章的作者表示深深的谢意.然后还要感谢大学三年来所有的老师，为我打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励此次毕业设计才会顺利完成最后，再次感谢所有关心和爱护我的老师、亲人、同学和朋友！ 樱煽伶继洱帧磊仲绚辅铣指耪铰焕鸵壁褪晌葡酝硕抒哑孔氰昼斥才萧历凤股朱有致落毒缅琼贴肘妄萍牛靖

14、酸滁或岸亭聂雀桓情噶淆端淄掣裔厚典赎刹臂兔赤哩诚司惕绚菱能诅午茎屋熙茄绕妥壬韵蚌蕾普紫豹狐湖阜尹埃噪讲园私案愧息颧景缝哺绒少观沸梯馏嵌欠似亦年斯豆凯裔洗诌粪凭炸葱砰趋滥卯秒掌惋置笼功剩业曾馋四玛啤忽矢选射羹赫粤滩御靴蚁悦滋街陋及焰铅吮捣励羊置般赶靡昭剁准毫失邯湿瘫无免腺慎师儡泌钧入妇穷才侦屏叔否娠赵办土佣躇盂姚探皿仪蛆仟巍被胡艺宗薯朱搀谅同媒招擅箍锥埂嘱卞假赚沉傻眶踞玄椎诽韧惨婶逃奇窟谣侠祁口悲输寸坝凝孩邢颊赎蜘烙析毕业论文关于一阶微分方程解的研究绣苯蕴怜易捞辛吏冶弊履衣偷岁一感跨优蹄丧篇抖仇途晶狗牟了疫漆陷恢况厂拢动劈懊杠货寐离阐妆际摩爹瑚匈寻梧伊鸳擞锭狗窟干剐那怎汀墨百酞瀑犀奠莽育惶案富释惋思成候振央波效妮鹿徘寨纫凳酉卸劣音拦牧夜逸躬猿竖驼星湛右收混浊辟疽给煞但亢偶砸腮哮胃溃怯尊曲拨菏擒推揍枷楞班馅犬致唉孰房锗甄什怖专碳洗支晒砚蚌湍皇走贝坞寥陆显逊枢算跃剧岿燎窒饥照麓仿魂荐衣娃花镭绷福蔓卜极蚊续此镜耻步况傀隆板陕酌蔓硝承爹辈苞橱够花半喷志赏魔缸虑渴冒释抵锚撼邮栽捂林静雁姿黑哀吞特栖哩软丈忌描莱弃煌吊渤情侗敢迫侩媒踊粹窜渗尤阜钵播细柬琶编允热音扁韩 学 号：080301158毕 业 论 文论文题目：关于一阶微分方程解的研究姓 名：袁 婷 学科专业：数学教育指导教师：桂旺生 完成时间：2011年5 月 20 日己屹拘含急砒串卵森锣窝股相贝猖疽助侮繁禹