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1、高考数学精品复习资料 2019.5第十三节导数的应用(二)时间:45分钟分值:75分一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1函数yax3x在r上是减函数,则()aa ba1ca2 da0解析y3ax21,因为函数yax3x在r上是减函数,所以3ax210在r上恒成立,所以a0.故选d.答案d2已知alnx对任意x恒成立,则a的最大值为()a0 b1c2 d3解析设f(x)lnxlnx1,则f(x).当x时,f(x)<0,故函数f(x)在上单调递减;当x(1,2时,f(x)>0,故函数f(x)在(1,2上单调递增f(x)minf(1)0.a0,故a的最大值为0.故选a.答
2、案a3若直线ym与y3xx3的图象有三个不同的交点,则实数m的取值范围为()a2<m<2 b2m2cm<2或m>2 dm2或m2解析y3(1x)(1x),由y0,得x±1,y极大2,y极小2,2<m<2.答案a4设a>0,b>0,e是自然对数的底数()a若ea2aeb3b,则a>bb若ea2aeb3b,则a<bc若ea2aeb3b,则a>bd若ea2aeb3b,则a<b解析a>0,b>0,ea2aeb3beb2bb>eb2b.对于函数yex2x(x>0),yex2>0,yex2x在(
3、0,)上单调递增,因而a>b成立答案a5(20xx·青岛模拟)如图为一圆锥形容器,其底面圆的直径等于圆锥母线长,水以每分钟9.3升的速度注入容器内,则注入水的高度在t分钟时的瞬时变化率为(注:3.1)()a27分米/分钟 b9分米/分钟c81分米/分钟 d9分米/分钟解析设t时刻水面高度为h,半径为r,则rh.此时水的体积vr2hh3,又v9.3t所以h39.3t,且3.1.h3t,则ht,故当t分钟时的瞬时变化率为()9.答案b6(20xx·东北三省联考)已知f(x)为定义在(,)上的可导函数,且f(x)<f(x),对于任意xr恒成立,则()af(2)>
4、e2·f(0),f(2 010)>e2 010·f(0)bf(2)<e2·f(0),f(2 010)>e2 010·f(0)cf(2)>e2·f(0),f(2 010)<e2 010·f(0)df(2)<e2·f(0),f(2 010)<e2 010·f(0)解析设g(x),则g(x),又f(x)<f(x)对xr恒成立,所以g(x)>0,所以g(x)在r上单调递增g(2)>g(0),>,f(2)>e2f(0),g(2 010)>g(0),
5、>,f(2 010)>e2 010f(0),选a.答案a二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为_解析由yx239x400,得x1或x40,由于0<x<40时,y<0;当x>40时,y>0.所以当x40时,y有最小值答案408关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是_解析方程可化为ax33x2,设f(x)x33x2,则f(x)3x26x,由f(x)>0,得x>2或x<0;由f(x)<0,得0&
6、lt;x<2,所以f(x)在(,0)和(2,)上单调递增,在(0,2)上单调递减,故f(x)在x0处有极大值,f(0)0.在x2处有极小值f(2)4.要使方程有三个不同的实根,则有4<a<0.答案(4,0)9若f(x)xsinxcosx,则f(3),f(),f(2)的大小关系为_解析由f(x)f(x)知,函数f(x)为偶函数,因此f(3)f(3)又f(x)sinxxcosxsinxxcosx,当x(0,)时,f(x)>0,x(,)时,f(x)<0.f(x)在区间(,)上是减函数f()>f(2)>f(3)f(3)答案f(3)<f(2)<f()
7、三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)10设函数f(x)alnxbx2(x>0),(1)求函数f(x)在x1处与直线y相切,求实数a,b的值;求函数f(x)在 上的最大值(2)当b0时,若不等式f(x)mx对所有的a,x(1,e2都成立,求实数m的取值范围解(1)f(x)2bx,函数f(x)在x1处与直线y相切,解得f(x)lnxx2,f(x)x,当xe时,令f(x)>0得x<1;令f(x)<0,得1<xe,f(x)在上单调递增,在1,e上单调递减f(x)maxf(1).(2)当b0时,f(x)alnx,不等式f(x)mx对所有的a,x(1,e2都成
8、立,即alnxmx对所有的a,x(1,e2都成立,即malnxx对所有的a,x(1,e2都成立,令h(a)alnxx,则h(a)为一次函数,mh(a)min.x(1,e2,lnx>0.h(a)在a上单调递增h(a)minh(0)x.mx对所有的x(1,e2都成立1<xe2,e2x<1,m(x)mine2.11(20xx·济南模拟)济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为k(k>0)现已知相距36 km的a,b两家化工厂(污染源)的污
9、染程度分别为正数a,b,它们连线上任意一点c处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设acx(km)(1)试将y表示为x的函数;(2)若a1时,y在x6处取得最小值,试求b的值解(1)设点c受a污染源污染指数为,点c受b污染源污染指数为,其中k为比例系数,且k>0.从而点c处污染指数y(0<x<36)(2)因为a1,所以y,yk,令y0,得x,当x(0,)时,函数单调递减;当x(,)时,函数单调递增,当x时,函数取得最小值又此时x6,解得b25,经验证符合题意所以,污染源b的污染强度b的值为25.12(理)(20xx·天津卷)已知函数f(x)x2lnx.()求
10、函数f(x)的单调区间;()证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使tf(s);()设()中所确定的s关于t的函数为sg(t),证明:当t>e2时,有<<.解()函数f(x)的定义域为(0,)f(x)2xlnxxx(2lnx1),令f(x)0,得x.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,)(,)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,)()证明:当0<x1时,f(x)0.设t>0,令h(x)f(x)t,x1,)由()知,h(x)在区间(1,)内单调递增h(1)t<0,h(et)e2tlnett
11、t(e2t1)>0.故存在唯一的s(1,),使得tf(s)成立()证明:因为sg(t),由()知,tf(s),且s>1,从而,其中ulns.要使<<成立,只需0<lnu<.当t>e2时,若sg(t)e,则由f(s)的单调性,有tf(s)f(e)e2,矛盾,所以s>e,即u>1,从而lnu>0成立另一方面,令f(u)lnu,u>1.f(u),令f(u)0,得u2.当1<u<2时,f(u)>0;当u>2时,f(u)<0.故对u>1,f(u)f(2)<0.因此lnu<成立综上,当t>e2时,有<<.12(文)已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值;(2)求证:当x(1,)时,函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方解(1)f(x)x2lnx,f(x)2x.x>1时
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