备战高考黄金100题解读与扩展系列之平面向量：专题一 平面向量的线性运算 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5i题源探究·黄金母题【例1】如图，已知四边形是等腰梯形，分别是的中点，是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，求【解析】，又，所以ii考场精彩·真题回放【例2】【20xx全国新课标卷】设为所在平面内一点，则（）ab c d 【答案】a【解析】由题知，故选a【例3】【（20xx北京高考卷】在中，点，满足，若，则_；_【答案】【例4】【20xx全国新课标卷】设分别为的三边的中点，则（）ab.cd【答案】a【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，同理，则【例5】【20xx高考广东卷】设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下

2、四个命题：给定向量,总存在向量,使；给定向量和,总存在实数和,使；给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使；给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）a1b2c3d4【答案】b【解析】利用向量加法的三角形法则，易知是对的；利用平面向量的基本定理，易知是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以是假命题.综上，选b【例6】【20xx江苏高考卷】设分别是的边上的点,若 (为实数),则的值为_【答案】精彩解读【试题来源】人教版a版

3、必修四第120页复习参考题a组第13题【母题评析】本题中实际上为基底，然后将其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向量问题中【思路方法】（1）将一个向量表示为另两个不共线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基本定理来解决（2）注意题目中中点与平行的应用【命题意图】本类题主要考查平面向量的加法运算及三角形法则、数乘向量，以及图形的识别能力、运算求解能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下【难点中心】

4、（1）如何利用三角形法则，面临的就是如何选择三角形，这是一个难点；（2）如何利用条件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，即如何利用这些条件实施向量线性运算间的转换，从而达到将一个向量利用基底向量表示的目的iii理论基础·解题原理考点一平面向量的加减法及几何意义1加法法则及几何意义三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，则叫做和的和平行四边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，以为邻边作平行四边形，则为向量和的和多个向量和的多边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，则为向量的和2减法法则及几何意义三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，则考点二向量的数乘运算及几

5、何意义实数与向量的乘积是一个向量，且当时，与的方向相同；当时，与的方向相反特别地，向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使考点三向量共线定理如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一一个实数使考点四平面向量的基本定理平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量有且只有一对实数，使，其中是一组基底【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇【技能方法】（1）将向量表示为另外向量的线性关系，主要是利用平面向量加减法的几何意义（三角形法则、平行四边形法则）结合平面向量的基本定理来解决；（2）

6、根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建立方程（组）来解决【易错指导】（1）运算平面向量的三角法则时忽视加法运算的“首尾相接”的特点，减法运算时忽视所得差向量的方向是指向被减数的；（2）向量的数乘运算注意实数的符号，即必须注意数乘向量的方向；（3）利用平面向量的基本定理解决相关问题，基底的选择直接决定解题过程的繁杂与简化、决定解题的成功与失败，因此必须重视基底的选择v举一反三·触类旁通考向1三角形法则与平行四边形法则的应用【例7】【湖南省四大名校高三3月联考】在平行四边形中, 与交于点是线段的中点，的延长线与交于点.若，则（）abcd【

7、答案】c【解析】由向量的平行四边形法则可得，解得.又因为，所以，即，所以，故选c【方法总结】向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，解题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”【跟踪训练】如图，在直角梯形中，为边上的一点，为中点，则 ()abcd【答案】c考向2平面向量基本定理的应用【例8】【20xx学年辽宁沈阳二中高二6月月考】在平行四边形中 ，与相交于点，若，则（）abcd【答案】c【解析】因为三点共线，所以可设，即，同理可设，即，所以，即，解得

8、，所以，故选c【名师点睛】平面向量的基本定理描述了一个向量在基底的分解上是唯一的，就是这个唯一性为利用待定系数法求相关的参数提供了理论依据待定系数法与平面向量基本定理结合在一起解题，通常是要通过建立方程（组）来解决【跟踪训练】在平行四边形中, 为的中点，为的中点，若 ,则的值为_【答案】考向3共线定理的应用【例9】【20xx山东滨州市二模】在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）abc1d4【答案】a【解析】因为，又因为，所以，由于三点共线，所以，从而的值为，故选a【例10】【20xx河南洛阳市一中高三下二模】在中，是上的点，若，则实数的值为_.【答案】【解析】因为，所以，

9、即，所以又因为三点共线，所以，所以【方法归纳】共线定理描述的是两个向量间数乘关系，即与共线存在唯一，使，将其延伸后可得到三点共线的条件：在平面中三点共线的充要条件是（为平面内任意一点），其中【跟踪训练】已知的重心为，过任做一直线分别交边于两点，设，则的最小值是_【答案】考向4平面向量线性运算与不等式交汇【例11】（浙江杭州市五校联盟一诊）在矩形中，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（ ）a b c d【答案】b【方法点睛】平面向量的线性运算与不等式的综合通常体现为表示向量的基底向量的系数为未知数，而所求解问题常常以这些未知数来设置的不等式问题，解答时通常从向量开始，利用向量线性运算的相关性质转化为代数问题，然后利用不等式的相关知识求解考向5平面向量线性运算与数列的交汇【例12】【20xx重庆一中高三下学期3月月考】如题图，已知点为的边上一点，为边上的列点，满足，其中实数列中，