山东省理科数学一轮复习试题选编41：函数的极值与导数

1、高考数学精品复习资料 2019.5山东省理科数学一轮复习试题选编41：函数的极值与导数一、选择题 (高考(陕西文)设函数f(x)=+lnx 则（）ax=为f(x)的极大值点bx=为f(x)的极小值点 cx=2为 f(x)的极大值点dx=2为 f(x)的极小值点解析:,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选d （山东济南外国语学校20xx第一学期高三质量检测数学试题（理科）若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值,则ab的最大值（）a2b3c6d9【答案】d 【解析】函数的导数为,函数在处有极值,则有,即,所以,即,当且仅当时取等号,选d (20xx浙江高考数学(理)

2、已知为自然对数的底数,设函数,则（）a当时,在处取得极小值 b当时,在处取得极大值 c当时,在处取得极小值 d当时,在处取得极大值 【答案】 c解:当时,且,所以当时,函数递增;当时,函数递减;所以当时函数取得极小值;所以选c; （山东省泰安市高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设函数有三个零点、x2、x3,且则下列结论正确的是（）abcd 【答案】d 函数, f(x)=3x24.令f(x)=0,得 x=±. 当时,;在上,;在上,.故函数在)上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.故是极大值,是极小值.再由f (x)的三个零点为x1,x2,x3,且得 x1<,<x2,

3、x3>. 根据f(0)=a>0,且f()=a<0,得>x2>0. 0<x2<1.选d （山东师大附中级高三12月第三次模拟检测理科数学）设函数有三个零点则下列结论正确的是（）abcd【答案】c【解析】因为,所以函数的三个零点分别在之间,又因为所以,选c (高考(大纲理)已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则（）a或2b或3c或1d或1【答案】 答案a 【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而,当时取得极值 由或可得或,即. (20xx福建高考数学(文)设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论

4、一定正确的是（）ab是的极小值点 c是的极小值点d是的极小值点【答案】 d【解析】本题考查的是函数的极值.函数的极值不是最值,a错误;因为和关于原点对称,故是的极小值点,d正确. (20xx湖北高考数学(文)已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（）abcd【答案】b,由由两个极值点,得有两个不等的实数解,即有两个实数解,从而直线与曲线有两个交点. 过点(0,-1)作的切线,设切点为(x0,y0),则切线的斜率,切线方程为. 切点在切线上,则,又切点在曲线上,则,即切点为(1,0).切线方程为. 再由直线与曲线有两个交点.,知直线位于两直线和之间,如图所示,其斜率2a满足:0<2a&l

5、t;1,解得0<a<. (高考(重庆理)设函数在r上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）a函数有极大值和极小值b函数有极大值和极小值 c函数有极大值和极小值d函数有极大值和极小值【答案】 【答案】d 【解析】,由,函数为增; ,由,函数为减; ,由,函数为减; ,由,函数为增. 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减. (20xx辽宁高考数学(理)设函数（）a有极大值,无极小值b有极小值,无极大值 c既有极大值又有极小值d既无极大值也无极小值【答案】 d解:由已知,.在已知中令,

6、并将代入,得;因为,两边乘以后令.求导并将(1)式代入,显然时,减;时,增;并且由(2)式知,所以为的最小值,即,所以,在时得,所以为增函数,故没有极大值也没有极小值. 二、填空题（山东省泰安市高三上学期期末考试数学理）已知函数的定义域为,部分对应值如下表,的导函数的图像如图所示,给出关于的下列命题:函数时,取极小值函数是减函数,在是增函数,当时,函数有4个零点如果当时,的最大值是2,那么的最小值为0,其中所有正确命题序号为_.【答案】 【解析】由导数图象可知,当或时,函数递增.当或时,函数递减.所以在处,函数取得极小值,所以正确,错误.当时,由得.由图象可知,此时有四个交点,所以正确.当时,

7、的最大值是2,由图象可知,所以的最小值为0,所以正确.综上所有正确命题序号为. 三、解答题（山东省高考压轴卷理科数学）已知函数f(x)=-x3+x2-2x(ar).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;(2)若对于任意x1,+)都有f(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围;(3)若过点可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,求实数a的取值范围.【答案】【解析】(1)当a=3时,f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+3x-2. 因为f(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2), 所以当1<x<2时,f(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x&

8、lt;1或x>2时,f(x)<0,函数f(x)单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-,1)和(2,+). (2)方法一:由f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+ax-2. 因为对于任意x1,+)都有f(x)<2(a-1)成立, 即对于任意x1,+)都有-x2+ax-2<2(a-1)成立,即对于任意x1,+)都有x2-ax+2a>0成立. 令h(x)=x2-ax+2a, 要使h(x)对任意x1,+)都有h(x)>0成立,必须满足<0,或 即a2-8a<0或 所以实数a的取值范围为(-1,8). 方法二:

9、由f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+ax-2. 因为对于任意x1,+)都有f(x)<2(a-1)成立,即对于任意x1,+)都有f(x)max<2(a-1). 因为f(x)=-2+-2,其图象开口向下,对称轴为x=. 当<1,即a<2时,f(x)在1,+)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=a-3. 由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a<2; 当1,即a2时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f=-2.由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2a<8. 综上可得,实数a

10、的取值范围为(-1,8). (3)设点p是函数y=f(x)图象上的切点,则过点p的切线的斜率为k=f(t)=-t2+at-2,所以过点p的切线方程为y+t3-t2+2t=(-t2+at-2)(x-t). 因为点在切线上,所以-+t3-t2+2t=(-t2+at-2)(0-t),即t3-at2+=0. 若过点可作函数y=f(x)图象的三条不同切线,则方程t3-at2+=0有三个不同的实数解. 令g(t)=t3-at2+,则函数y=g(t)与t轴有三个不同的交点. 令g(t)=2t2-at=0,解得t=0或t=. 因为g(0)=,g=-a3+,所以g=-a3+<0,即a>2. 所以实数

11、a的取值范围为(2,+). （山东省青岛即墨市高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数.(1)是函数的一个极值点,求a的值;(2)求函数的单调区间;(3)当时,函数,若对任意,都成立,求的取值范围.【答案】解:(1)函数 , 是函数的一个极值点 解得: (2) (3)当a=2时,由(2)知f(x)在(1,2)减,在(2,+)增. b>0 解得:0<b<2 （山东省泰安市高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知函数(i)若在区间上单调递减,求实数a的取值范围;(ii)当a=0时,是否存在实数m使不等式对任意恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由. 【答案】 （山东

12、省凤城高中高三4月模拟检测数学理试题 ）已知曲线在点处的切线互相平行,且函数的一个极值点为.()求实数的值;()若函数的图象与直线恰有三个交点,求实数的取值范围;()若存在,使得成立(其中的导数),求实数的取值范围【答案】(),依题意有 ,即,所以 (), 由, 所以函数在区间上递增,在区间上递减 且. 所以函数的图象与直线恰有三个交点,则,所以实数的取值范围为 ()依题意成立, 设,则, 当时,由得函数在上递增, 所以得 当时,在上在上 所以恒成立,所以 当时,在上所以函数是减函数, 所以, 又,所以 所以实数的取值范围为 (20xx课标卷高考数学(文)(本小题满分共12分)已知函数,曲线在

13、点处切线方程为.()求的值;()讨论的单调性,并求的极大值.【答案】【解析】()=. 由已知得=4,=4,故,=8,从而=4,; ()由()知,=, =, 令=0得,=或=-2, 当时,>0,当(-2,)时,<0, 在(-,-2),(,+)单调递增,在(-2,)上单调递减. 当=-2时,函数取得极大值,极大值为. （山东省烟台市高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知函数. (1)求的极值;(2)若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数a的取值范围【答案】解:(1)的定义域为, 令得, 当时,是增函数; 当时,是减函数, 在处取得极大值, 无极小值 (2)当时,即时, 由(

14、1)知在上是增函数,在上是减函数, , 又当时, 当时,;当时,; 与图象的图象在上有公共点, ,解得,又,所以 当时,即时,在上是增函数, 在上的最大值为, 所以原问题等价于,解得. 又,无解. 综上,实数a的取值范围是 （山东省兖州市20xx高三9月入学诊断检测数学(理)试题）已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.【答案】(1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),得m-n=-3. 由f(x)=x3

15、+mx2+nx-2,得=3x2+2mx+n, 则g(x)=+6x=3x2+(2m+6)x+n. 而g(x)的图象关于y轴对称,所以-=0,解得 m=-3. 代入得n=0. 于是=3x2-6x=3x(x-2) 由>0得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-,0),(2,+); 由<0,得0<x<2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2) (2)由(1)得=3x(x-2),令=0得x=0或x=2 当x变化时,f(x)的变化情况如下表: x(，0)0(0,2)2(2，)00f(x)增函数极大值减函数极小值增函数由此可得:当0<a<1时,f(x

16、)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值; 当a3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得,当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a3时,f(x)无极值 (高考(重庆理)(本小题满分13分,()小问6分,()小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.() 求的值;() 求函数的极值.【答案】解:(1)因,故 由于曲线在点处的切

17、线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,故在上为减函数; 当时,故在上为增函数; 故在处取得极小值. (20xx福建高考数学(理)已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值.【答案】解:函数的定义域为,. ()当时, , 在点处的切线方程为, 即. ()由可知: 当时,函数为上的增函数,函数无极值; 当时,由,解得; 时,时, 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上:当时,函数无极值 当时,函数在处取得极小值,无极大值. （山东省烟台市高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知是三次函数的两个极值点,且,求动点所在的区域面积.【答案】解:由函数可得, , 由题意知,是方程的两个根, 且,因此得到可