高考第一轮复习数学：6.2 不等式的证明一

1、高考数学精品复习资料 2019.56.2 不等式的证明（一）知识梳理1.均值定理：a+b2；ab（）2（a、br+），当且仅当a=b时取等号.2.比较法：ab0ab，ab0ab.3.作商法：a0，b0，1ab.特别提示1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用条件，若1不能推出ab.这里要注意a、b两数的符号.点击双基1.若a、b是正数，则、这四个数的大小顺序是a.b.c.d.解析：可设a=1，b=2，则=，=，=，=.答案：c2.设0x1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个

2、是a.ab.bc.cd.不能确定解析：0x1，1+x2=.只需比较1+x与的大小.1+x=0，1+x.答案：c3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”是“对任意xr，有ax2+bx+c0”的a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件必要条件解析：当a0，b24ac0时，ax2+bx+c0.反之，ax2+bx+c0对xr成立不能推出a0，b24ac0.反例：a=b=0，c=2.故选a.答案：a4.（理）已知|a+b|c（a、b、cr），给出下列不等式：abc；ab+c；abc；|a|b|c；|a|b|c.其中一定成立的不等式是_.（把成立的不等式的序号都

3、填上）解析：|a+b|c，ca+bc.b+cabc.故成立，不成立.|a+b|c，|a+b|a|b|，|a|b|c.|a|b|c.故成立，不成立.答案：（文）若a、br，有下列不等式：a2+32a；a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2+a2b3；a+2.其中一定成立的是_.解析：a2+32a=（a1）2+20，a2+32a；a2+b22a+2b+2=（a1）2+（b+1）20，a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2a2b3=a3（a2b2）+b3（b2a2）=（a2b2）（a3b3）=（a+b）（ab）2（a2+ab+b2）.（ab）20，a2+ab+b20，但a+b符号不确定，a5

4、+b5a3b2+a2b3不正确；ar时，a+2不正确.答案：5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为_.解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2v0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1=.v1v2=v2=0，v1v2.答案：v1v2典例剖析【例1】 设a0，b0，求证：（）（）a+b.剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.证法一：左边右边（）0.原不等式成立.证法二：左边0，右边0，1.原不等式成立.评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步

5、骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用.【例2】 已知a、b、x、yr+且，xy.求证：.剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.证法一：（作差比较法）=，又且a、br+，ba0.又xy0，bxay.0，即.证法二：（分析法）x、y、a、br+，要证，只需证明x（y+b）y（x+a），即证xbya.而由0，ba0.又xy0，知xbya显然成立.故原不等式成立.思考讨论该例若用函数的单调性应如何构造函数?解法一：令f（x）=，易证f（x）在（0，+）上为增函数，从而.再令g（x）=，易证g（x）

6、在（0，+）上单调递减.，a、br+.ab.g（a）g（b），即，命题得证.解法二：原不等式即为，为此构造函数f（x）=，x（0，+）.易证f（x）在（0，+）上为单调增函数，而，即.【例3】 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量

7、为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为36x+6（x1）+6×2+6×1=9x（x+1）.设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1=9x（x+1）+900+6×1800=+9x+108092+10809=10989.当且仅当9x=，即x=10时取等号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y2=9x（x+1）+900+6×1800×0.90=+9x+9729（x35）.令f（x）=x+（x35），x2x135，则f（x1

8、）f（x2）=（x1+）（x2+）=x2x135，x2x10，x1x20，100x1x20.f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），即f（x）=x+，当x35时为增函数.当x=35时，f（x）有最小值，此时y210989.该厂应该接受此优惠条件.闯关训练夯实基础1.设x0，y0，且xy（x+y）=1，则a.x+y2+2b.x+y2+2c.x+y（+1）2d.x+y（+1）2解析：x0，y0，xy（）2.由xy（x+y）=1得（）2（x+y）1.x+y2+2.答案：b2.已知x、yr，m=x2+y2+1，n=x+y+xy，则m与n的大小关系是a.mnb.mnc.m=nd.不能确定解析：mn

9、=x2+y2+1（x+y+xy）=（x2+y22xy）+（x22x+1）+（y22y+1）=（xy）2+（x1）2+（y1）20.答案：a3.设a0，b0，a2+=1，则a的最大值是_.解析：a2+=1a2+=.a=·a··=·=.答案：4.若记号“”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即ab=，则两边均含有运算符号“”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是_.解析：ab=，ba=，ab+c=ba+c.答案：ab+c=ba+c.思考：对于运算“”分配律成立吗?即a（b+c）=ab+ac.答案：不成立5.当mn时，求证：m3m2

10、n3mn22m2n6mn2n3证明：（m3m2n3mn2）（2m2n6mn2n3）m33m2n3mn2n3（mn）3，又mn，mn0.（mn）30，即（m3m2n3mn2）（2m2n6mn2n3）0.故m3m2n3mn22m2n6mn2n36.已知a1，0，求证：loga（a+）loga+（a+2）.证明：loga（a+）log（a+）（a+2）=a1，0，lga0，lg（a+2）0，且lgalg（a+2）.lga·lg（a+2）（）2=22=lg2（a+）.0.loga（a+）log（a+）（a+2）.培养能力7.已知x0，y0，若不等式+m恒成立，求实数m的最小值.分析：+m恒成

11、立，m恒成立.m的最小值就是的最大值.解：+m恒成立，m恒成立.x0，y0，=.=.m的最小值为.评述：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.8.有点难度哟！求证：在非rtabc中，若ab，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+hab+hb.证明：设s表示abc的面积，则s=aha=bhb=absinc.ha=bsinc，hb=asinc.（a+ha）（b+hb）=a+bsincbasinc=（ab）（1sinc）.c，1sinc0.（ab）（1sinc）0.a+hab+hb.探究创新9.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的两根

12、x1、x2满足1x1x2.（1）当x（0，x1）时，证明xf（x）x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0.证明：（1）令f（x）=f（x）x，x1、x2是方程f（x）x=0的根，f（x）=a（xx1）（xx2）.当x（0，x1）时，由于x1x2，（xx1）（xx2）0.又a0，得f（x）=a（xx1）（xx2）0，即xf（x）.又x1f（x）=x1x+f（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（x1x）1+a（xx2），0xx1x2，x1x0，1+a（xx2）=1+axax21ax20，x1f（x）0，即f（x）x1.综上，可知xf（x）x1.（2）由题意知x0=.x1

13、、x2是方程f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b1）x+c=0的根，x1+x2=.x0=.又ax21，x0=.思悟小结1.比较法有两种形式：一是作差，二是作商.用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.2.步骤是：作差（商）变形判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系.3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号

14、能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.教师下载中心教学点睛1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.2.对于公式a+b2，ab（）2要讲清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a+b的转化关系.拓展题例【例1】设a、br，关于x的方程x2axb0的实根为、.若ab1，求证：1，1.证法一：a，b，ab1.1，（1）（1）0.1.同理，1.证法二：设f（x）=x2axb，则有f（1）1ab1（ab）110，f（1）1ab1（ab）0.0a1，1a1.方程f（x）0的两实根在（1，1）内，即1，1.评述：证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式