高三文科数学一轮复习之不等式

1、优秀学习资料欢迎下载数学讲义之不等式【主干内容】1不等式的基本性质：对称性： a>bb<a； 传递性：若 a>b， b>c，则 a>c；可加性： a>ba+c>b+c；可乘性： a>b，当 c>0 时， ac>bc；当 c<0 时， ac<bc2不等式运算性质：同向相加：若a>b，c>d，则 a+c>b+d； 异向相减： ab ， c d a c bd正数同向相乘： 若 a>b>0，c>d>0，则 ac>bd；乘方法则：若 a>b>0，n N+，则 a nbn ；

2、开方法则： 若 a>b>0，n N+，则 nan b ；11倒数法则：若 ab>0，a>b，则 ab3基本不等式（或均值不等式）：利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2 2ab（ a， bR），a 2b 2该不等式可推广为 a 2+b 2 2|ab|；或变形为 |ab| 2；a b2当 a， b0 时， a+b 2 ab 或 ab2.4不等式的证明：不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是

3、解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系求一般的一元二次不等式ax 2bxc0 或 ax2bx c0 ( a 0) 的解集，要结合 ax2bxc 0 的根及二次函数y ax 2bxc图象确定解集。对于一元二次方程ax 2bxc0( a0) ，设b24ac ，它的解按照0，0，0可分三种情况. 相应二次函数yax2bx c( a 0)的图象与 x 轴的位置关系也分为三种情况因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bx c0 (a0) 的解集，列表如下 :优秀学习资料欢迎下载5线性规划问题的解题方法和步骤: 解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看

4、作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：设出未知数，确定目标函数。确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。az由目标函数z axby 变形为 y b x b , 所以求 z 的最值可看成是求直线azy b x b 在 y 作平行线：将直线轴上截距的最值 （其中 a、b 是常数， z 随 x，y 的变化而变化） 。ax by 0 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域z中使 b 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。求出最优解：将中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最值。6绝对值不等式

5、x a（ a 0）的解集为： x a x a ； x a（a 0）的解集为： x xa 或 x a 。 | a| b| | ab| | a| b|优秀学习资料欢迎下载【题型分类】题型一：不等关系与不等式例 1 (2007上海 ) 已知 a,b 为非零实数，且 ab ，则下列命题成立的是( )11b aA a2b2B a2b ab2C ab2a2 bD a b解：取a 3， b，由（） （）（）都错，故（C）。例 2若 1 3， 4 2，则 |的取值范围是.解： ( 3， 3)例 3已知 a b c，a b c 0，方程 ax 2 bx c0 的两个实数根为x1、x2(1) 证明： 1 b 1；

6、2 a(2) 若 x 12 x1x2 x 22 1，求 x 12 x1x2 x 22 ；(3) 求 | x12 x 22 | 解： (1) a b c，a b c 0，3a a bc， a b a b， a 0， 1 b1b 1 b1aa2 a(2) （方法 1） ab c 0 ax2 bx c 0 有一根为 1，不妨设 x11，则由 x12x1x2x22 1可得 x 2 ( x2 1)0,而 x2x 1x 2c0(3cabc0) ， x2 1， x12x1x 2x223a( 方法 2) x1 x 2b , x 1x 2caa2222由 x12x1x 2 x22(x1 x 2 )2x1x 2b

7、 2c b2 a b b2b1 1 ， b2baaaaaaaa1b1,b0, x12x1x 2 x22x12x1x 2x222 x1x212x1x 2 12(ab)2aaa(3)由 (2) 知，x12x 221c21(ab) 2( b1) 21a2a 2a 1 b1 2，1( b1) 24 3( b1) 21 3 x12x220, 32a4a4a题型二：一元二次不等式及其解法例 1 （2007福建） x2 是 x2x60 的什么条件（）A充分而不必要B 必要而不充分C 充要 D 既不充分也不必要0,3优秀学习资料欢迎下载解：由 |x 2，得： 2 x2，由 x2x60 得： 2 x3， 2 x

8、 2 成立，则 2 x 3 一定成立，反之则不一定成立，所以，选.2x22 x 41例 2 (2008江西文 ) 不等式2 的解集为 _ 解：原不等式变为 2x22x 42 1 ，由指数函数的增减性，得：x22x 41( x3)( x1)0x3,1 ，所以填： 3,1例3 已知集合 Ax| x25x4 0，Bx | x22axa 2 0 ，若 BA ，求实数 a 的取值范围解：A x | x25x 4 0x |1 x 4设 f ( x)x22axa2 ，它的图象是一条开口向上的抛物线（1）若 B，满足条件，此时0 ，即 4a 24( a2)0 ，解得 1a2 ；（2）若 B，设抛物线与x 轴交

9、点的横坐标为x1， x2 ，且 x1 x2 ，欲使 BA ，应有x| x1 x x2x| 1 x4，f (1)，0f (4) ，02a ，124 ，结合二次函数的图象，得012aa2 ，0428aa2 ，01a ，42 a 18即 4a24( a2) ，解得0718，1综上可知 a 的取值范围是7优秀学习资料欢迎下载题型三：简单的线性规划xy30例1 （ 20XX届新高考联盟） 设实数 x, y 满足不等式组xy0，则 2x y2x3的最小值为；解：32xy10,例 2 （ 2011 杭二模）设实数 x, y 满足不等式组2xy60,且 x2y2 的x y k 2 0.最小值为 m ，当 9m

10、 25时，实数 k 的取值范围是_.解： 172,5X+2y-5 0例 3（2011 浙江）若实数x， y 满足不等式组2x +y -7 0, 则 3x+4y 的最小值是x 0,y 0A 13B 15C20D 28解： Ax1，例 4（2011 天津）设变量 x， y 满足约束条件 x y40， 则目标函x 3y40，数 z 3xy 的最大值为 ()4A 4B 0C. 3D 4解：选 D. 作出可行域， 如图 11 所示联立x y4 0，x2，x 3y 4 0，解得y 2.当目标函数 z 3xy 移至 (2,2)时， z 3x y 有最大值 4.优秀学习资料欢迎下载x0，例 4（ 2011 湖北） 直线 2x y10 0 与不等式组y0，表示xy 2，4x 3y20的平面区域的公共点有 ()A0 个B1 个C2 个D 无数个x 0，解：画出不等式组y 0，表示的可行域， 如图阴影部分所示 (含边界 )x y 2，4x 3y20因为直线2x y 100 过点 A(5， 0)，且其斜率为2，小于直线4x 3y20 的斜率 43，故只有一个公共点 (5， 0).题型四：基本不等关系例 1（2008 浙江）已知 a0, b0, 且 ab2,则 （）ab1ab122C a2b22D a2b23AB 解：由 a0, b0 , 且 a b2