最新北京市一零一中学高三3月月考数学文试卷含答案

1、 北京101中学下学期高三年级3月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，共40分。1. 已知集合a=x| x（x-2）<0，b=x| lnx>0，则ab是a. x| x>0 b. x| x>2 c. x | 1<x<2 d. x | 0<x<22. 已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=a. 3 b. c. 4 d. 103. 某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：日需求量n1415161820频率0.10.20.30.20.2试估计该商品日平均需求量为a. 16 b. 16.2 c. 16.6

2、d. 16.84. “sin=”是“cos2=0”的 a. 充分而不必要条件 b. 必要而不充分条件 c. 充分必要条件 d. 既不充分也不必要条件5. 下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是f（x）=-x3 f（x）=（）|x| f（x）=-sinx f（x）=a. b. c. d. 6. 某四棱锥的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为l，则该四棱锥的体积为 a. b. 4 c. d. 47. 阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k>0且k1）的点的轨迹是圆。后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点a，b间的距离为2，动点

3、p与a，b距离之比为，当p，a，b不共线时，pab面积的最大值是a. 2 b. c. d. 8. 如图，pad为等边三角形，四边形abcd为正方形，平面pad平面abcd。若点m为平面abcd内的一个动点，且满足mp=mc，则点m在正方形abcd及其内部的轨迹为 a. 椭圆的一部分 b. 双曲线的一部分 c. 一段圆弧 d. 一条线段二、填空题：本大题共6小题。共30分。9. 执行如图所示的程序框图，输出s的值为_. 10. 已知双曲线c的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线c的方程是_。11. 已知菱形abcd的边长为2，

4、bad=60°，则·=_。12. 若变量x，y满足约束条件则x2+y2的最小值为_。13. 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题。一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）左图阴影区域面积用a，b，c，d表示为_；（3）右图中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2）。 请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_。14. 已知函数f（x）= g（x）=f（x）-kx（kr）。 当k=l时，函数g（x）有_

5、个零点； 若函数g（x）有三个零点，则k的取值范围是_。三、解答题：本大题共6小题，共80分。15. （本小题满分13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-cos2x。（i）求f（x）的最小正周期；（ii）求证：当x0，时，f（x）0。16. （本小题满分13分）已知由实数构成的等比数列an满足a1=2，a1+ a3+ a5=42。（i）求数列an的通项公式；（ii）求a2+ a4+ a6+ a2n。17. （本小题满分13分），世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行。整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决。图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部

6、分数据统计。两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1。在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法。选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术。图1选手乙的接发球技术统计表技术反手拧球反手搓球反手拉球反手拨球正手搓球正手拉球正手挑球使用次数202241241得分率55%50%0%75%41.7%75%100%表1（i）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术?（ii）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球。从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多

7、少?（iii）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?（结论不要求证明）18. （本小题满分14分）如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，底面abc为正三角形，侧棱aa1底面abc。已知d是bc的中点，ab=aa1=2。（i）求证：平面ab1d平面bb1c1c； （ii）求证：a1c平面ab1d； （iii）求三棱锥a1-ab1d的体积。19. （本小题满分14分）已知椭圆c：（b>0）的一个焦点坐标为（2，0）。（i）求椭圆c的方程；（ii）已知点e（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆c交于m，

8、n两点，直线me与直线x=5相交于点f，试证明：直线fn与x轴平行。20. （本小题满分13分）已知函数f（x）=xcos+a，ar。（i）求曲线y=f（x）在点x=处的切线的斜率；（ii）判断方程f '（x）=0（f '（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（iii）若函数f（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围。参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分。题号12345678答案cbdaabad二、填空题：本大题共6小题，共30分。题号91011121314答案4828ac+bd；两个要点：（1）两

9、图中的阴影部分面积相等；（2）|sinbad|11，（0，三、解答题：本大题共6小题，共80分。15. 解：（i）因为f（x）=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x =1+sin2x-cos2x=sin（2x-）+1。所以函数f（x）的最小正周期为。7分（ii）由（i）可知，f（x）=sin（2x-）+1。当x0，时，2x-，sin（2x-）-，1，sin（2x-）+10，+l。当2x-=-，即x=0时，f（x）取了最小值0。所以当x0，时，f（x）0。13分16. 解：（i）由可得2（1+q2+q4）=42。由数列an各项为实数，解得q2=4，q=2。所以数列an的通项公式为an=

10、2n或an=（-1）n-1·2n 7分（ii）当an=2n时，a2+ a4+ a6+ a2n=·（4n-1）；当an=（-1）n-1·2n时，a2+ a4+ a6+ a2n=·（1-4n）。 . . . . 13分17. 解：（i）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术。2分（ii）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为a，b，正手拉球4次，分别记为a,b，c,d。则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是：ab，aa,ab，ac，ad,ba，bb，bc,bd,ab，ac，ad,bc,bd,cd。其中至少抽出

11、一次反手拉球的共有9种，分别是：ab,aa，ab，ac,ad,ba，bb，bc,bd。则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率。10分（iii）正手技术更稳定。 13分18. （i）证明：由已知abc为正三角形，且d是bc的中点，所以adbc。因为侧棱aa1底面abc，aa1bb1，所以bb1底面abc。又因为ad底面abc，所以bb1ad。而b1bbc=b，所以ad平面bb1c1c。因为ad平面ab1d，所以平面ab1d平面bb1c1c。5分（ii）证明：连接a1b，设a1bab1=e，连接de。由已知得，四边形a1abb1为正方形，则e为a1b的中点. 因为d是

12、bc的中点，所以dea1c。又因为de平面ab1d，a1c平面ab1d，所以a1c平面ab1d。10分（iii）由（ii）可知a1c平面ab1d，所以a1与c到平面ab1d的距离相等，所以。由题设及ab=aa1=2，得bb1=2，且。所以=×，所以三棱锥a1-ab1d的体积为。 14分19. 解：（i）由题意可知所以a2=5，b2=1。所以椭圆c的方程为=1 3分（ii）当直线l的斜率不存在时，此时mnx轴。设d（1，0），直线x=5与x轴相交于点g，易得点e（3，0）是点d（1，0）和点g（5，0）的中点，又因为|md|=|dn|，所以|fg|=|dn|。所以直线fnx轴。当直线l

13、的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k0），m（x1，y1），n（x2，y2）。因为点e（3，0），所以直线me的方程为y=（x-3）。令x=5，所以yf=（5-3）=。由消去y得（1+5k2）x2-10k2x+5（k2-1）=0。显然>0恒成立。所以x1+x2=，x1x2=。因为y2-yf=y2-=·，所以y2=yf。所以直线fnx轴。综上所述，所以直线fnx轴。14分20. 解：（i）f '（x）=cosx-xsinx·k=f '（）=。3分（ii）设g（x）=f '（x），g' （x）=-sinx-（sin x+xco

14、sx）=-2sinx-xcosx. 当x（0，1）时，g '（x）<0，则函数g（x）为减函数。又因为g（0）=1>0，g（1）=cos1-sin1<0，所以有且只有一个x0（0，1），使g（x0）=0成立。所以函数g（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点，即方程f '（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根。 7分（iii）若函数f（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，由于f '（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号。因为当x（0，1）时，函数g（x）为减函数，所以在（0，x0）上，g（x）>g（x0）=0，即f '（x）>0成立，函数f（x）为增函数；在（x0，1）上，g（x）<g（x0）=0，即f '（x）<0成立，函数f（x）为减函数。则函数f（x）