最新中北大学概率统计习题册完整答案详解资料

1、精品文档精品文档X-1-2012p0.10.20.40.10.21.设随机变量X的分布列为试计算：E X 2 ,E X , E X22 。解：E X 2 i； =1 0.1 0 0.2 2 0.43 0.1 4 0.2 =2E(X )=1 汇0.1+2汇0.2+0汉0.41 0.1 2 0.2 =12E X 2 =3 0.1 6 0.2 2 0.43 0.1 6 0.2 =3.82.设随机变量X的分布列为：PX =k；=pq2,k =1,2,3，其中 p 为常 数，0 ： p ： 1, q =1 - p。求 E(X), D(X)。-be-be解: E(X)八 kpqkJL 八 k 1 _q q

2、kk=1k i-bo-bo八 kqk 八 kqkk生k A=、k 1 q- kqkk =0k Av kqk =01111 -q pE(X2)八 Fpq2k =1八 k k-1 pqk，&kpq2k =2k =11八 k k -1 qk4_' k k -1 qk _ k =2k =2p1 二' k k 1 qk 二 k k _1 qk _k 1k=2p-bo八 2kqkk 42q v.： =kpqp k 4kJ 1r p2q , 12 p p所以，D(X)二E X2 -E2 X2q 11 q=I 2 2 2p p p p3.设随机变量X的概率密度函数为1f (x) exp

3、-解:2求 E(X)。匕二，其中，0为常乂一 E二.：_e2-be 1t e 'dt J.：2 二关于绝对收敛性1上；ye2-：2e dx-ba.：xdx-bC<.：x-1 Jx-J e2|t|1 e 2'Itdx = J:1x"bo/ t -e 'dx + 41日x e 扎 dx 2、1 -be=一 J航 + Aedt2 J曲当J _0时(t-bete扎dx一：21 4e z dx+卩U)-'t-' ietdt精品文档0垃+ f 卩(kt + 4+ 0( kt + 卩 jedt=he 扎 + 卩 一 k + Z e1九 + 卩当：0时-

4、he|t|otj |毗+Pedt =J 仏t+4)edt亠 I y . t< _j ：e2dj 41 jeJdt试求X数学期望和方差。解：EX 二 xf x d0 1=x1xdx °x1-xdx11门0;6 6: 2二 x-0 f x dx0 2 1 21 x dx ox 1 - x dx111一 +一 =_12 1266.设连续型随机变量 X的概率密度函数为:DX =f(x)ik a乞x乞b0 其它，综上所述，我们有1卜斗1 dxe = 2 4.设随机变量X表示圆的半径，且 E(X) =O,D(X)二1，试求 k,a,b。3E(|X |)=疔xt度函数为：f (X)厂1ab

5、- a0解:由于f x是X的概率密度，所以有X的概率密其它求圆的周长L和面积S的数学期望。解：E L =E 2 Xb x=2n a 芦 di： a bE S 二E n<2 2b -a5.设连续型随机变量dx 二n a2 b2 ab3X的概率密度为:1 xf(X )=1 -X01 :： x :： 00-x ： 1其它所以所以:bf x dx kdx 二 k b - a = 1av1 k = b a汽 2 ba 二一b ： 0D(X)二 dx45 2b7.设随机变量=02从而 a - _1,k =2的概率密度函数为f (x) = <30其它1精品文档精品文档一1X a0且随机变量Y =

6、 <0X =0 ,1X <0求 D(Y)。解：PY=1 =px<0001 1=f (x)dxdx = 33pfY 二-V =P：X 0-be2 12=.0 f X dx = .0 3dx = 3PY = -1；4x =0；=0所以Y的分布律为Y-10120133E- 0 0 1 13331 1 JXJ.e 4dx =1 - e 4 -.：4P Y =100 =P X _1广、J.E(Y)=200 汉 1-eM+10eI )1= 3004 - 200 ： 33.649.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为rzTT-irrT12o-0LI41 1j111246试求 E(X),

7、E(X -Y), E(XY), E(X3 Y3)。解：E X = -111 丄16412 丿精品文档5121213122 2 2 2 2 1E Y= -102 0 1217332 2 ( 1 28D(Y )=E(Y2 )_(EY) =1_3丿1 =98. 一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)的概率密度为X也戸厂4 XA00 x 兰0工厂规定，出售的设备若在售出一年之内 损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学 期望。解：设Y表示出售一台设备的净赢利为Y元，则 P Y - -200 二 P X 10 存1 2 V33E

8、X -丫 八'乂匚 - yj pj 二i j 二33E XY 八、XiyjPjiT jT33E X3 Y3 八 ' (Xi3 y；)piji J j d10.设随机变量X与丫的联合分布律为1200.250.250.250o0.25p试证明：X与Y不相关，且不相互独立。并试着写出 X,Y之间的关系来说明X,Y的不相关性。12解：由X与Y的联合分布律得X-2 -1 1 2Pj100.250.2500.540.25000.250.5PiU0.250.250.250.25其中PiL = P(X =为, p=P丫 = yjEX4=送 xi Pil 0,EY=1汶0.5+4汉0.5 = 2

9、.5，42EXY =Z X Pij x yj =0，从而i3 j吕Cov(X,Y)=E(XY)-E(X )E(丫戶0 ;所以，X与Y不相关；0 = pn式卩览卩式0,所以X与Y不相互独立由于显然X2的分布律与Y完全相同，所以 有丫 = X2，这表明X与Y之间没有线性关 系，即它们不相关。11.设随机变量（X，丫）的联合概率密度函数为f x,y 二1 .(2x +y ) 0 Ex 兰1,0 兰y 兰2 40其它求：E(X),D(X),E(X Y),E(XY)。解：E Xxf x, y dydxdydx2 Hue -be 2EX 二；：:x f x,y dydx2x2 2x ydydx2、匕X丄3

10、月 5 + x dx =21211D X =E X - EX144E X Y： I i x y f x,y dydx° 0 x y -2x ydydxE XY =三三xyf x,y dydx2312.设随机变量（X , Y）的联合概率密度为8xy 0兰x兰y兰1f（x，y） 0 其它试求 Cov（X,Y）, D（X -Y）。解: E Xxf x,y dydx1 1 2 = 8x ydydx0 x12 4 84 x -x dx 二015o-be -be oE X ； . f x,y dydx1 1 3=0 X8x ydydx1351珂 4(x3xjx=311 D X =E X - EX

11、5_oQ -O0E 丫x,y dydx1 1 2二 0 x8xy dydx8 x _ x4 dx = 40352 : : 2E Y u f x,y dydx1 1 3° .x8xy3dydxU 10,30 1,而经销商店进货量为区间10,30中的某一整数，商店每销售一件商品可获利 500元。若供大于求则削价处理，每处理一件 商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调 剂供应，此时每件商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。解：设进货y 10 _ y _ 30件，则商店获利为500X 100(y X) q i X =i /500y + 300(X

12、_y )10乞X空yy ： X 乞 3060 0(- 1 0y010X 乞 y30X2 0y0 y： Xi 30由于X U 10,30，其概率密度函数为1f xf20【0其它所以商店所获利润期望值为1 5 22 x - x dx =0340E g X 二:;g x f x dx±1：E XY =； ；xyf x,y dydx1122=f f 8x 2 2D(Y )=E(Y )-(EY )=75y2dydx0 x"8(x2-x5 吩 4cov X,Y =E XY -E X E Y4844=X =9155225D(X -丫)= D X D Y -2cov X,Y_ 11 2 8 =1_225752252513.设某商品每周的需求量X服从分布130300x 400y dx20 y15 2y 350y 5250-9280解此不等式得