平面向量及其应用试题及答案

1、一.多选题1. 已知非零平面向量8,则()A. 存在唯一的实数对加,卅,使Q = md + nb B.若a -b = ci c = 0 » W bileC.若a/lb/lc » 则 a + b + c =| + | + |c| D.若石6 = 0 则 « + 5 = a-bcos B b2. 在亠43(7中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，已知=,cosC 2a-cSABC = ，且 b =屯,则()A. cos= 2cosB =C. a + c = >/3D q + c = 3/23. 在亠43(7中，内角4，B, C所对的边分别为a, b,

2、c , “ABC的面积为S.下列C有关的结论，正确的是()A. cosA + cosB>0B. 若a >b,贝'Jcos2A<cos25C. S = 4R2 smAsmBsmC,其中ABC外接圆的半径D. 若A3C 为非直角三角形，则 tan A+tail 5+tan C = tail A tan B tail C4. 在ABC中，角4 B, C所对的边分别是a, b, c,下列说法正确的有()A. a: b: c = sm A: sin B: suiCB.若 sin24 = sin2B，则 a二/?C.若sm A>smB，则 A> BD. “=sin A

3、 sin B + sinC5. 已知向量a=(2, 1), b=(l, - 1), c = (m-2, -n),其中m,门均为正数，且(a-b)/c，下列说法正确的是()A. a与b的夹角为钝角B. 向量a在b方向上的投影为逅5C. 2m+n=4D. mn的最人值为26. 在A3C中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,不解三角形，确定下列判断错 误的是()A. 8=60% c=4, b = 5,有两解B. 8=60% c=4, b=39,有一解C. 8=60% c=4, b=3,有一解D. 8 = 60% c=4, b = 2,无解7. 在"BC中，角A B, C所对边分别为a

4、, b, c9 b=15, c=16, 8 = 60%则a边为()A. 8+33B.C. 8 辰D. 85/3-5/16?8. 下列命题中，结论正确的有（）A Oxd = OB. 若方丄 6，贝ia + b =a-bC. AB/CD >则久B、C、D四点共线；D. 在四边形ABCD中，若AB+CD = O, AC BD = O,则四边形ABCD为菱形.9. （多选题）下列命题中，正确的是（）A. 对于任意向量a,b »有a + ba + b；B. 若a-b = 0 则° = 6或厶=6:C. 对于任意向量a,b ,有a-babD. 若共线，贝lj-/? = ±

5、;| « |/?|10. 设方、厶、2是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（）A. 6 = 6B.（方可： = ：（/）（° +厶）.（。-用=a - b11.对于菱形ABCD,给出下列各式，其中结论正确的为（）B.网卜阴d. ad+ce=cd-cbCab = 0=>d丄bA. AB = BCc. ab-cd = ad+bc12.下列命题中，正确的有（）A.D.向mAB与前是共线向量，则点A、B、C . D必在同一条直线上B. 若sin<ztaii<z> 0且coscrtanavO，则角f为第二或第四象限角2C. 函数y =cosx + *是周期函

6、数，最小正周期是2龙D. AABC中，若tanA tanB<l,则为钝角三角形13. 设乳丘是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A. ? | +5冃a | 151,则存在实数兄使得ci =爲B. 若玄丄5,贝id + b=a-bC. 若a + b冃训+ |方|，则万在5方向上的投影为|引D. 若存在实数2使得& =施，则a + b冃一|b|14. 如图，4x6的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量鬲（以图中的格点O为 起点，格点4为终点），则（）A. 分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与葩是相反向量的共有11个B. 满足|5a-01 = 710的格点B共有3个C. 存在

7、格点B, C ,使得丙=OB + OCD. 满足OA-OB = l的格点B共有4个15.题目文件丢失！ 二.平面向量及其应用选择题a sin B b sin A16.在佔C中，CB = a> CA = b> 且OP = OC + m 则点P的轨迹一定通过。的（）A.重心B.内心C.外心D.垂心17已知两不共线的向量d = （cososina）, 5 = （cos/Asin0）,则下列说法一定正确的A. °与5的夹角为a_卩B. a万的最大值为1C. a + b<D.（方 + 5）丄W）18. 在中，a , b, c分别是角人，b , C所对的边，若lga lgc =

8、 lgsmB = lgJI,且则的形状是（） 2丿A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形19. 在A5C中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且acosB+bsinA = c.若a = 2,C的面积为3（x/2-l）,则b+c二（）A. 5B. 2、/TC. 4D. 1620. 已知非零向量亦，壮满足珞+語JBd0,且珞語冷，则AABC的形状是（ ）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰（非等边）三角形D.等边三角形21在"BC中，内角久B、C所对边分别为a、b、c,若丁上匚则2 cos A 3cosB 5cosCZB的大小是（）兀兀兀/

9、rAB. CD.1264322. 如图，测量河对岸的塔高A3时，选与塔底3在同一水平面内的两个测点。与现测 得ZBCD = 15。, ZBDC = 45。, CD = 30忑m，并在点C测得塔顶力的仰角为30。， 则塔高43为()C. 60也D 20m23. 在AABC中，设AC2-AB2 = 2AMBC ,则动点M的轨迹必通过AABC的A.垂心B.内心C.重心D.外心24. 已知 ABC所在平面内的一点P满足PA + 2PB + PC = 0 则A 1 ： 2 ： 3B1 ：2：1C 2 ： 1 ： 1Dl： 1：225. 著名数学家欧拉提出了如卞定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直

10、线上， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则 被称为欧拉线定理.设点O, H分别是'ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则()A. AB + AC = 3HM + 3MOC. AB+AC = 2HM+4MOB. AB + AC = 3HM-3MOD AB + AC = 2HM-4MO26-在朋心内角"C的对边分别是小c '若辭，则歸c-定是A.等腰三角形B. 等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形27. 在43C中，角A、B、C所对的边分别是S b、J若c = l, 3 = 45。,105 C 一7D.S/2IT28. 在

11、A5C中，内"角 A.BC 的对边分别是a、b、c ,若sin2A+siii2Bsiii2C = 0，ci2 +c2-b2-ac = O c = 2,贝 ija=()A.B. 1C. D.迺2 229. 已知向量历=(2cos'x,JJ),亓=(l,sin2x),设函数/=帀万，则下列关于函数y = / (x)的性质的描述正确的是()A.关于直线对称B.关于点(普，°对称JLZ丄上 丿C. 周期为2龙D. y = f(x)在(彳，°)上是增函数30. 已知D E,尸分别是磁的边应；CA,肋的中点，且BC = a.CA = b AB = c 1 1 - 1_

12、1_ 一 则®AD=b -a ； ®BE = d-b ； ®CF =a + -b :丽 + 丽+ cF =0.其中正确的等式的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 431. 已知O, N, P在AABC所在平面内，且网 =|o科= |oq,WA + N3 + NC = 0 ,且 页丙二両阮=阮页'则点0, N, P依次是AABC的()(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心)A.重心外心垂心B.重心外心内心C. 外心重心垂心D.外心重心内心32. 已知 MBC 的内角 A、B、C 满足 sin24 + sin(4-B + C) = sin(C-

13、4-F) + * , 面积S满足1VSV2,记b、c分别为人、b、C所对的边，则下列不等式一定成立 的是()A. bc(b + c)>8B ab(a + b)>6迈C. 6 <abc <12D. 12 <«Z?c <2433. 已知平面向量Q, b ,芒满足a = b = 2t (2c-a)c-b) = 0t则的最大值 为()517A. -B2C一D44434. 如图，在直角梯形ABCD中，AB = 2AD = 2DC, E为BC边上一点,JC = 3EC » F为4E的中点，则丽=()D.Cc.討抨D. 一押+ |而35. 在ABC中，

14、若A>B,则下列结论错误的是（）A. sm A>smB B. cos A < cos B C. sin24>sin2B D. cos2A <cos25【参考答案】和*试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1. BD【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正 确；向量共线可以是反向共线，故C错：根据向量数量积法则，可判断D正确.【详解】A选项，若与共线，与，都解析：BD【分析】假设矗与方共线，C与乳 方都不共线，即可判断A错：根据向量垂直的数量积表示，可 判断B正确：向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D

15、正确.【详解】A选项，若矗与共线，乙与万，5都不共线，则ma + nb与0不可能共线，故A错：B选项，因为b,c是非零平面向量，若ab = ac = 0>则万丄厶，万丄乙，所以 b/c »即B正确；C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由a/lbl/c不能推出N +万+可=同+网+ |可;如与5同向，芒与N反向,且|«| + |5|>|c|,则d + b + c =|6i| + |/?'|-|c|,故 C 错;D选项，若心石=0 ,贝ijN + 5 =+ 20 6J|d|2 + b 2 ,所以 a + b = d-b ,即 D 正确.故选：BD.【点睛

16、】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求， 进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.【详解】 I整理可得：”可得” A为三角形内角，,故A正确解析：AD【分析】cos B b利用正弦定理，两角和的正眩函数公式化简一 =-,结合smAO,可求 cosC za-ccosB二扌，结合范围Bw(O,n),可求B = g,进而根据三角形的面积公式和余弦定理 可得 a + c = 32 【详解】.cos B _ b _sin B = = ,cos C 2a-c 2 sin A - sin C整理可得

17、：sin3cosC = 2sin4cosB-smCcosB ,可得 sinBcosC + sinCcosB = sin(3 + C) = sin4 = 2sin4cosB,TA为三角形内角，smAO,/ cos B =,故A正确,B错误,2 Bw(0,n),:B = E,3* SABC =» 且 5 = 3,.33 1. R 1 吳也ac sm B = x a x c x =ac »42224解得ac = 3,由余弦定理得 9 = a2 +c2 -ac = (d + c)2 - 3ac = (a + c)2 - 9 » 解得a + c = 3/2 »故C

18、错误，D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解 的能力，属于中档题.3 . ABD【分析】对于A ,利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的 余弦公式，即可判断；对于C ,利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ,利用 两角和的正切公式进行运算,即可判断.解析：ABD【分析】对于A,利用A + B<7T及余弦函数单调性，即可判断；对于B,由a>b,可得smA>smB,根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C,利用S = -absmC和正弦定2理化简，即可判断：对于D,利用两角和的正切公式进行运

19、算，即可判断.【详解】对于A, -：A+B<7r. ：.0<A<7r-B<7r,根据余弦函数单调性，可得cos A > cos (- B)= - cos B, :. cosA+cosB>0,故 A 正确;对于 B,若« > Z? <=> sm A > siii5，则 sin2 A > siii2 B » 则 1 一2sin4 v l-2sinB 即 cos2A <cos2B ,故 B 正确；对于 C, S = cibsinC = -2RsinA-2RsinB-sinC = 2R2 siii AsinBs

20、iiiC ,故 C 错2 2误；对于D,在佔C为非直角三角形，taiiA = -tan( + C)= - tan + tanC ,贝ij1 - tan 5 tail Ctan A+tail B + tail C = tail A tan B tail C,故 D 正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质.考查了推理和归纳的 能力.4. ACD【分析】根据正弦定理的性质即可判断.【详解】对于A,在，由正弦定理得，贝IJ,故A正确；对于B,若，则或，所以和不一定相等，故B错误；对于C,若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD【分析】根据正

21、弦定理的性质即可判断.【详解】对于A,在厶ABC,由正弦定理得亠二 = - = 2/?,贝I sin A sin B sm Ca: b: c = 2Rsm A: 2Rsm B: 27? sm C = suiA:sinB: sm C,故 A 正确: 对于B,若sin24 = sin2B,则A = B或= 所以。和b不一定相等，故B错 误；对于C,若shiA>shiB,由正弦定理知d>b,由于三角形中，大边对大角，所以 人>3，故C正确：对于D,由正弦定理得丄二 = - = 2/?,则sin A sin B sm Cb+csin B + sin C27? siii + 27? s

22、in Csill B + sin C= 2R,故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.5CD【分析】对于A ,利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C ,利用()11判断；对于D，利用C 的结论,2m+n=4 ,结合基本不等式判断.【详解对于A ,向量(解析：CD【分析】对于A,利用平面向量的数量积运算判断；对于B,利用平面向量的投影定义判断：对于C,利用(db)/c判断；对于D,利用C的结论，2m+n=4,结合基本不等式判断.【详解】 1)，则ci方=2 1 = 1 >0，则乳厶的夹角为锐角，错对于A,向量a = (2, 1)

23、,误；对于B,向量a =(2, 1),-1)>则向量矗在厶方向上的投影为而-a b _ >/2. $址29千曰b = 正确;1),则 a-b= 2),若(a-b)/c,贝 >J( - n)=2(m误；对于C,向量d = (2, 1),-2),变形可得2m+n=4, 对于D,由C的结论，2m+n=4,而m,门均为正数，则有mn= (2m*n)< 2 2a (-)2=2,即巾门的最大值为2,正确；乙故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.6. ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角

24、形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B为锐角，当C<b时，三角形有唯一解：当csiii <b<c时，三角形有两解：当csuiB>b时，三角形无解：当csmB = b时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于4,因为B为锐角且c = 4<5 = b,所以三角形ABC有唯一解，故A错误；对于B,因为为锐角且csinB = 4x、3 = 2jJ<3.9 = bvc,所以三角形ABC有两2解，故B错误；对于C,因为B为锐角且csmB = 4

25、x週=2审>3 = b,所以三角形4BC无解，故C2错误；对于D,因为B为锐角且csmF = 4x逅=2妇>2 = b，所以三角形ABC无解，故D2正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.7 . AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【详解在厶 ABC中,b = 15 , c = 16 , B = 60° z由余弦定理:,即,解得.故选:AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC【分析】利用余弦定理：b2 = cr +c2 - 2accosB即可求解.【详解】在ZiABC 中，b=15, c=16, 8=60&

26、#176;,由余弦定理：b2 =cr +c2 -2accosB »即a， 16d + 31 = 0,解得a = S±5/33 故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.8 . BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解解：对于A”，故A错误；对于B，若，则，所以故，即B正确；对于C,则或与共线，故C错误；对于D ,在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向屋的数量积及平行向量共线定理判断町得；【详解】解：对于A, 0x 6/ = 6 »故A错误；对于 B,若 a 丄 b，则 a b = 0

27、87; 所以 a + b= yjci + if2 + 2a-b = yja2 +b » a-b=2+b2-2ab = Ja+b2 故帀+方冃方一引，即B正确： 对于c, AB/CD，则AB/CD或与CD共线，故C错误；对于D,在四边形ABCD中，若而+血=6,即屈=反，所以四边形ABCD是平行 四边形，又走丽=0,所以疋丄丽，所以四边形ABCD是菱形，故D正确； 故选：BD【点睛】本题考查平行向屋的数量积及共线定理的应用，属于基础题.【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当时，故选项B错误；因为”故选项C正确；当共

28、线同向时，当共线反解析：ACD【分析】利用向量数屋积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A正确：当方丄厶时，方巧=0,故选项B错误； 因为a-b=问” |cos0ab,故选项C正确； 当共线同向时，a-b = a b cos0= a b, 当共线反向时，a-b=ab cos 180° = -ab所以选项D正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查向屋加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量枳运算有交换 律，但没有消去律，本题属于基础题.10 . AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解对于A选项A选项错

29、误；对于B选项,表示与共线的向量,表示与共线的向量,但与不一定共线,B选项 错误；对于C选项”解析：AB【分析】利用平面向屋数屋积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，6方=0, A选项错误；对于B选项，（二可恳表示与：共线的向量，a-b-c）表示与方共线的向量，但方与：不一定共线，B选项错误；对于C选项，a-b = 0> a丄厶，C选项正确;对于D选项，(° + 5)(°一用=一庆=a - b , D选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与 推理能力，属于基础题.11 . BCD【分

30、析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的/ 所以B结论正确，A结论错误；因为且，所以”即C结论正确；因为，解析：BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】 菱形中向量帀与紀的方向是不同的，但它们的模是相等的,所以B结论正确，A结论错误;AB-CD = AB + DC = 2所以ABAD+BC =2|bc|,且 |ab|=|bc|,网-cq卜网即C结论正确;因为 |ad+cp| = |c+cd = bd|C£)-C|=| CD+BC冃BD,所以D结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向屋加法、

31、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.12 . BCD【分析】根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后 利用等分象限法可判断出角的终边的位置,进而判断B选项的正误；利用图象法 求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误解析：BCD【分析】根据共线向屋的定义判断A选项的正误：根据题意判断出角a的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角纟的终边的位置，进而判断E选项的正误；利用图彖法求出函数 2y= cosx + i的最小正周期，可判断C选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tanAtanBv 1得出cosAcosBcosC <0,进而可判断出选项D的正误.综合可得出

32、结论.【详解】对于A选项，向量而与页共线，则AB/CD或点A、B、C、D在同一条直线上，A选项错误；rsin%_ fsincr <0对于 E 选项，/ sill a - tan a =>0, costz-taiia = smcr <0,所以彳(cos acosa>0则角a为第四象限角，如下图所示：2对于C选项，作出函数cosx + 土的图彖如卞图所示:cosC >0 cos A cos B.cos A cos B cos C <0 ,cos(4 + B) cos(/r-C) cos A cos B cos A cos B由图象可知，函数y= COSX + 1

33、是周期函数，且最小正周期为2兀，C选项正确;乙对于 D选项，vtaiiAtaii <1 t4 门 sin A sin B cos A cos B - sin A sm B:.1 一 tan A tan d = 1=cos A cos Bcos A cos B对于任意三角形，必有两个角为锐角，则的三个内角余弦值必有一个为负数,则AABC为钝角三角形，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角 的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.13. AB【分析】若，则反向，从而；若，贝IJ,从而可

34、得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A,若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若a + b冃盘|一|5|,则0,5反向，从而石=庙;若丄 b ,则（i 'b = 0 » 从而口J 得 a + b |=| Z? | ；若a + b冃+ 则乳5同向，7在万方向上的投影为| a |若存在实数儿使得& =鯨，则乳5共线，但是a + b冃0|不一定成立.【详解】对于选项A,若a + b冃0-|5|,则乙方反向，由共线定理可得存在实数2使得d = Ab对于选项B,若匝丄5，则石6 = 0，d + b=d

35、2+2d-b + b2,a-b |2= a2 -2a -b + b2 ,a + b =a-bi对于选项C,若a + b冃科+ |5|,则同向，矗在5方向上的投影为|方|；对于选项D,若存在实数2使得a = Ab则乳5共线，但是a + b冃万|-|方|不一定成立. 故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考 查逻辑推理的核心素养.14 . BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果.【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有18个,故错，以为原点建立平面直角坐标系，设，若，所以解析：BCD【分析】根据

36、向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果.【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与鬲是相反向量的共有18个，故4错, 以O为原点建立平面直角坐标系，4(1,2),设,若网-页卜皿所以J(1 一沪 + (2-“)2 =屁,(-3SW3, -2勺疼2,且rneZ, neZ),得 5(0-1) , (2,-1), (2,1)共三个，故 B 正确.当B(l,0), C(0,2)时，使得丙=OB + OC，故C正确.若丙 面=1，则加+ 2 = 1, (一3。乓3, _2勺02,且77?eZ, "eZ),得3(1,0), (3-1), (1,1), (3,2)共 4 个，故D正确.

37、故选：BCD.本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题.15. 无二、平面向量及其应用选择题16. A【分析】设 dsin B = |F| sin A = CH ,则 CP =希商),再利用平行四边形法则可知，P在中线CD上，即可得答案;【详解】如图，间=,M = d? +希(方+可，丽=希(2 +可，由平行四边形法则可知，P在中线CD上， P的轨迹一定通过ABC的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求 解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.17. D【分析】由向量夹角的范闱可判断A选项的正误：计算出方方，利用余弦函数的值域以

38、及已知条件 可判断B选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项的正误；计算 ®+b)(a-b)的值可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】.N = (cosa,sina),万= (cos0,sin0),则同=Jcos，a + a =1，同理可得问=1,.方与厶不共线，贝|jsina8s0-8sasin0 = sin(a-0)HO,则 a-pkn(k eZ).对于A选项，由题意知，方与/；的夹角的范围为(0,兀)，而(a-fi)eR且 a-/3Hk7r(kwZ), A选项错误；对于b选项，设向量方与厶的夹角为e,则o <&<兀，所以，7：=同p|cos&

39、amp;=cos&w (-1,1), B 选项错误；对于c选项，由于2与5不共线,由向量模的三角不等式可得|a+5|<|a| + |5| = 2, c选项错误；对于D选项，.（玄 + 5）（方一万）=一沪=同一”= 0,所以，ci + b）丄（一b）, D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查平面向屋有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量 垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.18. C【分析】化简条件可得- = sinB = ,由正弦定理化边为角，整理cosC = 0,即可求解.c2【详解】vlga-lgc = lgsinB = -lg

40、>J2 , = sinB =.Be 0,£ ,c2I 2 丿:.B = -.4由正弦定理，得泌=返，c sin C 2=41cos C + sin C1 4）2 2 丿/. sin C = >/2 sin A = JT sin化简得cosC = 0.vCe（O.龙）,2则 4 = 7T B C =,4:.ABC是等腰直角三角形.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.19. C【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得A =-，再根据面积公式可求得be = 6（2- >/2）,4再代入余弦定理求解即可.【详解】ABC 中，dcos3+

41、bsin4 = c,由正弦定理得sin4cos3+sinBsin4 = sinC,又 siiiC = sin(A + B) = siii A cos B + cos A sin 3,:.sm 5sm A = cos Asm B,又 sinBO, :. sin A = cos A, :. tail A = L 又 Ag (05),3C =丄bcsinA = Z?c = 3(>/2-1),4 皿 24*7:.bc=6Q-忑),-ci = 2,由余弦定理可得 a' = (b + c)2 - 2bc - 2bc cos A, / (b + c)2 = 4 + (2 + >/2)bc

42、 =4+(2 + >/T)x6(2->/T) = 16,可得b + c = 4故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用，属于中档题.20D【分析】先根据=0,判断出ZA的角平分线与BC垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C，判断出三角形的形状【详解】解:ABAC分别为单位向量,:.ZA的角平分线与垂直, .AB = AC,4 AB AC 1cos A =-AB AC 23ZB = ZC = ZA = 3三角形为等边三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断.考查了学生综合分析能 力，属于中档题.

43、21D【分析】根据正弦定理，可得丄 tail A = - tan B = tanC ,令 tan A = 2k , tailB = 3k,235taiiC = 5,再结合公式taiiB = -tan(A + C),列出关于R的方程，解出£后，进而可得 到B的人小.【详解】2 cos A 3cosB 5cosC/ 3k =Ik10k2-!tail A + tail Ctail A tail C-l.sin A _ sin B _ siiiC2 cos A 3 cos 5 5cosC即丄 tan A = - tail B = - tan C ,235令 tail A = 2k 9 tai

44、l B = 3k , tail C = 5k ,显然 R>0, / tail = - taii(A + C)= tan B = 3k = 3，B=.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示tan& = 2&,tanB = 3k9 taiiC = 5k 是本题关键22. D【分析】由正弦定理确定BC的长，再AB = BC taii30°求出.【详解】.ZBCD = 15。, ZBDC 二 45。/.zCBZ） = 120°由正弦定理得:30y/2 _ BCsuil20 sin 45°30j?sm45°

45、;sin 120=20羽:.AB = BC tan 30° = 20>/3 x- = 203故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC,属于基础题.23. D【分析】根据已知条件可得|ac|2 -|2 =ac+abbc = 2AM就（伉+丽）=bC ,整理可得0,若E为BC中点,可知说丄ME，从而可知M在BC中垂线t,可得轨迹必过三角形外心.【详解】1AMBC|ac|2-|ab|2=(ac+ab).(ac-ab) = (ac+ab)bc =BCAC + AB-2AM =>bC(aC-血+M-血)=氏他二+沏)=设E为BC中点，则MC + MB =

46、2ME:.BC-2ME = 0 => 貳丄诡为BC的垂直平分线/. M轨迹必过MBC的外心本题正确选项：D【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将 已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.24B【分析】延长至D,可得出点戸是厶ADC的重心，再根据重心的性质可得出结论。【详解】延长P至D,使得PD = 2PB于是有PA + PD + PC = O即点卩是厶ADC的重心,依据重心的性质，有=由B是PD的中点，得%PAB PAC 、4PBC =丄/ 丄故选：B【点睛】本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。

47、另外本题是奔 驰定理直接推导得出。25. D【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行 计算即可得解.【详解】解：如图所示的RtAABC,其中角B为直角，则垂心H与重合，卜 csmB siiiCM 5_2 _57y/27 "To"故选：c.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题.28. B【分析】先根据正弦定理化边得C为直角，再根据余弦定理得角B,最后根据直角三角形解得a.【详解】因为sin2A+siii2B-sin2C = 0，所以 tz2 + b2-c2

48、= 0, C 为直角， 因为亍+c心0,所以辭=迸严冷宀彳, 因此a = ccos = 1选 B.3【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转 化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.29. D【详解】/(x) = 2cos2 x+/3 sm2x = cos2x+>/3 siii2x+l = 2sin(2x +) + L 当 兀二兰 时,sin(2x+弓)=sin £ h ±1八f(x)不关于直线x = £对称；6312LL当 x =二 时，2 sin(2x +£) + 1 = 1 八 /(x)关于点

49、(,1)对称;12 6 122ttf(X)得周期 T = = 7T f2当xw(一£,0)时,2x+沃(-驚)在(-,0)±是增函数.362 63本题选择D选项.30. D【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案.【详解】B DC 1 1 如图可 MD = AC + CD = AC + CB= aiTBC=_ b _ " 故正确._ 1 BE = BC + CE = BC + -CA1 一= d + -b ,故正确2 CF=CA + AE = CA

50、+ = b +扌（- 5）1 1 -= -« +-b 9故正确乙乙 AD + BE + CF = DA- BE-CF=-<dc + g4）+ bE + cf11-11-=（厅+5 ） + + b N +b =0,故正确.2 2 2 2故选D.【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意 义，将未知的向量分解为已知向量.31. C【详解】试题分析：因为oa = ob = oc,所以O到定点A.B.C的距离相等，所以O为AABC的外心，由丽+丽+疋=0，则NA + NB = -NC 取43的中点E,贝UNA + NB = -2NE = CN

51、 »所以2 NE = CN ,所以N是44BC的重心；由PAPB = PBPC = PC丙'得（PA-PC） PB = 0,即AC PB = 0 所以4C丄阳，同理4丄卩（？，所以点P为MBC的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.32A【分析】由条件 siii2A + sin(A-Z? + C) = sm(C-A-)+ -化简得出 sin A sin B sin C = -，设2 8AABC的外接圆半径为R,根据15SV2求得R的范怜I，然后利用不等式的性质判断即 可.【详解】AABC的内角 4、B、C 满足sin2A + sin(A-Z?4-C)= sm(C-,J.2即 sin24 + sin(4-F + C) + sin(4 + F-C)= *,即 sin24 + sin4-(B-C) + siii(4 + B-C)即 2sin4cos A + 2sinAcos(B-C) = *即-2 sin Acos(F + C)+2sin Acos(B_C) = *即 2siii Acos(B-C)-cos(B + C) = 4sinAsinBsinC =-,. sin A sin B sin C =-,8设ABC的外接圆半径为R,则一上一=上_ = 2/?,sin A s