特征值与特征向量的概念与计算PPT课件

1、例例 ,3113 A.01,11,11 ,222 A,444 A.13 kA ,2,4的的特特征征值值是是A对对应应于于特特征征值值分分别别是是 A ,42的的特特征征向向量量，.的的特特征征向向量量不不是是 A 第1页/共24页设设 A2 = A , 证明：证明：A 的特征值为的特征值为 0 或或 1 . 0 A设设 22 AAAAA则则 0,22 .10 或或证证例例 第2页/共24页则设,. 1AkA5.1.2 5.1.2 特征子空间特征子空间 nAVR,| 设设的的所所有有特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值是是方方阵阵 A,合合以及零向量所组成的集以及零向量所组成的集21A则

2、设,2 , 1. 2iAii).(212121AA.kkAk第3页/共24页？的特征向量吗的特征向量吗的所有向量都是的所有向量都是：思考思考AV .R 的的子子空空间间维维向向量量空空间间是是故故nnV nAVR,| 设设的的所所有有特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值是是方方阵阵 A,合合以及零向量所组成的集以及零向量所组成的集.的特征子空间的特征子空间称为矩阵称为矩阵 AV 第4页/共24页的的一一个个特特征征向向量量，的的属属于于特特征征值值为为若若 A,0)( 有有非非零零解解齐齐次次线线性性方方程程 XAI)0(, A0)(0)( AIIA或或. 0 AI 5.1.3 5.1

3、.3 特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算特征向量是齐次线性方程组特征向量是齐次线性方程组 (I - A) X = 0 的解的解因此，因此，(I - A) X = 0 的解空间就是的解空间就是A 的的特征子空间特征子空间第5页/共24页 .00的非零解的非零解是是设设 XAIA ,0)2(21iriiiiXAI 的基础解系：的基础解系：求求 步步骤骤：的的特特征征值值与与特特征征向向量量的的求求A的特征向量为：的特征向量为：对应于对应于则则iA ;,0)1(21kAI 相相异异的的根根：求求 .,212121不全为零不全为零iiirrriikkkkkk 第6页/共24页是关于是关于 的

4、一个多项式，称为矩阵的一个多项式，称为矩阵A的的特征多项式特征多项式, 称为矩阵称为矩阵A的的特征方程特征方程,定义定义 ,n nijn nAa nnnnnnaaaaaaaaaAI 2122221112110)( AIf 特征方程特征方程也也称称为为的的根根就就是是特特征征值值 ,.特征根特征根记为记为 f ()，第7页/共24页 ,521|32 AIf设设的的单单特特征征根根，： A1 的的二二重重特特征征根根，： A2 .:5的的三三重重特特征征根根A 例例 特征值的重数称为的代数重数代数重数；特征值所对应的齐次线性方程组(I - A) X = 0的基础解系所含解向量的个数称为的几何重数几

5、何重数，即特征值所对应线性无关特征向量的个数特征值所对应线性无关特征向量的个数.定义定义第8页/共24页解解第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值. .例例 求矩阵求矩阵的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.110430102A 特征值为特征值为第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组 求非零解求非零解. .) 12)(2(2 201034011 AI 0 XAI .1, 221二二重重 第9页/共24页齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时时，12 系数矩阵系数矩阵100010000自由未知量自由未知量3x

6、120 xx令令 得基础解系得基础解系31x 1001p 111(0k p k常数常数) )是对应于是对应于12 的全部特征向量的全部特征向量.110430102A 02 XAI 0010140132AI第10页/共24页齐次线性方程组为齐次线性方程组为10101200013232xxxx 222(0k p k常数常数)是对应于是对应于231的全部特征向量的全部特征向量.得基础解系得基础解系 1212p110430102A 0 XAI 101024012AI 时时，二二重重当当12 第11页/共24页.,242422221的特征值与特征向量求AA220422221 200462241 722

7、. 7,(221 二二重重）解解242422221AI 62412 例例第12页/共24页,21的的特特征征向向量量求求 即即, 01 XAI .000442442221321 xxx 44244222132122xxx .1, 0, 20, 1, 221TT ，基基础础解解系系为为： .,212211不不全全为为零零特特征征向向量量为为：kkkk 系数矩阵系数矩阵,000000221 第13页/共24页,72的的特特征征向向量量求求 00011021015424522282AI ,213231xxxx ,2,2,1T3 .0333 kk 特征向量为特征向量为基基础础解解系系为为：第14页/共

8、24页重要结论：重要结论：1. 特征值的代数重数特征值的代数重数大于等于大于等于它的几何重它的几何重数数. (知道结论即可知道结论即可)2. 对角对角矩阵及矩阵及三角三角矩阵的特征值为其主对角元矩阵的特征值为其主对角元.第15页/共24页 求求数量矩阵数量矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.naI解解.重重特特征征值值的的为为数数量量矩矩阵阵可可知知数数naIan因此，因此，所有所有n维非零向量维非零向量都是此数量矩阵的都是此数量矩阵的特征向量，即特征向量可表示为特征向量，即特征向量可表示为nnkkk 2211不全为零）不全为零）（nkkk,210)()(XaIaIXAInnn例例第1

9、6页/共24页例例 设矩阵设矩阵 A 可逆可逆, 且且 ,0 A 111 AAAA AA1.,00矛盾，则若.1,01 A,1 AAAIAAA又又.1 AAAA 解解.1的特征值与特征向量的特征值与特征向量与与求求 AA第17页/共24页例例 设设 为矩阵为矩阵 的特征值的特征值, 求求 的特征值的特征值； A若若 可逆，求可逆，求 的特征值的特征值.A, 12 I)2A(A22 的特征值为的特征值为. 111 的特征值为的特征值为AI解解 I2AA2 1 AI第18页/共24页例例 ,122212221 A设设.11的特征值的特征值与与求求 AIA ,152 AI .1,521二二重重 解解

10、 二重二重：的特征值为的特征值为1,51211 A,541：的特征值是的特征值是 AI 二二重重2第19页/共24页., 0,2, 03 :41的一个特征值分别求满足条件阶方阵设AAAAIAAAIAT知知由由03 IA,3的的一一个个特特征征值值是是A .311的一个特征值的一个特征值是是从而从而 A即即,162 IAAT, 4,162 AA于是于是.34*有一个特征值为有一个特征值为故故A解解 得得又由又由IAAT2 , 4, 0 AA因此因此但但例例 第20页/共24页定理定理 设设n阶方阵阶方阵 的的n个特征值为个特征值为 ijAa 12,n 则则12n11221 1) ( )nnnii

11、iaaaatr A 称为矩阵称为矩阵A的的迹迹.（主对角元素之和）（主对角元素之和）12n12) niiA 注注 A可逆的条件可逆的条件.00AAAn可逆阶方阵第21页/共24页 AIfA nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211证明证明Aaaannnnn)1()(12211 )()()(21nAf 又又nnnnn 21121)1()(的的系系数数和和常常数数项项比比较较1 n n 21nnaaa 2211 n 21.A第22页/共24页设设A为为3阶方阵阶方阵, A的特征值分别为的特征值分别为 -1、4、2, 求求.3 3 1IAIA ，以及行列式以及行列式的特征值，的特征值，1)3( IA例例 解解 3.23431)3( 、的的特特征