平面向量题解法的切入点探究

1、平面向量题解法的切入点探究【摘要】平面向量是高屮数学屮重要的、基本的概念，它是沟通代 数、儿何与三角函数的一种工具在高考中常以两种形式出现：其一，小 题的形式出现时，主要围绕向量的基本运算和利用向量研究角、模长、平 行和垂直等问题，考查向量的基础知识；其二，解答题形式出现时，向量 与三角函数、解析几何等英他知识的综合问题，考查运用平面向量解决问 题的能力，凸显平面向量的工具作用.【关键词】平面向量；解题；探究平面向量的小题大多涉及知识点少，题目入口宽，思路灵活多变如 何灵活运用已有的平面向量知识，选择有效的方法，快速准确地解决问题, 困扰了不少学生.本文试图通过对一道平面向量问题的多角度分析，

2、来总 结平面向量问题常用的解题切入点予以归纳，为大家提供参考.题目已知向量a, b, c满足a+b+c二0, (a-b)丄c, a丄b,若|a|=b 则 |a|2+|b|2+|c|2 的值是.切入点一：数量积的直接运用求解模长是平面向量的常见问题，应用数量积是容易入手的方法对 于数量积的应用，学生较易入手，此类解题思路最为常用这个切入点需 要在解题进行中不断调整，对于数量积的公式变换应用，如何将问题转化 为已知条件的数量积表示是解题成功关键.方法一(数量积的合理变换) 想求解| a 12+1 b 12+1 c 12可从a+b+c二0变换开始寻找思路.由 a+b+c二0 可推岀(a+b+c) 2

3、=02=0,即 a2+b2+c2+2a?b+2b?c+2c?a二0. (*) 只要解得三组数量积就能得出答案.开始分析已知条件：由a丄b可得a?b=0,由(a-b)丄 c 可得(a-b) ?c=0,即 a?c-b?c=0.由 a+b+c二0 可知 a? (a+b+c) =a?0=0,即 a2+a?c=0.上述三式联立可得a?c=b?c=-l代入(*)中可得|a|2+|b|2+|c|2=4.方法二(数量积的合理变换)由 a+b+c二0 可得 c二-(a+b),结合(a-b)丄c 可知(ab)丄(a+b),(a-b) ? (a+b)二a2-b2二0,于是 a2=b2=l.由a丄b可得a?b=0,结

4、合c二- (a+b)可知c2= (a+b) 2=a2+2a?b+b2=a2+b2=2于是 |a|2+|b|2+|c|2=4.切入点二：平面向量的坐标运算平面向量的坐标是平面向量基本定理数量化体现，将平面向量统一标 准度量坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解 题目标对于条件屮包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的 坐标系，应用坐标法来统一向量表示，达到转化问题，简单求解的目的.方法三（平面向量的坐标应用，将向量问题转化为坐标问题）由a丄b可以考虑借助坐标系，把向量问题坐标化.由 a|=l,不妨设沪（1, 0）, b= （0, y） （yur）,则由 a+b+c二0 可

5、得 c二（-1, -y）由（a-b）丄c 可得（1, -y） ? （-1, -y）二0,即 y2=l,那么 | a12+1 b 12+1 c 12二l+y2+l+y2二4.切入点三：图形运算与数形结合向量的图形法则与数形结合切入点，适用于能将多个向量的计算问题 转化为一个图形屮的某个量计算此类方法建立在学生熟悉平面几何屮常 见图形：三角形、平行四边形的相关性质，能够将图形中反映的儿何度量 问题与向量的图形运算有效结合起来，达到转化问题，减少运算，进而达 成解题目标.方法四（向量运算的图形法则运用，数形结合思想应用）由 a+b+c二0 可得 c二-（a+b）,结合（a-b）丄c 可知（ab）丄（a+b）, 于是将图1中的矩形可进一步确定为正方形.（如图2）至此，题目中所涉及的向量均已在图中体现，山|韵二1可推得|b|=l,i c | -2.于是所求 a|2+ b 12+ c 2二 1+1+2二4.单独考查平面向量的问题多为选择、填空题，要求学生能达到快速准 确解答这就要求学生整合个人知识方法，根据题r条件灵活选择数形结