理学固体物理晶格振动与晶体的热学性质PPT课件

1、回忆、长波近似：弹性波 机械振动在介质中形成波（横波、纵波） 当波长很长时，可以不考虑原子的性质，而把固体当作连续介质，相应的波称为弹性波（机械波）。 满足连续性波动方程 例：一维纵波方程：你知道哪些？02222tuYxu第1页/共69页取行波解: 对横波，这种色散关系也成立 例：真空中的光 kvks,/2是常数/kvs波速kkvs线性色散关系)(txkiAeuck第2页/共69页 线性色散关系对长波有效 我们将看到，当波长很短 a 时，与弹性波偏离增加，需考虑晶格的结构格波 这是本章的重点 当减小时，晶格的不连续性变得更重要，原子开始对波产生散射，散射的结果是减小波速而阻碍波的传播 这是本章

2、的重点主要结论k第3页/共69页3.1 简正模和格波第4页/共69页一、微振动理论 例：单谐振子xmqqqkxxmH,2121212122222一般的，晶体有N个原子，3N个自由度，对应3N个位移分量ui。引入约化坐标NiuMqiii3 , 2 , 1,NiiqT31221第5页/共69页两原子间势能: :取平衡位置附近：小振动:忽略高阶项32 6121)()(0000qVqVqVaVqaV0, 0)(00VaVV221qV第6页/共69页N个原子：jijiijjijijiNqqqqqqVqqV,02312121,jijiijiiqqqH,221213N个耦合谐振子Niqqjjiji3 , 2

3、 , 1, 0 221qV第7页/共69页处理这样的问题，有标准的线性代数方法：（1）求本征值0,2jjijitiiiCCeCq（2）坐标变换tiiiiiiiCeQQQH,2122Qi：简正坐标，它表示所有原子q以同样的频率振动，称为简正模（单模）第8页/共69页二、格波 可以证明，在某个简正模下，所有原子都以同样频率振动：tRqiqjleAq:原子振动形成平面波，由于只在格点处有振动，称为格波 N个原子振动，等于3N个独立谐振子，等价于3N个独立的格波第9页/共69页3.2 一维单原子链振动第10页/共69页一、运动方程及其解本节从最简单的晶格模型一维单原子链出发，讨论格波的特点N个原子（相

4、同）排在一直线上，间距为a，位移为ul all-1l-2l+1lu2lu1lu1lu第11页/共69页一般方法：pllplplluuuMH,222121NluuuMplplpl, 2 , 1, 0 最近邻近似：NluuuuMllll, 2 , 1,211 第12页/共69页简单的：相邻原子间作用力： 第l个原子 :ddVfNluuuuMllll, 2 , 1)2(11 )()(11llllluuuuuM 第13页/共69页可以严格求解，设如下的“格波”形式解 A，为待定常数，带入方程得： )(laqtilAeuaqMaqM21sin4cos1222 aqMq21sin2第14页/共69页二、格

5、波特性 1. 色散关系 aqMq21sin2波的（群）速度： aqaMdqqdvg21cos波的速度与频率有关，且有周期性： hKqhaqq2第15页/共69页 长波极限（连续介质）这对应固体中的声，无色散qMaaqmq 02sin2aMcqc,第16页/共69页 长波极限下：qq2, 0短波极限下：aqaq22, 驻波，波速是0第17页/共69页2. 布里渊区（BZ）*：由于周期性，q和q+Kh代表同一振动模（所有原子振动没有变化）所以q的取值限制在 ： BZaaq1,例：晶格对下面两种波的“感受”完全一样aqaaqa25,542,42211第18页/共69页3 3 波恩冯卡门边界条件：前面

6、没有考虑边界效应，相当于无穷长链。有限长链考虑边界。驻波条件：假定两端不动，而中间原子振动。周期性边界：两端原子也振动，但假定右端和左端相连接，这相当于一个首尾连接的大圆环本书取第二种边界条件。由于宏观固体很大，边界效应不重要，采用两种边界条件都可以，周期性边界在数学上更简便。第19页/共69页加上边界条件后，解的形式不变，仅对波数q提出限制：iaqaqNiee)1(2hNaq 2,2,2NNhhNaq11uuN第20页/共69页第一布里渊区共有N个振动模式,均匀分布。定义（态）波矢密度：单位波矢数内的模数aa 22LNaq NdqLdqLdqqaa22*第21页/共69页小结 一维单原子链（

7、N）振动，有N个简正模，每个模是简谐格波：)(laqtilAeuq取决于边界条件：2,2,2NNhhNbhNaq第22页/共69页第23页/共69页取决于运动方程得到的色散关系： aqMq21sin2波振幅A取决于能量晶格中任意振动，可以分解为这些格波的线性叠加单链的频率谱成为带，即有最低、最高频率第24页/共69页3.3 一维双原子链振动本节讨论最简单的复式晶格, 模拟双原子分子第25页/共69页一、运动方程及其解设有两种原子，m, M，各N个（N个原胞），晶格常数为al-1l+1ll+2lulv在最近邻近似下，运动方程：)2()2(11llllllllvuuvmuvvuM 第26页/共69

8、页取行波解:只假设两种原子振幅不一样)()(tqlailtqlailBevAeu0211222BAmeeMiqaiqa0211222meeMiqaiqa第27页/共69页振幅满足：iqaemAB1222/12222sin411qaMmmMmMMm02cos4)(22224qaMmmM第28页/共69页二、声学波和光学波1.周期性与布里渊区 hKqhaqq2BZaaq1,第29页/共69页2.2.声学支2/12222sin411qaMmmMmMMm长波极限：q0， 1,2ABcqqmMa色散关系是线性关系，故称为声学支元胞中两原子运动一致，像刚体分子一样，它们的质心振动和单原子链等价。第30页/

9、共69页在布里渊区边界重原子振动，轻原子不动这是驻波,aq, 0,2ABM第31页/共69页3.3.光学支2/12222sin411qaMmmMmMMm长波极限：q0， MmmM,2mMAB第32页/共69页q 0 时，两种原子相对振动，保持质心不变 对离子晶体，这是两种离子的电偶极矩振荡，能够对+ 的红外光产生强烈共振吸收，所以称为光学支。第33页/共69页在布里渊区边界 重原子不动，轻原子振动 这是驻波,aqABm,2第34页/共69页采用周期性边界： 共 N 个 q 模，2N 个 模，与自由度一致，所以得到了全部振动模 。2,2,2NNhNahq三、波恩冯卡门边界条件NllNllvvuu

10、,第35页/共69页小结 一维双原子链（N）振动，有N个独立波矢每个波矢量q，有2个独立模，共有2N个独立模2,2,2NNhhNbhNaq2/12222sin411qaMmmMmMMm第36页/共69页晶格中任意振动，可以分解为这些格波的线性叠加两种模分别形成两个带，带间有带隙第37页/共69页3.4 三维晶格的振动 格波量子声子第38页/共69页一、三维晶格的振动 三维情况可以以一维情况类似推得出一些结论，而不需严格求解系统： N=N1 N2 N3 个元胞，每个元胞中有n个原子有N个独立波矢：22,333222111iiiNhNbNhbNhbNhq第39页/共69页 在q空间中是均匀分布的。

11、每个点子占据的体积为：倒格子原胞的体积NNbNbNb1332211 33022VNvq每个q，有3n个独立模s ，它们形成3个声学支，3-3光学支第40页/共69页也可以定义态密度：波矢空间中，单位体积元的模数 33022nVNvnqm第41页/共69页量子力学中，谐振子有分立的本征能量2/012/32二、量子理论声子 1.1.补充知识：谐振子量子理论2222221212121qqkxxmH, 1 , 0,21nnn第42页/共69页声子：简谐振动的量子（如同光子）1) 声子可以产生，消失，对应于振子的激发2) 声子遵从BoseEinstein 统计 （s=0)3) 声子是系统原子激体振荡的效

12、应关于 ，有两种等价的观点：1）激发态：谐振子处在第n个激发态2）声子：体系有n个声子n第43页/共69页2. 晶格振动量子理论 等价于3nN个独立谐振子iiiiQQH2221 用量子理论描述，每个模的本征能量： , 1 , 0, 121qssqsqsnnsqn 等价地：晶格振动有3nN种声子第44页/共69页3.3.声子的统计理论T=0K时，声子数n=0（谐振子处在基态）。T0K时，声子的数目在平均数上下变化。其中，有nqs个声子的概率： qssqssqsnkTqnkTqnqsieenP/配分函数T0K时，平均声子数： qsniqsqsqsnnTn 11TkqqsBseTn第45页/共69页

13、 声子的能量由于不同模是独立的，晶格振动的总声子平均数，总平均热激发能： qnTsqsqs21)( sqsqssqqsqnTUTnTn,21)(第46页/共69页4.4.声子的准动量声子是一种能量子，有粒子性，有能量，还有准动量：电子、光子等与晶格振动的作用，可以描述为声子的吸收和发射。如光的散射过程：q qkEkEKqkkshkqqkk第47页/共69页3.7 晶格振动比热容晶体的比热包括：晶格热容，（价）电子热容。请回忆这两种热容第48页/共69页一、经典理论 杜隆替定律 N个原子的振动 分成3N个独立的振动自由度 3N个谐振子，按经典统计，每个自由度的平均能量： 比热 kTRNkNkTT

14、TECvv333与温度和材料无关，但实验上测定，当 T 0k 时，C 0第49页/共69页二、晶格比热量子理论 晶格比热 11,21)(,TkqqssqsqsVBseTnqnTU 2/2,1,TkqTkqBsBssqsVVBsBseeTkqkqCqCTUTC晶格振动的平均热能第50页/共69页 sqsVqCTC,要得到比热，必需先知道晶格振动的本征波矢，然后完成求和。困难在于，实际晶格的本征波矢q很难得到。第51页/共69页三、Einstein 模型 及其比热(1907) Einstein假设所有的原子以相同的频率0振动设 ： 定义: 爱因斯坦温度 Esq 2/213TkTkBEBEVBEBE

15、eeTknNkTCBEEkT 2/213TTTTEBEVEEeeTTnNkTC第52页/共69页ETT /第53页/共69页与经典值一致。原因：高温时，声子能量远小于热激发能kBT，近似为连续能级。（1 1）高温极限： BEVEnNkCTT3,（2 2）低温极限：原因：T0 时，振动被冻结在基态上，很难激发。03,/2TTEBEVEEeTTnNkCTT第54页/共69页TE的值由实验数据拟合得到。大多数固体TE在100300K，金刚石为1320K。成功：能够定性说明固体比热和温度的关系，特别是低温时趋于0。不足：在低温时， 趋于0的速度过快原因：其假设过于简单，缺少低能声子爱因斯坦模型的实质：

16、该模型的声子对应光学声子。第55页/共69页要得到比热的精确结果，需要完成求和。由于q q在倒空间是准连续的，求和用积分代替： ssqssVqCqdVqCTC*3,2四、声子态密度 32,*VqqdqCqss q波矢密度：在q q空间单位体积元内的模式数第56页/共69页 dCTCV0转换到对频率积分 声子态密度 表示单位频率间隔内的模式数。约束条件： nNd30 ssqqdSV32第57页/共69页推导 dqqdVCdqCqdVqCqdVTCssssssV*333222 ssqqdV*32第58页/共69页qdSSdS ssqqdV*32 dqqddqdSqdsq, sssqssqqddSV

17、qdqdSV3322 ssqqdSV32第59页/共69页不同维度的表达： ssDssqDssqDdqqdLqdlSqdSV222212233例：爱因斯坦模型 Esq EssqnNqdSV323qEE 第60页/共69页 五、德拜模型和德拜比热(1912) Debye考虑声子频率的分布。假设一：晶格振动为连续介质中的弹性波。有1个纵波，2个横波，满足色散关系：ttllcqcq,假设二：有截止波矢，qqqqD D的波不存在312*36,34VNqqDD第61页/共69页对应的截止频率：在截止频率内：333*333333213,3343234tlDtDlDcccccc3126VNcqcDD cqq

18、csq 322233234322cVcqVqdSVssq第62页/共69页德拜态密度： DDDDN, 0,932第63页/共69页 deeTkkNdCCTkTkBBDDDVBBD2/2032) 1()(9引入德拜温度：BDDkTkB/TfNkdeeTNkCDBTDBDVD319/0243德拜温度是未定参数，它可以（1 1）由平均速度定义；（2 2）与实验数据拟合。第64页/共69页成功：在低温时，较精确不足：温度较高时，德拜温度变化。该模型用弹性波假设，没有反映格波特性。 低温极限：34/02435413DTDDTdeeTTfD334512ATTNkCDBDVEinstein Einstein 模型 处理光学支比较合适Debye Debye 模型 处理声学支比较合适第65页/共69页习题3.1，3.2补充习题：证明：长波下单原子链运动方程为可化为连续介质弹性波动方程 )2(11nnnnuuuum