chap01 motion

1、教案 第一章 质点运动学第一章 质点运动学Motion of particles说明：由于本章内容在高中已有接触，故在讲解中着重于从入手，导出、，然后利用积分方法，重点是建立瞬时的概念。§1 质点运动的描述Discription of motion of particlesyxzP(x,y,z)r1. 位置矢量表示质点在坐标系中的位置，质点运动时，位置矢量是随时间变化的。因此是时间的函数，即： （1）我们称上式为质点的运动方程。例题1如图,设绳的原长为l0，人以匀速v0拉绳子，试写出小船的运动学方程。解：建立如图所示的ox坐标轴，t=0时，绳长为l0-v0t；此时船的坐标是：上式即为

2、小船的运动学方程，它指出小船的位置x随时间t的变化规律。讨论： (船的速度如何？)讲速度之前的思考讨论题。 负号表示速度方向，与x轴正相反。yxzDrrArB质点的运动路径 问题：在中学也处理过此问题，当时是怎样解决此问题的，为什么要那样处理，与现在的办法比较，哪种简单一些？当质点运动时，其位置矢量发生变化，这个变化，我们用位移来描述，如右图所示，说明：位置矢量可以确定质点当前位置，与坐标系选取的原点有关；位移是位置矢量的变化量，与坐标系选取的原点无关。2速度、加速度定义瞬时速度：,，同理：说明：速度的方向是位移的方向，不是位置矢量的方向；加速度的方向是速度增量的方向，不一定是速度的方向，圆周

3、运动就是例子。已知可按求得，从而运用求得；现在倒过来通过积分，即可求得运动方程，以为恒量。例：设t=0时，得2.1 位移时间曲线与速度时间曲线点：A点表示时刻t质点的位置为x。斜率：曲线上A点切线的斜率为该时刻质点瞬时速度的大小，；点：B点切线的斜率表示该时刻质点加速度的大小，;面积：曲线与ot轴所围的面积为该段时间内的位移，上方为正，下方为负。例题2：一质点的运动方程为;b，c>0，xt图如下图所示，试求任一时刻的v，a，并作图。解：由速度的定义有：同理有：讨论：由作出的vt图形，可求得该质点时间内的位移为上边三角形面积；同理的位移为；而的位移为0；即质点又回到原点。§2加速

4、度为恒量时的质点运动Motion of particles with constant acceleration1加速度为恒矢量时质点的运动方程：当为恒矢量时，由加速度的定义得：；设t=0时，v=v0有在xy坐标系中有：设t=0时，质点的位矢为，根据速度的定义有：，即上式即为此情况下质点的运动方程，写成分量形式为：在oxy坐标系中，其分量式和矢量式的图形如图所示。在运动方程中消去时间t可得到y(x)函数表达式，这就是质点在平面上运动时的轨迹方程。2斜抛运动在xy坐标系中的斜抛运动中，即考虑地球表面附近的斜抛运动，则有：由图中可以看出，斜抛运动可作看是沿x轴成a角的匀速直线运动与y轴方向匀加速直

5、线运动叠加而成。而且这两个运动是互不影响的，这就是通常所说的运动叠加原理。下面讨论斜抛运动中的轨迹方程和最大射程问题：设t=0时，x0=0，y0=0；，则有：消去时间t得其轨迹方程为：上式是一个抛物线方程，说明抛体的路径为一抛物线。抛物的射程即当y=0时，其x值，由得：；代入得：最大射程条件为：；即时，真空中路径实际路径若考虑空气阻力，则物体经过的路径为一不对称的曲线，实际射程要比真空中的射程小很多，示意图如右图所示。下面给出几个真空中和空气中弹力的射程数据初速m/s射角真空射程m实际射程m7.6mm子弹80015032700387085mm炮弹700450500001600082mm炮弹60

6、450367350利用斜抛体的运动方程，经适当修正，可粗略估算出洲际导弹的射程。§3 圆周运动、切向加速度和法向加速度Circular motion, centripetal acceleration1圆周运动的切向加速度和法向加速度OABvAvBvCvADvADvDvCC如图作圆周运动的质点在时间内，由A到B，速度由变为，若以为半径作圆弧交于c点，画出和，则有：显然反映速度的数值变化，而反映其方向变化，当时，方向为切线方向，注意：是对速度大小的求导。，方向为向心方向，因为OAB与速度三角形相似，所以有，即，当时，vAOfanaat写成一般的形式为：注意：，而，此时，加速度不再指向圆

7、心，其方向有tgf来决定。对一般曲线运动，半径r由曲率半径r来代替，即：；讨论：当v不变时，为匀速圆周运动，此时只有向心加速度。例题3：求以初速度v0平抛的质点切向加速度和向心加速度。解：在任一时刻t有： xyoxyqRv问：和的方向如何求得？2加速度an、at的推导如图xyoxyqnt而；恰为切线和法线方向的单位矢量，如下图所示则其中；这种推导方法的好处在于直接从速度、加速度的定义入手，比原来的推导方法更直接。§4 相对运动 Relative motion设有两个参照系S、S1，其中S1以速度相对S沿直线运动，经过时间Dt后，若一质点在S1中的位移为，则该质点在S系中的位移为：v&

8、#162;uv这就是位移的相对性，由位移的相对性可得到速度的相对性，即：上式说明一物体的速度等于该物体相对另一运动参照系的速度与该参照系的速度之和，对更一般的问题，可如此求相对速度。例题：汽车在雨中行驶，雨滴以v1速度下落，方向偏竖直前方q角，车后有一长为l的车厢未被盖住。蓬高未h，为使后边不被淋湿，问车速v2应为多大？解：利用相对速度法求解，雨滴相对车的速度v如图，则有： v1vv2aq而即：汽车须以大于v2的速度行驶。例题：G.Gamov（伽莫夫，美）桥下失落空瓶命题：小船在河中逆水而上，经过桥下时恰好失落一个带空瓶塞的空瓶于水中。半小时后发觉，即掉头追寻。问：经过多少时间可追得此瓶？船对水的速度始终不变。解：坐标选在岸上，设船相对于水的速度为v；水相当于岸的速度为u，时间t后追寻到瓶子。逆水时，船相当于岸：；掉头时离桥距离为：顺水时，船相当于岸：；则 *上式中为瓶子漂离桥的距离。解*式可得：，即：经过半小