一题一课------圆周角定理的推论

1、圆周角-圆周角定理推论的应用苏科版2014年8月版九年级数学上册2.4圆周角第二课时中有一例题及拓展与延伸，本题较好的反映了圆周角定理及其推论的应用，同时也体现了本课的一个教学目标，让学生体会分类、转化的数学思想方法，从中也能够学会数学的思考问题。本课目标：1、能够运用圆周角定理及其推论解决相关问题；2、体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题教学重点：能够运用圆周角定理及其推论解决相关问题；教学方法：拓展延伸、一题多练教学过程设计：课题的引入：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90

2、°的圆周角所对的弦是直径同时从符号语言及图形语言认识这两个定理。课本P57例3已知：BC是O的直径，A是O上一点，ADBC，垂足为D， AEAB，BE交AD于点F（1）ACB与BAD相等吗？为什么？（2）判断FAB的形状，并说明理由 本题让学生再次体验圆与直线型图形的联系，让学生将直线型图形的有关知识与圆的有关知识综合起来加以运用。据题设条件，点A与点E实际上存在两种位置关系：点A与点E在直线BC的同侧或两侧。对这两种位置关系，FAG是等腰三角形的结论都成立。拓展：1图中是否存在与FB相等的其他线段？拓展：2在例2中，若点E与点A在直径BC的两侧，BE交AD的延长线于点F，其余条件不

3、变（如下图），例2中的结论还成立吗？ 变式1、如图，已知BC为O的直径，ADBC，垂足为D，BF交AD于E，且AE=BE求证：=；分析：求得C=ABF，通过同圆中相等的圆周角对应的弧相等，可证明=；解答：（1）证明：连接AF、AC，则F=C，AE=BE，DAB=ABEBAD=C=90°-ABD，C=ABF=点评：主要考查了圆中的有关性质要掌握其中的相交弦定理，圆心角，弧，圆周角之间的关系和勾股定理的运用是解题的关键如图所示，BC是O的直径，ADBC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于点E；求证：BE=AE分析：由BC是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得BAC=90

4、6;，又由ADBC，即可得BAD=C，又由AB=AF，根据圆周角定理，易得ABF=F=C，则可证得ABF=BAD，继而证得结论解答：证明：BC是O的直径，BAC=90°，BAD+DAC=90°，ADBC，DAC+C=90°，BAD=C，C=F，BAD=F，AB=AF，=，ABF=F，BAD=ABF，BE=AE点评：此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质以及弧、弦的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用如图所示，BC是O直径，ADBC，垂足为D，BF与AD交于E，求证：AE=BE分析：连CF，AC，由在同圆中等弧对的圆周角相等得到BCA=ACF，ACF=ABF

5、，由同角的余角相等得到BAD=BCA，所以ABF=BAD，即BE=AE解答：证明：连CF，AC，BCA=ACF，ACF=ABF，BC为圆的直径，BAC=90°，ABC+ACB=90°，又ADBC，ADB=90°，ABC+BAD=90°，BAD=BCA，ABF=BAD，即BE=AE点评：本题利用了圆周角定理，在同圆中等弧对的圆周角相等如图，BC为O的直径，ADBC，垂足为D，BF与AD交于E(1)求证：AE=BE；(2)若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长分析：（1）连AC，要证明AE=BE，只要证ABE=BAE；BC为O的直径，得到BAC=90&

6、#176;，而ADBC，可得BAD=ACB，由，得ACB=ABF，这样就有ABE=BAE；（2）由A，F把半圆三等分，得到ACB=CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据BAD=ACB，得到BAD=30°，所以BD=3，最后在RtBDE中，CBF=30°，BD=3，即可求出BE解答：解：（1）连AC，如图，BC为O的直径，BAC=90°，又ADBC，BAD=ACB，又，ACB=ABF，ABE=BAE，AE=BE；（2）A，F把半圆三等分，ACB=CBF=ABF=30°，BAD=30°，在RtABC中，BC=12，所以AB=B

7、C=6，在RtABD中，AB=6，所以BD=AB=3，RtBDE中，CBF=30°，BD=3，DE=，BE=2，所以AE=2点评：本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半同时考查了直径所对的圆周角为90度以及含30度的直角三角形三边的关系为1：2如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CEAB，垂足为E，BD交CE于点F求证：CF=BF；分析：连接AC，根据已知条件利用等角对等边可以得到CF=BF； 解答：证明：连接AC，如图C是弧BD的中点BDC=DBC又BDC=BAC在ABC中，ACB=90°，CEABBC

8、E=BACBCE=DBCCF=BF； 点评：此题主要考查学生对圆周角的定理等知识点的综合运用能力 已知：如图，BC为O的直径，ADBC，垂足为D，BF和AD交于E，过A的切线交CB的延长线于G求证： AE=BE； 分析：（1）可证BAE=ABE连接AC，则ABE=ACF=ACB，所以证BAD=ACB即可有这两角都与ABD互余得证；解答：证明：（1）连接AC，ACB=ABF 又ACB=90°-ABD=BAD， BAE=ABEAE=BE 如图所示，BC是O直径，ADBC，垂足为D，BF与AD交于E，求证：AE=BE证明：连CF，AC，BCA=ACF，ACF=ABF， BC为圆的直径，BA

9、C=90°，ABC+ACB=90°，又ADBC，ADB=90°，ABC+BAD=90°，BAD=BCA，ABF=BAD，即BE=AE 解析：连CF，AC，由在同圆中等弧对的圆周角相等得到BCA=ACF，ACF=ABF，由同角的余角相等得到BAD=BCA，所以ABF=BAD，即BE=AE如图，BC为O的直径，ADBC，垂足为D，BF与AD交于E(1)求证：AE=BE；(2)若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长解：（1）连AC，如图，BC为O的直径，BAC=90°，又ADBC，BAD=ACB，又，ACB=ABF，ABE=BAE，AE=BE；

10、（2）A，F把半圆三等分，ACB=CBF=ABF=30°，BAD=30°，在RtABC中，BC=12，所以AB=BC=6，在RtABD中，AB=6，所以BD=AB=3，RtBDE中，CBF=30°，BD=3，DE=，BE=2，所以AE=2 解析：（1）连AC，要证明AE=BE，只要证ABE=BAE；BC为O的直径，得到BAC=90°，而ADBC，可得BAD=ACB，由，得ACB=ABF，这样就有ABE=BAE；（2）由A，F把半圆三等分，得到ACB=CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据BAD=ACB，得到BAD=30°，

11、所以BD=3，最后在RtBDE中，CBF=30°，BD=3，即可求出BE如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CEAB，垂足为E，BD交CE于点F求证：CF=BF；证明：连接AC，如图C是弧BD的中点BDC=DBC又BDC=BAC在ABC中，ACB=90°，CEABBCE=BACBCE=DBCCF=BF；解析：连接AC，根据已知条件利用等角对等边可以得到CF=BF；作CGAD于点G，先利用HL判定RtBCERtDCG，推出BE=DG，根据边之间的关系可求得BE的值，再根据相似三角形的判定得到BCEBAC，根据相似三角形的对应边成比例，可得到BC2=BEAB，这样便求得BC

12、的值，注意负值要舍去如图，AB是O的直径，CF=BF，CEAB，垂足为E，BD交CE于点F(1)求证：C是弧BD的中点；(2)若AD=3，O的半径为4，求BC的长（1）证明：如图，连接AC，CF=BF，BCE=DBC，AB是O的直径，ACB=90°，BAC+ABC=90°，CEAB，BCE+ABC=90°，BCE=BAC，DBC=BAC，=，C是弧BD的中点； 解析：（1）首先连接AC，由AB是O的直径，可得ACB=90°，又由CEAB，利用同角的余角相等，可求得BCE=BAC，又由CF=BF，利用等边对等角，可得BCE=DBC，即可判定BAC=DBC，

13、则可得C是弧BD的中点；如图，已知AE为O的直径，ABC内接于O，ADBC于D交O于F(1)求证：BAE=CAF；(2)若ACB=60°，CF=2，求O的半径分析：（1）连接BE，由于BE是直径，那么所对的圆周角等于90°，则BAE=90°-AEB，ADBC，则ADC=90°，则有CAF=90°-ACB，又BEA=ACB，那么利用等角的余角相等，可得BAE=CAF；解答：解：（1）证明：连接BE，AE是直径，ABE=90°，BAE+AEB=90°，又ADBC，ADC=90°，CAF+ACB=90°，又AE

14、B=ACB，BAE=CAF；点评：本题利用了直径所对的圆周角等于90°、同圆中同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等、同圆中相等的圆周角所对的弦相等 如图，已知AE为O的直径，ABC内接于O，ADBC于D交O于F(1)求证：BAE=CAF；(2)若ACB=60°，CF=2，求O的半径解：（1）证明：连接BE，AE是直径，ABE=90°，BAE+AEB=90°，又ADBC，ADC=90°，CAF+ACB=90°，又AEB=ACB，BAE=CAF；（2）BAE=CAF，CF=2，BE=2，又ACB=60°，ADBC，CAF=30°，BAE=30°，AE=2BE=4，O半径=2解析：（1） 连接BE，由于BE是直径，那么所对的圆周角等于90°，则BAE=90°-AEB，ADBC，则ADC=90°，则有CAF=90°-ACB，又BEA=ACB，那么利用等角的余角相等，可得