导数中双变量的函数构造

1、导数中双变量的函数构造21（12分）已知函数（）（1）若函数是单调函数，求的取值范围；（2）求证：当时，都有21解：（1）函数的定义域为，函数是单调函数，或在上恒成立，即，令，则，当时，；当时，则在上递减，上递增，；，即，由得在上递减，上递增，又，时，；综上可知，或； .6分（2）由（1）可知，当时，在上递减，即，要证，只需证，即证，令，则证，令，则，在上递减，又，即，得证 .12分典例已知函数f(x)ax2xln x(aR)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线x3y0垂直(1)求实数a的值；(2)求证：当nm0时，ln nln m解(1)因为f(x)ax2xln x，所以f(x)2axln

2、 x1，因为切线与直线x3y0垂直，所以切线的斜率为3，所以f(1)3，即2a13，故a1(2)证明：要证ln nln m，即证ln，只需证ln 0令x，构造函数g(x)ln xx(x1)，则g(x)1因为x1，)，所以g(x)10，故g(x)在(1，)上单调递增由已知nm0，得1，所以gg(1)0，即证得ln 0成立，所以命题得证1(2017·石家庄质检)已知函数f(x)a(x0)，其中e为自然对数的底数(1)当a0时，判断函数yf(x)极值点的个数；(2)若函数有两个零点x1，x2(x1x2)，设t，证明：x1x2随着t的增大而增大解：(1)当a0时，f(x)(x0)，f(x)，

3、令f(x)0，得x2，当x(0,2)时，f(x)0，yf(x)单调递减，当x(2，)时，f(x)0，yf(x)单调递增，所以x2是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数yf(x)有一个极值点(2)证明：令f(x)a0，得xaex，因为函数有两个零点x1，x2(x1x2)，所以x1aex1，xaex2，可得ln x1ln ax1，取对数，做差将两个零点x1，x2(x1x2)，用t表示，注意的隐含范围。ln x2ln ax2故x2x1ln x2ln x1ln又t，则t1，且解得x1，x2所以x1x2·令h(x)，x(1，)，则h(x)令u(x)2ln xx，得u(x)2当x(1，)时，u

4、(x)0因此，u(x)在(1，)上单调递增，故对于任意的x(1，)，u(x)u(1)0，由此可得h(x)0，故h(x)在(1，)上单调递增因此，由可得x1x2随着t的增大而增大2(2016·全国乙卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x2<2. 解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点设a>0，则当x(，1)时，f(x)<0；当x(1，)时，f(x)>0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内

5、单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b<0且b<ln ，则f(b)>(b2)a(b1)2a>0，故f(x)存在两个零点设a<0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，则ln(2a)1，故当x(1，)时，f(x)>0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点若a<，则ln(2a)>1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)<0；当x(ln(2a)，)时，f(x)>0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增又当x1时，f(x)<0，所以f(x

6、)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，)(2)证明：不妨设x1<x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x2<2等价于f(x1)>f(2x2)，即f(2x2)<0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.设g(x)xe2x(x2)ex，则g(x)(x1)(e2xex)所以当x>1时，g(x)<0，而g(1)0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)f(2x2)<0，故x1x2&

7、lt;2.3.已知函数f(x)exax1(a为常数)，曲线yf(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为1(1)求a的值及函数yf(x)的单调区间；(3)若x1ln 2，x2ln 2，且f(x1)f(x2)，试证明：x1x22ln 2解：(1)由f(x)exax1，得f(x)exa又f(0)1a1，所以a2，所以f(x)ex2x1，f(x)ex2由f(x)ex20，得xln 2所以函数yf(x)在区间(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增(2)证明：设xln 2，所以2ln 2xln 2，f(2ln 2x)e(2ln 2x)2(2ln 2x)12x4ln 21令g(x)f(x)f(2l

8、n 2x)ex4x4ln 2(xln 2)，所以g(x)ex4ex40，当且仅当xln 2时，等号成立，所以g(x)f(x)f(2ln 2x)在(ln 2，)上单调递增又g(ln 2)0，所以当xln 2时，g(x)f(x)f(2ln 2x)g(ln 2)0，即f(x)f(2ln 2x)，所以f(x2)f(2ln 2x2)，又因为f(x1)f(x2)，所以f(x1)f(2ln 2x2)，由于x2ln 2，所以2ln 2x2ln 2，因为x1ln 2，由(1)知函数yf(x)在区间(，ln 2)上单调递减，所以x12ln 2x2，即x1x22ln 24(2017·沈阳质监)已知函数f(

9、x)x2aln xb(aR)(1)若曲线yf(x)在x1处的切线的方程为3xy30，求实数a，b的值；(2)若x1是函数f(x)的极值点，求实数a的值；(3)若2a0，对任意x1，x2(0,2，不等式|f(x1)f(x2)|m恒成立，求m的最小值解：(1)因为f(x)x2aln xb，所以f(x)x，因为曲线yf(x)在x1处的切线的方程为3xy30，所以即解得(2)因为x1是函数f(x)的极值点，所以f(1)1a0，所以a1当a1时，f(x)x2ln xb，定义域为(0，)，f(x)x，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增，所以a1(3)因为2a0

10、,0x2，所以f(x)x0，故函数f(x)在(0,2上单调递增，不妨设0x1x22，则|f(x1)f(x2)|m可化为f(x2)f(x1)，设h(x)f(x)x2aln xb，则h(x1)h(x2)所以h(x)为(0,2上的减函数，即h(x)x0在(0,2上恒成立，等价于x3axm0在(0,2上恒成立，即mx3ax在(0,2上恒成立，又2a0，所以ax2x，所以x3axx32x，而函数yx32x在(0,2上是增函数，所以x32x12(当且仅当a2，x2时等号成立)所以m12，即m的最小值为125已知函数f(x)x，g(x)aln x(aR)(1)当a2时，求F(x)f(x)g(x)的单调区间；

11、(2)设h(x)f(x)g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中x1，求h(x1)h(x2)的最小值解：(1)由题意得F(x)xaln x(x0)，则F(x)，令m(x)x2ax1，则a24当2a2时，0，从而F(x)0，所以F(x)的单调递增区间为(0，)；当a2时，0，设F(x)0的两根为x1，x2，所以F(x)的单调递增区间为和，F(x)的单调递减区间为综上，当2a2时，F(x)的单调递增区间为(0，)；当a2时，F(x)的单调递增区间为和，F(x)的单调递减区间为(2)对h(x)xaln x，x(0，)求导得，h(x)1，h(x)0的两根分别为x1，x2，则有x1·

12、x21，x1x2a，所以x2，从而有ax1令H(x)h(x)hxln x2，即H(x)2ln x(x0)当x时，H(x)0，所以H(x)在上单调递减，又H(x1)h(x1)hh(x1)h(x2)，所以h(x1)h(x2)minH5ln 236.设f(x)exa(x1)(1)若xR，f(x)0恒成立，求正实数a的取值范围；(2)设g(x)f(x)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是曲线yg(x)上任意两点，若对任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围解(1)因为f(x)exa(x1)，所以f(x)exa由题意，知a0，故由f(x)exa0，解得xln a故当x(，ln a)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(ln a，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的最小值为f(ln a)eln aa(ln a1)aln a由题意，若xR，f(x)0恒成立，即f(x)exa(x1)0恒成立，故有aln a0，又a0，所以ln a0，解得0a1所以正实数a的取值范围为(0,1(2)设x1，x2是任意的两个实数，且x1x2则直线AB的斜率为k，由已知km，即m因为x2x10，所以g(x2)g(x1)m(x2x1)，即g(x2)mx2g(x1)mx1因为x1x2，所以函数h(x)g(x)mx在R上为增函数，故有h(x)g(x)m0恒成