多元回归分析matlab

1、回归分析MATLAB工具箱一、多元线性回归多元线性回归：1、确定回归系数的点估计值：命令为：b=regress(Y, X )b表示Y表示X表示 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：命令为：b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)bint表示回归系数的区间估计.r表示残差.rint表示置信区间.stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p.说明：相关系数越接近1,说明回归方程越显著；时拒绝,F越大,说明回归方程越显著；与F对应的概率p时拒绝H0,回归模型成立.alpha表示显著性水平(缺省时为0.05

2、)3、画出残差及其置信区间. 命令为：rcoplot(r,rint)例1.如下程序.解：(1)输入数据. x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164' X=ones(16,1) x; Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102'(2)回归分析及检验. b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X) b,bint,stats得结果：b = bint = -16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194

3、0.6047 0.8340 stats = 0.9282 180.9531 0.0000即；的置信区间为-33.7017,1.5612, 的置信区间为0.6047,0.834; r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000,我们知道p<0.05就符合条件, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x成立.(3)残差分析,作残差图.rcoplot(r,rint)从残差图可以看出,除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近,且残差的置信区间均包含零点,这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据,而第二个数据可视为异常点. (4)预测及作图.

4、z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')二、多项式回归 (一)一元多项式回归. 1、一元多项式回归：(1)确定多项式系数的命令：p,S=polyfit(x,y,m)说明：x=(x1,x2,xn),y=(y1,y2,yn)；p=(a1,a2,am+1)是多项式y=a1xm+a2xm-1+amx+am+1的系数；S是一个矩阵,用来估计预测误差.(2)一元多项式回归命令：polytool(x,y,m)2、预测和预测误差估计.(1)Y=polyval(p,x)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y；(2)Y,DELTA=poly

5、conf(p,x,S,alpha)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA；alpha缺省时为0.5.例1. 观测物体降落的距离s与时间t的关系,得到数据如下表,求s. (关于t的回归方程)t (s)1/302/303/304/305/306/307/30s (cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t (s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s (cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48解法一：直接作二次多项式

6、回归.t=1/30:1/30:14/30; s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; p,S=polyfit(t,s,2)得回归模型为：解法二：化为多元线性回归.t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1) t' (t.2)'b,bint,r,rint

7、,stats=regress(s',T);b,stats得回归模型为：预测及作图：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,'k+',t,Y,'r')(二)多元二项式回归多元二项式回归命令：rstool(x,y,model, alpha)说明：x表示n´m矩阵；Y表示n维列向量；alpha：显著性水平(缺省时为0.05)；model表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入,缺省时为线性模型)：linear(线性)：purequadratic(纯二次)：interaction(交叉)：quadratic(完全二次)：例1. 设某商品的

8、需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下,建立回归模型,预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量.需求量10075807050659010011060收入1000600 1200500300400130011001300300价格5766875439解法一：选择纯二次模型,即.直接用多元二项式回归：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60'x=x1' x2'rstool(x,y,'

9、purequadratic')在左边图形下方的方框中输入1000,右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y”下方的数据变为88.47981,即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.在画面左下方的下拉式菜单中选”all”, 则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中.在Matlab工作区中输入命令：beta, rmse得结果：beta = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse = 4.5362故回归模型为：剩余标准差为4.5362, 说明此回归模型的显著性较好

10、.解法二：将化为多元线性回归：X=ones(10,1) x1' x2' (x1.2)' (x2.2)'b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,stats结果为: b = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats = 0.9702 40.6656 0.0005三、非线性回归 1、非线性回归：(1)确定回归系数的命令：beta,r,J=nlinfit(x,y,model, beta0)说明：beta表示估计出的回归系数；r表示残差；J表示Jacobian矩阵；x,y表示输入数据x、y分别

11、为矩阵和n维列向量,对一元非线性回归,x为n维列向量；model表示是事先用m-文件定义的非线性函数；beta0表示回归系数的初值.(2)非线性回归命令：nlintool(x,y,model, beta0,alpha)2、预测和预测误差估计：Y,DELTA=nlpredci(model, x,beta,r,J)表示nlinfit 或nlintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA.例1. 如下程序.解：(1)对将要拟合的非线性模型y=a,建立m-文件volum.m如下： function yhat=volum(beta,x) yh

12、at=beta(1)*exp(beta(2)./x);(2)输入数据： x=2:16; y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76; beta0=8 2'(3)求回归系数： beta,r ,J=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta(4)运行结果：beta = 11.6036 -1.0641即得回归模型为：(5)预测及作图： YY,delta=nlpredci('volum',x',be

13、ta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')四、逐步回归1、逐步回归的命令：stepwise(x,y,inmodel,alpha)说明：x表示自变量数据,阶矩阵；y表示因变量数据,阶矩阵；inmodel表示矩阵的列数的指标,给出初始模型中包括的子集(缺省时设定为全部自变量)；alpha表示显著性水平(缺省时为0.5).2、运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot,Stepwise Table,Stepwise History.在Stepwise Plot窗口,显示出各项的回归系数及其置信区间.(1)Stepwi

14、se Table窗口中列出了一个统计表,包括回归系数及其置信区间,以及模型的统计量剩余标准差(RMSE)、相关系数(R-square)、F值、与F对应的概率P.例1. 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4有关,今测得一组数据如下,试用逐步回归法确定一个线性模型. 序号12345678910111213x17111117113122111110x226295631525571315447406668x3615886917221842398x46052204733226442226341212y78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593

15、.1115.983.8113.3109.4解：(1)数据输入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10'x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68'x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8'x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12'y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4'x=x1 x2 x3 x4;(2)逐步回归.先在

16、初始模型中取全部自变量：stepwise(x,y)得图Stepwise Plot 和表Stepwise Table.图Stepwise Plot中四条直线都是虚线,说明模型的显著性不好.从表Stepwise Table中看出变量x3和x4的显著性最差.在图Stepwise Plot中点击直线3和直线4,移去变量x3和x4.移去变量x3和x4后模型具有显著性虽然剩余标准差(RMSE)没有太大的变化,但是统计量F的值明显增大,因此新的回归模型更好.(3)对变量y和x1、x2作线性回归. X=ones(13,1) x1 x2; b=regress(y,X)得结果：b = 52.5773 1.4683

17、 0.6623故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2或这种方法4元二次线性回归clc;clear;y=1.84099  9.67  23.00  38.12 1.848794 6.22 12.22 19.72 1.848794 5.19 10.09 15.31 ;X1=60.36558 59.5376 58.89861 58.74706 60.59389 60.36558 59.2 58.2 60.36558 59.97068 59.41918 58.89077;X2=26.1636 26.35804 2

18、6.82438 26.91521 25.90346 25.9636 27.19256 27.42153 26.1636 26.07212 26.58721 27.06063;X3=0.991227 0.994944 0.981322 0.98374 1.011865 0.991227 1.074772 1.107678 0.991227 0.917904 1.060438 1.1239; X4=59.37436 58.54265 57.91729 57.69332 59.58203 59.37436 57.76722 57.42355 59.37436 59.05278 58.358

19、74 57.76687;format short gY=y'X11=ones(1,length(y);X1;X2;X3;X4'B1=regress(Y,X11)% 多元一次线性回归m,n=size(X11)X22=;for i=2:n    for j=2:n        if i<=j        X22=(X22,X11(:,i).*X11(:,j);        

20、else        continue        end   endendX=X11,X22;B2=regress(Y,X)% 多元二次线性回归Y X*B2 Y-X*B2plot(Y,X11*B1,'o',Y,X*B2,'*')hold on,line(min(y),max(y),min(y),max(y)axis(min(y) max(y) min(y) max(y)legend('一次线性回归',&

21、#39;二次线性回归')xlabel('实际值');ylabel('计算值')运行结果：Y =        1.841         9.67           23        38.12       1.8488    

22、;     6.22        12.22        19.72       1.8488         5.19        10.09        15.31X11 =     &#

23、160;      1       60.366       26.164      0.99123       59.374            1       59.538       26.358    

24、;  0.99494       58.543            1       58.899       26.824      0.98132       57.917            1   &

25、#160;   58.747       26.915      0.98374       57.693            1       60.594       25.903       1.0119       59.

26、582            1       60.366       25.964      0.99123       59.374            1         59.2   

27、60;   27.193       1.0748       57.767            1         58.2       27.422       1.1077       57.424     &#

28、160;      1       60.366       26.164      0.99123       59.374            1       59.971       26.072    

29、;   0.9179       59.053            1       59.419       26.587       1.0604       58.359            1   &

30、#160;   58.891       27.061       1.1239       57.767B1 =       1488.9      -4.3582      -9.6345      -61.514      -15.359m = 

31、60; 12n =     5B2 =            0       3120.4      -7129.2            0            0      -622.23

32、60;     -362.71      -105.06       1388.1       120.25       199.25       379.58       170.48            0    

33、  -796.41ans =        1.841       1.8449    -0.003902         9.67         9.67  1.0058e-009           23           23   1.397e-009        38.12        38.12   3.539e-010       1.8488       1.8488  1.639