随机变量的数字特征4-03,04

1、一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质二二、相关系数的意义相关系数的意义第三节 协方差及相关系数1. 问题的提出问题的提出 那么那么相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量,YX).()()(YDXDYXD 不相互独立不相互独立和和若随机变量若随机变量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差协方差).()(),ov(C),Cov(.)()(YEYXEXEYXYXYXYEYXEXE 即即记为记为的协方差的协方差与与称为随机变量称为随机变量量量2. 定义定义.)()(),Co

2、v(的相关系数的相关系数与与称为随机变量称为随机变量而而YXYDXDYXXY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 说明说明 .,)1(个无量纲的量个无量纲的量它是一它是一协方差协方差的相关系数又称为标准的相关系数又称为标准和和YX4. 协方差的计算公式协方差的计算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()

3、()2(YXYDXDYXD 证明证明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 性质性质 );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, , ),Cov(),Cov()2(为为常常数数baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX .),(),(222121相关系数相关

4、系数的的与与试求试求设设YXNYX解解 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf由由,e21)(21212)(1 xxfxX.,e21)(22222)(2 yyfyY例例1.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov(21 而而.ddee)(1212112222121)1(212)(21221xyyxxyx ,1111222 xyt令令,11xu ututuYXtudde )1(21),Cov(2222122122 tuutudede22222122 ttuutudede212222122,

5、22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于是于是结论结论;,)1(的相关系数的相关系数与与代表了代表了参数参数中中二维正态分布密度函数二维正态分布密度函数YX. )2(相互独立相互独立与与等价于等价于相关系数为零相关系数为零与与二维正态随机变量二维正态随机变量YXYX.23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 设设分别服从分别服从已知随机变量已知随机变量?)3(.)2(.)1(为什么为什么是否相互独立是否相互独立与与问问的相关系数的相关系数与与求求的数学期望和方差的数学期望和方差求求ZXZXZ解解.16)(, 0)(, 9)

6、(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov( ZDXDZXXY故故:,)3(可知可知立两者是等价的结论立两者是等价的结论关系数为零和相互独关系数为零和相互独由二维正态随机变量相由二维正态随机变量相.是相互独立的是相互独立的与与ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21)

7、,Cov(31YXXX 1. 问题的提出问题的提出?,衡量衡量接近的程度又应如何来接近的程度又应如何来最接近最接近可使可使应如何选择应如何选择问问YbaXba )(2bXaYEe 设设.的好坏程度的好坏程度近似表达近似表达可用来衡量可用来衡量则则YbXae .,的近似程度越好的近似程度越好与与表示表示的值越小的值越小当当YbXae .,达到最小达到最小使使的值的值确定确定eba二、相关系数的意义).(2)(2)(2)()(2222YaEXabEXYbEaXEbYE 得得并令它们等于零并令它们等于零求偏导数求偏导数分别关于分别关于将将,bae . 0)(2)(2)(2, 0)(2)(222XaE

8、XYEXbEbeYEXbEaae解得解得,)(),Cov(0XDYXb .)(),Cov()()(0XDYXXEYEa )(2bXaYEe 得得中中代入代入将将,)(,200bXaYEeba )(min2,bXaYEeba ).()1(2YDXY 2. 相关系数的意义相关系数的意义.,系较紧密系较紧密的线性关系联的线性关系联表明表明较小较小较大时较大时当当YXeXY.,线性相关的程度较差线性相关的程度较差较小时较小时当当YXXY.,0不相关不相关YXXY和和称称时时当当 )(200XbaYE 例例3 ?,),cos(,cos,2, 0的相关系数的相关系数和和求求是常数是常数这里这里的均匀分布的

9、均匀分布服从服从设设 aa 解解, 0dcos21)(20 xxE ,21dcos21)(2022 xxE , 0d)(cos21)(20 xaxE ,21d)(cos21)(2022 xaxE ,cos21d)cos(cos21)(20axaxxE 数为数为由以上数据可得相关系由以上数据可得相关系.cosa , 1,0 时时当当a, 1, 时时当当a .存在线性关系存在线性关系, 0,232 时时或或当当aa.不相关不相关与与 , 122 但但.不独立不独立与与因此因此 (1) 不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系3. 注意注意相互独立相互独立不相关不相关(2) 不相关的充要条件不相

10、关的充要条件; 0,1o XYYX不相关不相关; 0),Cov(,2o YXYX不相关不相关).()()(,3oYEXEXYEYX 不相关不相关4. 相关系数的性质相关系数的性质. 1)1( XY. 1,:1)2( bXaYPbaXY使使存在常数存在常数的充要条件是的充要条件是证明证明)(min)1(2,bXaYEeba )()1(2YDXY 0 012 XY. 1 XY. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存在常数存在常数的充要条件是的充要条件是1, XY事实上事实上20000200)()( )(0XbaYEXbaYDXbaYE , 0)(00 XbaYD. 0)(00 XbaYE由方差性

11、质知由方差性质知. 100 XbaYP或或0)(200 XbaYE, 10)(00 XbaYP使使若存在常数若存在常数反之反之 ba ,1 XbaYP. 0)(2 XbaYE)(min2,bXaYEba )(200XbaYE )()1(2YDXY . 1 XY, 10)(2 XbaYP, 10)( XbaYP故有故有)(02XbaYE .),(的的关关系系相相关关系系数数的的概概率率密密度度曲曲面面与与二二维维正正态态随随机机变变量量 XYYX一、基本概念一、基本概念二、二、n 维正态变量的性质维正态变量的性质三、小结三、小结第四节矩、协方差矩阵., 2 , 1),(,阶矩阶矩阶原点矩阶原点矩

12、kkXkXEYXk简称简称的的称它为称它为存在存在若若是随机变量是随机变量和和设设 ., 3 , 2,)(阶中心矩阶中心矩kXkXEXEk的的称它为称它为存在存在若若 ., 2 , 1,),(阶混合矩阶混合矩lkYXlkYXElk 的的和和称它为称它为存在存在若若一、基本概念1.定义定义., 2 , 1, ,)()( 阶混合中心矩阶混合中心矩lkYXlkYEYXEXElk 的的和和称它为称它为存在存在若若2. 说明说明 ;),Cov(,)()2(的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩与与是是协方差协方差方差为二阶中心矩方差为二阶中心矩点矩点矩的一阶原的一阶原是是的数学期望的数学期望随机变量随机变量Y

13、XYXXXEX; )1(变变量量函函数数的的数数学学期期望望以以上上数数字字特特征征都都是是随随机机.4,)3(阶的矩很少使用阶的矩很少使用高于高于在实际应用中在实际应用中.)(3机机变变量量的的分分布布是是否否有有偏偏主主要要用用来来衡衡量量随随三三阶阶中中心心矩矩XEXE . )( 4近近的的陡陡峭峭程程度度如如何何机机变变量量的的分分布布在在均均值值附附主主要要用用来来衡衡量量随随四四阶阶中中心心矩矩XEXE 3. 协方差矩阵协方差矩阵中心矩中心矩的二阶混合的二阶混合维随机变量维随机变量设设),(21nXXXn, 2 , 1, )()(),Cov( 都存在都存在njiXEXXEXEXXc

14、jjiijiij 则称矩阵则称矩阵 nnnnnncccccccccC212222111211.协方差矩阵协方差矩阵维随机变量的维随机变量的为为 n的协方差矩阵为的协方差矩阵为二维随机变量二维随机变量例如例如),(21XX 22211211ccccC,)(21111XEXEc 其中其中),()(221112XEXXEXEc ),()(112221XEXXEXEc .)(22222XEXEc .,), 2 , 1,(阵阵为为对对称称的的非非负负定定矩矩阵阵所所以以协协方方差差矩矩由由于于njiccjiij 协方差矩阵的应用协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差

15、矩阵达到对多维随机变量的研究.),(21为例为例以二维随机变量以二维随机变量XX.)()(2)()1(21exp121),(2222221221121211222121 xxxxxxf由于由于引入矩阵引入矩阵,21 xxX.21 的协方差矩阵的协方差矩阵及及),(21XX,22211211 ccccC 22211211ccccC,22212121 由此可得由此可得 212121221det1CC.)1(12121212222221 22112121212222111T),(det1)()(xxxxCXCX.)()(2)(1122222212211212112 xxxx由于由于的概率密度可写成的

16、概率密度可写成于是于是),(21XX.)()(21exp)(det)2(1 ),(1212221 XCXCxxfT推广推广示为示为的概率密度可表的概率密度可表维随机变量维随机变量),(21nXXXn,)()()(2121 nnXEXEXE.212222111211 nnnnnncccccccccC,),(21TnxxxX 其中其中),(21nxxxf.)()(21exp)(det)2(11212 XCXCTn二、n 维正态变量的性质.),(,;, 2, 1,),(. 1212121维正态变量维正态变量是是则则独立独立且相互且相互都是正态变量都是正态变量若若反之反之都是正态变量都是正态变量量量的每一个分的每一个分维随机变量维随机变量nXXXXXXniXXXXnnnin . ),(,),(. 22122112121不全为零不全为零其中其中服从一维正态分布服从一维正态分布性组合性组合