量纲分析模型

1、量纲分析模型 一、单位与量纲一、单位与量纲1 1、单位、单位 数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量的

2、作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。2.10 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化定义定义：一组物理量，若彼此相互独立，且其它物一组物理量，若彼此相互独立，且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，则称这些物理量为基本物理量。则称这些物理量为基本物理量。2 2、基本物理量、基本物理量导出量：由基本量通过

3、自然规律导出的量。例如：导出量：由基本量通过自然规律导出的量。例如：速度、加速度、力、速度、加速度、力、定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的量纲。这种规定关系常为该量的量纲。这种规定关系常，因此也称为量纲积。即任一物理，因此也称为量纲积。即任一物理量量Q的量纲皆可表示成的量纲皆可表示成Q=LM TIJN其中，其中，L，M，T，I，J，N是基本物理量的量纲；是基本物理量的量纲；称量纲指数均为称量纲指数均为0 0的物理量为无量纲量。的物理量为无量纲量。基本物理量 名称 量纲 单位 符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒

4、 s电流强度 I 安培 A 温度 开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd物质的量 N 摩尔 mol, , , , , , , , , , , , 称为量纲指数。称为量纲指数。物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L, M, T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲221rmmkf 加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量 ， =1(=L0M0T0)=f

5、l2m-2=L3M-1T-24 4、量纲与单位的关系、量纲与单位的关系1 1）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基本物理量间的关系。本物理量间的关系。2 2）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。)./(),/()/(,1hkmskmsmLT还可以是也可以是但其单位可以是如速度的量纲是3 3）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度4 4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量

6、之间的内在属性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。量纲齐次法则量纲齐次法则 用数学表达式表示一个物理定律时，等式两边用数学表达式表示一个物理定律时，等式两边的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。例如例如, , 牛顿第二定律牛顿第二定律 F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-22.10.1 量纲分析建模和量纲分析建模和PiPi定理定理 量纲分析量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确用物理量的量纲提供的信息，根据

7、量纲齐次法则确定物理量之间的关系。定物理量之间的关系。量纲分析在实际问题中的应用量纲分析在实际问题中的应用假设假设任务任务量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致例：单摆运动例：单摆运动)1 (321glmt 321glmt lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式的量纲表达式glt2对比对比33212TLMT12003321公式中的系数是无量纲的，实际上是与摆角有关的，当摆角不大于15度

8、时，近似等于2派。对对 x,y,z的两组量测值的两组量测值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp为什么假设这种形式为什么假设这种形式?设设p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式为的形式为),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp量纲齐量纲齐次原则次原则321glmt 单摆运动单摆运动00020100101010

9、04321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动规律和物理量单摆运动规律和物理量 t, m, l, g 有关，这有关，这个规律可以表示为左边的一般表达式：个规律可以表示为左边的一般表达式：0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量0)(F齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系只含一个向量，说明只含一个向量

10、，说明以以t t，m m，l l，g g构成的完备无量纲幂积构成的完备无量纲幂积组只有一个无量纲幂积组只有一个无量纲幂积。设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定.Pi定理定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, Xn 是基本是基本量纲量纲, n m, q1, q2, qm 是与寻求问题有关的物理量。是与寻求问题有

11、关的物理量。,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作rArank若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则构成一个完构成一个完备无量纲组。备无量纲组。由单摆运动求周期的方法我们知由单摆运动求周期的方法我们知道方程道方程f(q1, q2, , qm) = 0与一个与一个无量纲方程等价，并且此方程的无量纲方程等价，并且此方程的变量是所有由变量是所有由q1, q2, , qm构成的构成的独立的无量纲积（称为完备无量独立的无量纲积（称为完备无量纲组）。纲组）。q1, q2, qm量纲可表

12、示为量纲可表示为由由q1, q2, , qm构成的无量纲积与此线性齐次方构成的无量纲积与此线性齐次方程组的解之间存在一一对应关系，所以求程组的解之间存在一一对应关系，所以求适当适当的的一个完备无量纲积组的问题转化为求线性方一个完备无量纲积组的问题转化为求线性方程组的一个程组的一个适当的适当的基础解系。基础解系。)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqnia

13、ijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g .mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r

14、 个无量纲量个无量纲量0),(21mqqqf0),(fsvlg量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力 F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等价等价flgslvl得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价221213,),(lsglvglf量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的

15、选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲.有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定.不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识.2.10.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的参数模型船的参数(均已知可均已知可控的控的

16、)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其它已知未知，其它已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同假如我们诸如海浪拍打巨轮的效应，以及潜艇的热损耗和在水下环境中受到的阻力，或作用在飞机机翼上的风力绕有兴趣。通常，在实验室里重复实际的现象是不可能的。我们需要在模拟的环境中研究经过缩减的模型来精确预测物理系统的性能。问题是我们怎样在实验室中调节实验比例，从怎样在实验室中调节实验比例，从而确保对模型观测到的效应与实际

17、的效应相互而确保对模型观测到的效应与实际的效应相互一致。一致。2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1只要按一定尺寸比例造模型船，控制只要按一定尺寸比例造模型船，控制速度速度v，使用同一种流体。这样就可通，使用同一种流体。这样就可通过量测过量测 f，知道，知道 f1的大小的大小 物理模拟物理模拟221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf如果2.10.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型

18、确定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量测量测 f，可算出，可算出 f1 物理模拟物理模拟221213,),(lsglvglf211211

19、112111311,),(lslgvglf2.10.3 无量纲化无量纲化例：火箭发射例：火箭发射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面竖直发射火箭。初速星球表面竖直发射火箭。初速v, 星星球半径球半径r, 星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.t=0 时时 x=0, 火箭质量火箭质量m1, 星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律)0( xgx grkm223个独立参数个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数用

20、无量纲化方法减少独立参数个数x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的的量纲量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合, ,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度）无量纲变量无量纲变量tx ,vrtrxcc/,如),;(gvrtxx 利用新变量利用新变量, tx将被简化将被简化cctttxxx,令令 xc, tc的不同构造的不同构造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,xrvt dxdrvxxvt dxdvx 2222),;(gvrtxx );(txx 为无量纲量为无量纲量

21、rvttrxx/,/1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数的不同简化结果的不同简化结果),;(gvrtxx ,)(22rxgrx vxx)0(, 0)0(gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx );(txx 为无量纲量为无量纲量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 );(txx 为无量纲量为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数)/(80008 . 91063703

22、smrg1) 2) 3) 的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 );(txx 解解1) 2) 3) 的重要差别的重要差别rgv2考察无量纲量考察无量纲量v1在在1) 2) 3) 中能否忽略以中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略忽略 项项无解无解x不能忽略不能忽略 项项1)0(, 0)0(, 0) 1(12xxx无量纲无量纲化方法化方法tttx2)(21) 0(, 0) 0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1) 0(, 0) 0(,) 1(

23、122xxrgvxx 3)忽略忽略 项项0)(tx不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项0)(tx1) 2) 3) 的重要差别的重要差别无量纲无量纲化方法化方法vxxgx)0(0)0( ,2)() 32tttxgvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原原问问题题可以忽略可以忽略 项项vtgttx221)(是原问题是原问题的近似解的近似解1) 2) 3) 的重要差别的重要差别无量纲化方法无量纲化方法为什么为什么3)能忽略能忽略 项，得到原问题近似解，而项，得到原问

24、题近似解，而1) 2)不能不能?vrtrxcc/,1）令）令grtrxcc/,2）令）令gvtgvxcc/,/23）令）令火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g, 高度为高度为v2/2g,cctttxxx/,/大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度)1(项可以忽略项可以忽略cxx 1,tx)1(项不能忽略项不能忽略无量纲化方法无量纲化方法 选择特征尺度的一般讨论见：选择特征尺度的一般讨论见：林家翘著林家翘著自然科学中确定性问题的应用数学自然科学中确定性问题的应用数学无无 量量 纲纲 化化 无量纲化无量纲化是研究物理问题常用的数学方法是研究物理问题常用的数学方法. 选择选择特征尺度特征尺度

25、主要依赖于物理知识和经验主要依赖于物理知识和经验. 恰当地选择特征尺度可以减少独立参数恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素.思考题：第思考题：第57页第页第15、16、18。保持量纲协调例1：描述单摆运动的周期 问题：质量为m的小球系在长度 为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小 球稍稍偏离平衡位置后将在重 力的作用下做往复的周期运动。 分析小球摆动周期的规律。 xlm假设： 1. 忽略空气阻力； 2. 忽略可能的磨擦力； 3. 平面运动，忽略地球自转； 4. 忽略摆线的质量和变形。一：量纲分析法实例一：量纲分析法实例分析建模 1

26、0. 列出有关的物理量 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 . 20. 写出量纲 t=T，l=L，m=M，g=LT-2，=1. 30. 写出规律 F(t, l, m, g, )= 0. 40. 写出规律中加项 的形式 =t 1 l 2 m 3 g 4 5 50. 计算 的量纲 = T1L2M3( LT-2)4 = T1-24L2 + 4M 3 60. 应用量纲齐次原理 由 = 1, 可得关于i (i 1, , 5)的方程组 1 - 24 = 0 2 + 4 = 0 3 = 0 5 任意 70. 解方程组解空间的维数是二维。对自由变量(4， 5)选取基底(1, 0)和(

27、0, 1)。关于 1, 2, 3 求解方程组可得基础解系10000,0101254321 80. 求 将方程的解代入加项 的表达式，可得 1 = t2 l-1 g = t2 g / l ， 2 = . 90. 建模 单摆运动的规律应为 f (1, 2) = 0， 解出 1 可得 1 = k1(2) ，即 t2 g / l = k1() ，glkt/)( 100. 检验 周期与 质量 m m=390g m=237g l = 276cm 3.327s 3.350s l = 226cm 3.058s 3.044s 周期与振幅 (l=276cm, m=390g) (0) 8.34 13.18 18.1

28、7 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 k() 6.35 6.35 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 150 时, k( ) 2 。 k() 与 有关。 1. 模型与量纲 模型描述的是实际问题的内蕴的特征。 量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。 模型所描述的规律应该独立于量纲的影响 机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响 因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。二. 模型的无量纲化 2. 模型无量纲化举例 例1. 单摆的运动：建模描述单摆运动的规律 假设：同前。 变量、参量：同前。 坐标系: (x，y)，(

29、r, ) 平衡关系： 受力物体运动的加速度与其质量的乘积等于它所受的外力。 外力：重力 mg，张力 T。 )cos1 (,sinlylx 模型 注意到摆球的坐标的表达式，则有 第一个方程描述了摆球沿摆弧的切线方向运动的情况，是量纲齐次的。 对它进行无量纲化。 mgTdtydmTdtxdmcos,sin2222.cos)(,0sin222mgdtdmlTmgdtdml 变量的无量纲化 令 称之为无量纲时间 代入模型可得 选择变换因子为 则有 10，tw0)(sin)(2220gddlwlgw 00sin22dd 无量纲模型的分析 1. 换算因子 w0:令T0为单摆的周期，则 w0 为角频率 以2为时间单位时摆动的频率数。 2. 特征时间 tc, 称tc=1/w0=T0/2 为特征时间。 以2为时间单位时，摆动一次所需的时间 3.无量纲时间 = t/tc。是以特征时间为单位的时间计量。 0022wglT002Tw 例2. 抛射问题：从地球表面以速度 v 竖直向上发射火箭。讨论火箭发射的高度随时间变化的规律。假设： 1. 地球