职业学校数学第七章第四节平面向量的内积

1、平面向量的内积平面向量的内积一、学习要求1.掌握平面向量内积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示；2.平面向量内积的应用.学法指导（1）阅读教材，预习平面向量的坐标表示.（2）本学时的重点是理解平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律. 会进行平面向量内积的运算.第 一 学 时课堂探究1.探究问题【探究1】如图所示，吊车用5牛顿的力作用于一个物体，该力与物体位移的方向所成的角是60，并使该物体发生了10米位移，这个力所做的功是多少？答案：由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功即力f使物体位移s

2、所做的功W可用下式计算:Wsfcos2560cos1052.知识链接：（1）两个非零向量的夹角：已知非零向量a与b，作 a， b，则AOB（）叫a与b的夹角（2）平面向量内积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫a与b的内积，记作ab，即有ab = |a|b|cos 规定：0与任何向量的内积为0 两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cosa，b的符号所决定.（3）向量的内积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos的乘积.OAuurOBuu u r（4）两个向量的内积的性质 当a与b同向时，ab=|a|b|；

3、当a与b反向时，ab=-|a|b|特别的aa=|a|2或|a|= . cos= ab ab0（5）平面向量内积的运算律交换律：ab = ba数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)分配律：(a+b)c = ac+bc a a|baba3.拓展提高例1 判断下列各命题正确与否（1）0a=0；（2）0a=0；（3）若a0，ab=ac，则b=c；（4）若ab=ac，则bc时，当且仅当a=0时成立；（5）(ab)c=a(bc)对任意a，b，c向量都成立；（6）对任意向量a，有a2=|a|2 答案：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。例2 已知|a|=1，|b|=2，c=a

4、+b，且ca，求向量a与b的夹角.设所求两向量的夹角为因为 得 所以acbac，0)(2baaabaaccos22baa由21cos2babaa1204.当堂训练（1）下列各式中正确的是（ ） (a)b=a (b) |ab|=|a|b| (ab)c=a(bc) (a+b)c=ac+bcA. B. C. D.以上都不对（2）在ABC中,若( + )( )=0,则ABC为（ ）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定（3）若|a|=|b|=|ab|,则b与a+b的夹角为（ ）A.30 B.60 C.150 D.120（4）设|a|= 4,|b|=3,a,b夹角为60，则|a+b|

5、等于（ ）A.37 B.13 C. D.ACBuurCAuurCBuurCAuurCCC3713学法指导（1）阅读教材，预习运用平面向量的坐标求内积.（2）本学时的重点是理解运用平面向量的坐标求内积，并会进行平面向量内积的运算.第 二 学 时课堂探究1.探究问题【探究】平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便. 上一学时，我们学习了平面向量的内积，看书归纳：向量的坐标表示对平面向量的内积ab的表示方式会带来什么变化？ab = |a|b|cos 还可以这样表示： ，其中：ba2121

6、yyxx),(11yxa ),(22yxb 2.知识链接：已知两个非零向量 ， ，则（1） （2）两向量夹角 ( )的余弦 cos = （3）),(11yxa ),(22yxb 1212a bx xy yg0|baba222221212121yxyxyyxxba 02121yyxx3.拓展提高例1已知a=(-1， )，b=( ，-1)，求ab，|a|，|b|，a与b的夹角. 答案：( 1)33( 1)2 3a b 22|( 1)( 3)2a 22|( 3)( 1)2b 2 33cos| |2 22a bab 05633例2 已知a（1， ），b（ 1， 1），则a与b的夹角是多少?由a（， ），b（ +， ）有ab （ ）4，a2，b2 记a与b的夹角为，则cos 又0， 333333222baba43334当堂训练 (1)若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|24ab（ ）A.23 B.57 C.63 D.83(2)已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 (3)a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)(a-b)= (4)已知A(1，0)，B(3，1)，C(