第四讲解析函数和调和函数

1、第二节第二节 解析函数和调和函数解析函数和调和函数1 1、共轭调和函数、共轭调和函数由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条件，即： 。而由C-R条件有：, uvuvxyyx 222222, uvuvxx yyy x 显然有：222222220, 0uuvvxyxy定义定义1(调和函数调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏导数，并且满足： ，则称u(x,y)为区域D中的调和函数。 称为Laplace方程。( ,)0u x y( ,)0u x y定理定理1：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部和虚部都是该区域上的调和函数。* 若u(

2、x,y),v(x,y)是任意选取的两个调和函数，则f(z)却不一定解析。例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它为实部的解析函数。解：222266uxxuxy 显然： ， u(x,y)为调和函数。22220uuxy若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：226, (1)33, (2)vuxyxyvuxyyx 由方程(1)解得：2( ,)3( )v x yx yg y将其带入到(2)中有：2( )3gyy 解得：3( )g yyC 最后可以将解析函数表示为：32233( )33 f zxxyix yyCziC* 显然一个解析的复变函数的实部和虚部

3、并不是独立的任意选取的实函数，而是由C-R条件联系在一起的一对共轭实调和函数。定理定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部和虚部为该区域上的共轭调和函数。2 2、共轭调和函数的几何意义、共轭调和函数的几何意义12( ,), ( ,)u x yCv x yC在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f(z)0，并分别取u(x,y),v(x,y)的等值线：可以证明，两条曲线在交点处正交。证明：若令两个曲线的交点为(x0,y0)，则：001002(,), (,)u xyCv xyC实部函数和虚部函数的梯度场函数为：( ,)( ,)( ,)

4、( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)xyxyu x yu x yU x yu x yeexyv x yv x yV x yv x yeexy 所以，在交点处两个等值线的法向量为：现在做两个向量的内积：00000000(,)(,)(,)(,),uvu xyu xyv xyv xynnxyxy0000000000000000(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,) 0uvu xyv xyu xyv xynnxxyyv xyv xyv xyv xyyxxy很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。例2，在复平面上的解析函数2( )f zazb解：所以：22( ,)( ,)2u x

5、 ya xybv x yaxy22( )()f zazba xiyb222a xybi axy例3，在复平面上的解析函数( )f zz解：若所以：( ,)( ,)u x yaxbycv x yaybxd( )()f zzaibxiycid()axbyci aybxd ,aibcid则：-7.5-5-2.52.557.5-15-10-551015第三节第三节 初等解析函数和多值函数初等解析函数和多值函数1、初等单值函数、初等单值函数(1) 幂函数 ,0,1,2nwzn 幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数： 01nnwaa za z 也处处解析。 而有理函数： 除了 点外解析。 01

6、01( )( )nnnnaa za zP zwQ zbb zb z( )0Q z (2) 指数函数 (cossin )zxiyxwee eeyiy 指数函数的性质： (i) 0ze (ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中 的定义一致。 (iii) 1212zzzze ee (iv) 指数函数处处解析，且： zwe (v) 2z i kzee (vi) 不存在。limzze证明：(i) 若0ze 0 xiye e 0 xe (iv)( )zf ze00()( )limlimzzzzzf zzf ze eezz 01limzzzeez 01limxi yzze eez 0111

7、limzzxi yez 0limzzzxi yeez (ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式： 22121212121212sincos1cos()coscossinsinsin()sincoscossinzzzzzzzzzzzzzz (iii) 正弦函数和余弦函数以2为周期； (iv) sinz=0，则 cosz=0，则,0, 1,znn (1/ 2) ,0, 1,znn (v) 在复数域中，不能判定cos( )1, sin( )1zz (i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且： sincoscos ,sindzdzzzdzdz (3) 三角函数 11sin,cos22

8、izizizizzeezeei证明：(i)1( )sin2izizf zzeei()()0()( )1lim2i xxi xxyyyyyixyixzeeeee ee ef zzf zziz ()() 1cossin 1cossini xxi xxyyyyyixyixeeeee eyxixe eyxix 0()( )1lim211 22yixyixzyixyixizize ee eyi xf zzf zzize ee exi yeez 1111yixyixe eyi xe eyi x 11yixyixe eyi xe eyi x yixyixyixyixe ee eyi xe ee e (ii)

9、 11sin,cos22izizizizzeezeeicossincossinizizezizeziz1212121cos()2izizizizzze eee121212112212121sin()21 cossincossin2 cossinsincosizizizizzze eeeizizzizzzzz11221cossincossin2zizziz1212coscossinsinzzzz (iv) sinz=00izizee21i ze, 0, 1,znn cos0z 0izizee21i ze 1, 0, 1,2znn2、初等多值函数、初等多值函数(I) 根式函数： , 0,1,2nw

10、zn A 根式函数的多值性 例如： 0023333niiwezre 很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：3002, 0,1,233rnn显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅角相差2/3。若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I，不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域I(0Arg(w) 2/3)，称为z=w3的单叶性区域单叶性区域。同理，区域II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的端边称为根式函数的三个单值分支单值分支。 (II) 支点

11、 如图，在平面上任选一点z(r,)，则利用第一个单值分支得：0331iwre若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合曲线连续变化，若曲线不包括原点，则连续改变的幅角回到原来的值，而w的值也回到w1。但如果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而是回到w2：023332iwre我们称z=0为 的支点。3wz定义定义(支点支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点为多值函数的支点支点。对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。 (III) 支割线 连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线支割线。支割线将z平面割开，并规定z连续

12、变化时不得跨越支割线，这就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此根式函数只在一个单值分支上取值。注：注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也不相同。(II) 对数函数： Ln , 0wzz2LnLnln2inwzrerin显然：( , )ln, ( , )2u x yz v x yn很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼此的虚部差2的整数倍。若限定- Arg(z) 很明显，即- v(x,y)0，计算Ln(-a).解：Lnln2 ,0, 1,wzzi nn 而：izaae 所以：ln21 ,0, 1,wainn 例2：计算Ln(i).解： 因为：/21izie 所以：12 ,0, 1,2winn例3：计算ii。解：Lniie所以：(2)(2)22, 0, 1ikikiieek 因为：(III) 反三角函数： Arcsin , Arccoswz wz由于： 1()2iwiwzeei则： 2210i wiweeiz 则： 21iweizz所以： 221ArcsinLn11 Ln12iwwzeizzizzi同理，由反余弦函数得： 21Arc