第三章向量线性关系秩

1、第三章第三章 向量向量 线性关系线性关系 秩秩 向量是线性代数中研究的又一个重要概念, 本章主要讨论n维向量之间的线性关系, 并建立向量组与矩阵秩的概念.1 1 向向 量量 定义定义3.13.1 所谓n维向量就是n1阶矩阵12naa,a或1n阶矩阵12na ,a ,a. n 维向量就是n 个有次序的数a1,a2, ,an组成的数组. ai称为向量的第i个分量. 分量全是实数的向量称为实向量. 如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等. 注意: 按定义行向量 和列向量 表示同一个向量,但在涉及到运算时,行向量 和列向量总看作两个不同的向量, 而且都按矩阵的运算规则进行运算. 分量都是零的向

2、量称为零向量, 记为0 0. 将向量 的分量都改变符号得到的向量, 称为向量 的负向量, 记为- . 实际常用列向量, 为了便于书写常用其转置 T T表示. . 定义中两种形式分别称为列向量列向量和行向量行向量. . 常用的向量运算是向量的加法和乘数两种运算, 统称为向量的线性运算, 完全按矩阵运算处理, 所以满足: ()交换律： + + = + + () 结合律: ( + + )+ + = + +( + + ) () +0+0= () +( )=0 0 () 1 = () 数的分配律： (k+l) =k +l () 矩阵的分配律： k( + + )=k +k . . () 结合律：(kl)

3、=k(l ) 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一个n维线性空间, 或称向量空间. 在解析几何中, 曾引进向量的数量积 x y=|x|y|cos且在直角坐标系中，有 定义定义3.2 3.2 设有n维向量 =(a1,a2,an)T, =(b1,b2,bn)T, 令 但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念,我们可以按数量积的直角坐标计算公式来推广, 先定义n维向量内积的概念, 反过来定义n维向量的长度和夹角.),(321xxx),(321yyy332211yxyxyx , =a1b1+a2b2+anbn称 , 为向量 与 的内积. 内积是两个向量之间

4、的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表示, 当 与 都是列向量时, 有, 而且, 仅当 =0 0时, , =0. 内积具有下列性质(其中 , , 为n维向量, k为实数): , = T T = T T ;,) 1 ( ,)2( ，,)3( kk0,)4( 。利用这些性质还可以证明Schwarz不等式:,2 下面定义n维向量的长度和夹角。 当| |=1时, 称 为单位向量.为向量 的长度(或范数), 记为| |或. 由Schwarz不等式, 对任意非零向量 和 都有 |1 定义定义3.3 3.3 设n维向量 =(a1, a2, , an)T, 称非负实数22221,naaa 当

5、 0 0时, 是与 同方向的单位向量.1, 可见, , =0, 于是有 为向量 和 的夹角. 定义定义3.4 3.4 对任意非零向量 , , 称 ,0,arccos,2, 定义定义3.5 3.5 若 , =0, 则称向量 与 正交.向量 与 的内积 , 也可以表示成： , | | | cos2 2 线线 性性 关关 系系 若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向量组. 如:mn 矩阵A=A=(aij)对应n 个m 维列向量向量组 1, 2, , n称为A A的列向量组. 即A A=( 1, 2, , n). mn 矩阵A=A=(aij)也对应m 个n 维行向量 ，121111maaa

6、， 222212maaa ，mnnnnaaa21 1=(a11, a12, , a1n), 2=(a21, a22, , a2n), m=(am1, am2, , amn),向量组 1, 2, m, 称为矩阵A A的行向量组, 即反之, 由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵. . 线性方程组Ax=bAx=b也可以用向量表示成: x1 1+x2 2+ +xn n= 定义定义3.6 3.6 对向量 和向量组: 1, 2, , n, 若存在一组数k1,k2 , ,kn, 使: =k1 1+k2 2+ +kn n, 则称向量 可由向量组 1, 2, , n线性表示, , 也称向量 是向量组 1,

7、2, , n的线性组合. .21mA 其中, 1, 2, , n是矩阵A A的列向量组, b.b. 例例1 1 设 T T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=(1, 0, 0, 1), 问 能否由向量组 1, 2, 3线性表示. 解 设 =k1 1+k2 2+k3 3 , 即 (2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)于是有解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 = 12 2 3 131223211kkkkkk 所以向量 可由向量组 , 2, 3线性表示. 表示式也可写成 10-121110-1 2=000010-

8、111即121)(321 ， 一般地, 对列向量, =k1 1+k2 2+ks s 可写成 对行向量, =k1 1+k2 2+ks s 可写成 定义定义3.7 3.7 若存在一组不全为零的数k1,k2 , ,ks, 使: k1 1+k2 2+ +ks s=0 0则称向量组向量组 1, 2, , s线性相关线性相关, , 否则称线性无关线性无关. .skkk21s21),( ，skkk 21s21),(，只有当k1,k2 , ,ks全为零时才成立. k1 1+k2 2+ +ks s=0 0 可见向量组 1, 2, , s线性无关的充分必要条件是: 例例2 2 讨论向量组 1T=(1,1,0,0)

9、, 2T=(0,1,0,1), 3T= (1, 0, 0, 1)的线性相关性. 解 设 k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)解得: k1=k2=k3=0. 131223000kkkkkk 所以 1, 2, 3线性无关. 例例3 3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性. 解 设 k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即 (k1+2k3, k1+k2+3k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)解得: k1=2k2=2k3. 比如取k1=2, 则有2 1

10、+ 2 3=0 0 13123123+20+3k02k30kkkkkk 所以 1, 2, 3线性相关. 显然, 一个向量 组成的向量组线性相关 =0 0 向量组 1, 2, , s线性相关 x1 1+x2 2+xs s=0 0有非零解. (称此向量组为n n 维标准单位向量组维标准单位向量组)例例4 4 讨论n 维向量组0011e201,.,0 e100ne的线性相关性. 解解 设k1e e1+k2e e2+ +kne en=0 0, 即所以, 向量组 e e1,e e2, ,e en线性无关. (k1, , k2, , ,kn)=0 0, 所以 k1=k2=kn=0 n 维标准单位向量组 e

11、 e1,e e2, ,e en是线性无关的, 而且对任意n维向量 T=(a1,a2,an), 都有 =a1e e1+a2e e2+ane en例例5 5 k1( 1+ 2)+k2( 2+ 3)+k3( 3+ 1)=0 0就是 (k1+k3) 1+(k1+k2) 2+(k2+k3) 3=0 0所以所以向量组 1, 2, 3线性无关. 解得: k1=k2=k3=0 已知向量组 1, 2, 3线性无关, 1= 1+ 2, 2= 2+ 3, 3= 3+ 1, 讨论向量组 1, 2, 3 的线性相关性. 解 设 k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即131223+0+00kkkkkk 定义定义3.

12、8 3.8 一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组. 证 设 1, 2, m是正交向量组,有一组数k1, k2, km使用 i与上式两边做内积, 得n维标准单位向量组e e1, e e2, e en就是一个规范正交向量组. 定理定理3.1 3.1 正交向量组必线性无关. . k1 1+k2 2 + +km m=0 0由于 i0 0, 所以i, i0, 因此, ki0 (i1, 2,m). ki( i, i )=0所以,向量组 1, 2, m线性无关. 命题命题3.2 3.2 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量组线性相关.所以有: k1 1+k2

13、 2+ +kr r+0 r+1+ +0 s =0 0 推论推论1 1 含有零向量的向量组必线性相关. 证明 不妨设 1, 2, , r, , s中 1, 2, , r线性相关,存在不全为零的数k1,k2 , ,kr, 使: k1 1+k2 2+ +kr r=0.0.而k1,k2 , ,kr,0,0不全为零, 所以 1, 2, , s线性相关. 推论推论2 2 线性无关向量组的任一部分组也线性无关.不妨设k10, 则有: 证明证明 必要性: 设 1, 2, , s线性相关, 则存在不全为零的数k1,k2 , ,ks, 使: k1 1+k2 2+ +ks s=0.0. 充分性:不妨设 1可由 2,

14、 , s线性表示, 即存在一组数k2,ks使: 1=k2 2+ +ks s , 于是有 定理定理3.33.3 向量组 1, 2, , s(s2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可被其余向量线性表示.32111skkkskkk 123 1+k2 2+ +ks s =0这里 1 1, k2 , ,ks不全为零, 所以 1, 2, , s线性相关.两个向量线性相关的几何意义是这两向量共线;三个向量线性相关的几何意义是这三向量共面;n个向量线性相关的几何意义是它们在一个n-1维空间. 定理定理3.43.4 设向量组 1, 2, , r线性无关, 而向量组 1, 2, , r, 线性相关, 则

15、 可由 1, 2, , r线性表示,且表示式唯一. 证明证明 由已知, , 存在不全为零的数k1,k2 , ,kr, l ,使 k1 1+k2 2+ +kr r+l =0 0若l =0, 则k1 1+k2 2+ +kr r=0 0, 矛盾. 所以l 0, 于是若有: =k1 1+k2 2+ +kr r=l1 1+l2 2+ +lr r即, 表示式是唯一的.1212rkkkrlll 则有: (k1 l1) 1+(k2 l2) 2+ +(kr l1) r=0 0所以: k1 l1=k2 l2= =kr l1=0 设向量组 1, 2, s称为向量组 1, 2, , s的加长向量组.112111222

16、21212,sssnnsnaaaaaaaaa1112121222121212,ssssnnnsaaaaaaaaabbb 前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任何位置, 都称为原向量组的加长向量组. 定理定理3.5 3.5 线性无关向量组的加长向量组也线性无关. 证明 只证明在最后加一个分量的情况, 其它类似.所以有: k1 1+k2 2+ +ks s=0, 故 k1=k2= =kr=0 设 k1 1+k2 2+ks s=0 0 , 即11 1122121 122221 1221 1220000ssssnnnssssa ka ka

17、ka ka ka ka ka ka kbkb kb k所以 1, 2, s 线性无关.3 3 向量组的秩向量组的秩 向量组间的等价关系具有下列性质: 设有两个向量组分别为: (): : 1, 2, , r ; (): : 1, 2, s. 定义定义3.9 3.9 若向量组()中的每个向量都可以由向量组 ()线性表示, 则称向量组()可由向量组()线性表示; 若向量组()和向量组()可以互相线性表示, 则称向量组()和向量组()等价. ()反身性: 任何向量组都与自身等价; ()传递性: 若()与()等价, ()与()等价, 则() 与()也等价. ()对称性: 若()与()等价, 则()与()

18、也等价; 证 先正交化 显然, 列向量组 1, 2, , r可由列向量组 1, 2, s线性表示的充分必要条件是: 存在sr矩阵C, 使 ( 1, 2, , r )=( 1, 2, s )C 定理定理3.6 3.6 如果向量组 1, 2, , m线性无关, 则有规范正交向量组e1, e2, em与之等价. 1 = 1, ,1222111 , = - , 111,01222111 , = - , 32333222,1111 , , = - - , , 再将 1, 2, m单位化, 取1222111,|mmm11 = = 则 1, 2, m就是所求规范正交向量组. 上述由线性无关向量组 1, 2,

19、 m,得到正交向量组 1, 2, m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程.21212211.mmmmmmmmm1111 , , , = , , , 例例3.63.6 求一个与向量组 1(1, 1, 1)T, 2=(1, 2, 3)T, 3 =(2, 1, 2)T等价的规范正交向量组。 解解 先将向量组 1, 2, 3正交化, 令 1 = 1(1, 1, 1)T,1112122 ，11136321101222321113133 ，1012011133212121再将向量组 1, 2, 3规范化, 即取,3/13/13/1|1111 ,2/102/12 .6/162/6/13 定义定义3

20、.10 3.10 若实方阵A A满足AAAAT=E E, 则称A A是正交矩阵. 1, 2, 3就是与向量组 1, 2, 3等价的规范正交向量组. 若记 A A=( 1, 2, , n)，则有n21n21 ，TTTTAAnn2n1nn22212n12111 TTTTTTTTT可见, A ATA A=E E的充分必要条件是:注意: i iT j j=a1ia1j+a2ia2j+anianj= i i, j jji0ji1ijji， T 所以说, n阶实矩阵A是正交矩阵A的行(列)向量组是规范正交向量组. 例如, 下列矩阵都是正交矩阵:cossin,sincos112211221000,01221

21、2213212 () 1, 2, , r线性无关; () 1, 2, , r, 线性相关( 是向量组中任一向量). 定义定义3.11 3.11 若向量组中的某个部分组 1, 2, , r,满足:则称 1, 2, , r是此向量组的一个极大线性无关向量组，简称为极大无关组. 例例3.7 3.7 求向量组 1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, 3=(0,0,1)T, 4=(1,1,1)T的一个极大线性无关组. 所以 1, 2, 3就是向量组 1, 2, 3, 4的一个极大线性无关组. 解 由于 1, 2, 3线性无关, 而且 4= 1+ 2+ 3 类似地, 1, 3, 4和 2, 3,

22、4都是向量组 1, 2, 3, 4的极大线性无关组. 所以 1, 2, 4也是向量组 1, 2, 3, 4的一个极大线性无关组. 由于 1, 2, 4也线性无关, 而且 3= 4 1 2 定理定理3.7 3.7 向量组与它的任一极大线性无关组等价. 可见, 一个向量组的极大线性无关组是不唯一的. 推论推论 向量组中任意两个极大线性无关组等价.时(其中A是矩阵), 有A A=0 0 证明 设A=(aij)rs , 则有 引理引理 若列向量组 1, 2, r线性无关, 则当由于 1, 2, r线性无关, 所以aij=0, 即A A=0 0. ( 1, 2, r)A A=0 011121s21222

23、s12r12rr1r2rsaaaaaa, A= ,aaa0rrrj1jj2jjsjj=1j=1j=1a ,a ,.,a 证明设向量组 1, 2, r和 1, 2, s 等价且都线性无关，则存在sr矩阵A和rs矩阵B, 使 ( 1, 2, r)=( 1, 2, s )A A 定理定理3.83.8 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.由引理有： BABA=E Er , 同理有ABAB=E Es ( 1, 2, s )=( 1, 2, r)B于是有 ( 1, 2, r)= ( 1, 2, r)BA A即 ( 1, 2, r)(EBA A)=0=0所以，A A, B B是方阵，即rs 推论推论 一

24、向量组的极大线性无关组所含向量的个数是唯一的.易知，向量组 1, 2, s线性无关R 1, 2, s=s. 若一向量组的所有向量都是零向量，规定其秩为0. 向量组 1, 2, s的秩记为：R 1, 2, s 定义定义3.123.12 一向量组的极大线性无关组所含向量的个数, 称为向量组的秩. 或记为：rank 1, 2, s例7中向量组 1, 2, 3, 4的秩R 1, 2, 3, 4=3. 定理定理3.93.9 若向量组 1, 2, s可由向量组 1, 2, t 线性表示，则 推论推论2 2 向量组 1, 2, p线性无关, 且可由向量组 1, 2, q 线性表示，则pq. 推论推论1 1

25、等价的向量组具有相等的秩R 1, 2, sR 1, 2, t 证明 记极大线性无关组为: 1, 2, p和 1, 2, q 则：向量组 1, 2, p可由 1, 2, q 线性表示，于是 1, 2, q是向量组 1, 2, p, 1, 2, q 的极大线性无关组. 再由 1, 2, p线性无关知pq. 推论推论3 3 向量组 1, 2, p可由向量组 1, 2, q 线性表示，且pq, 则向量组 1, 2, p线性相关. 推论推论4 4 任意n+1个n维向量线性相关.4 4 矩阵的秩矩阵的秩 证明证明 对矩阵进行一次初等行变换，行向量组变成： 定义定义3.13 3.13 矩阵的行向量组的秩称为

26、矩阵的行秩; 矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩.引理引理 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.11,ijijrrjimmA11,iiikrjjmmkA11ijiijrkrjjmmkaA所以，对矩阵进行一次初等行变换，矩阵的行秩不变.即 再看矩阵的列向量组，A=( 1, 2, , n), 令可见, 对A进行一次初等行变换, 对方程组()来说, 相当于进行方程之间的对应变换, 显然方程组解不变. 就是说, 对A进行一次初等行变换, A A的列向量组的任意部分组线性相关性不变, 所以A A的列秩也不变.类似地, 对A进行一次初等列变换, 其行秩,列秩也不变.(*)02121kikiixxx 0002122

27、21212111212121kmimimikiiikiiixaxaxaxaxaxaxaxaxakkk 定理定理3.103.10 矩阵的列秩等于矩阵的行秩.证明因为矩阵A可经过初等变换变成标准形，即rE0A00而 的行向量组和列向量组分别为：所以，A的行秩和列秩都等于r.10000100,00100000 1000010000100000 定义定义3.143.14 矩阵A的秩就是矩阵A的行(列)秩, 记为R(A), (或rank(A).显然，对任意矩阵A有：R(A)=R(AT)由引理还可得： 定理定理3.113.11 初等变换不改变矩阵的秩. 定理定理3.113.11若矩阵A与矩阵B等价，则R(

28、A)=R(B). 注：注：对分块矩阵做分块矩阵的初等变换秩也不变. 例例8 8 证明: R(AB)R(A), R(AB)R(B). 证明1: R(AB)R(AB A), 而12cc BAB A0 A所以， R(AB)R(AB A)R(0 A)=R(A) 证明2: 由ABAB知,AB的列向量可由A的列向量表示. 定义定义3.153.15 在矩阵Amn中任取k个行与l个列(kn, lm),位于这些行和列交叉点上的kl个元素,相互位置关系不变所形成的kl阶矩阵称为A的一个子阵. 若取的是A A的第i1i2 ik行及j1j2jl列，则A A对应的子阵记为：且称行列式为矩阵A的一个k阶子式.1212kl

29、iiiAjjj1212detkkiiiAjjj 定理定理3.123.12 R(A)=r的充分必要条件是A至少有一个r阶子式不为零, 而且所有r1阶子式(如果存在)都为零.证明 设R(A)=r, 则A的行向量组的极大无关组含r个向量.不妨设前r行线性无关, 则矩阵 的秩也为r. 于是, 此矩阵的列向量组的极大无关组也含r个向量, 不妨设前r列是极大无关组, 则矩阵 的秩也为r, 所以, 此行列式是A的r阶非零子式. 反之,由于A的任意r行线性相关, 所以r+1阶子式必为零.rnrrrnraaaaaa11111rrrraaaa1111 定义定义3.163.16 设n阶方阵A的秩等于n, 则称A是满秩的；否则称方阵A是降秩的.推论推论 A是满秩的detA0(非奇异)A可逆.如果矩阵的每一行第一个非零元素的下面的所有元素都是0，且零行都排在最下面, 则称矩阵为阶梯形矩阵. 如123021,002123021 ,0002314210032010000052314210032010021045但 不是阶梯形矩阵 可见，阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数.任何矩阵都可以经过初等行变换化为阶梯形矩阵这就给我们提供了求一般矩阵秩的有效方法1213413210,2113218562A解解例9求R(A), 其中1213413210211321856