高中数学中的数学建模

1、优秀学习资料欢迎下载高中数学中的数学建模新课改下，数学建模首次进入了高中课程. 在高中开展数学建模教学活动，是数学学习的一种新的方式， 也是提高学生数学应用意识与数学素质的一种很好的方式 .什么是数学建模？简单的说， 数学建模就是把一个具体的实际问题转化成一个数学问题，然后我们用数学方法解决它， 之后我们再把它放回到实际生活当中去，用我们的模型解释现实生活当中的种种现象和规律. 数学建模可以通过以下框图体现：实际情境修改提出问题数学模型数学结果不合乎实际检验合乎实际可用结果根据课程标准要求：高中数学建模的问题应来源于学生的日常生活和现实生活当中，通过数学建模， 让学生了解和经历解决实际问题的过

2、程， 并且根据学生已有的经验发现要提出的问题 . 同时，希望学生在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感体验， 也希望学生在这样的过程当中， 学会通过查询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力.高中数学中的数学模型在解决实际问题时， 主要以两种形式出现， 一是用模，二是建模 .（一）用模以人教 A 版函数模型的应用实例中例4 为例说明 .优秀学习资料欢迎下载例 4：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 . 认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在 1798 年，英国经济学家马尔萨斯（ ）就提出了自然状态下的人口增长模型：y y0 e

3、rt ，其中 t 表示经过时间，y0 表示 t0 时的人口数， r 表示人口的年平均增长率.表 1：下表是 1950 1959 年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数/ 万人55176563005748258796602666145662828645636599467207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到 0.0001 ），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按上表的增长趋势，大约在那一年我国的人口达到13 亿？分

4、析解答：指导学生依据我国人口数据资料确定马尔萨斯人口函数y y0 ert 中的待定系数 .y0 取 t0 ，即 1950 年时的人口 55196 万人 .r 为 19501959 年的人口年增长率的平均值 . 要计算 19501959年的人口年增长率的平均值 r ，需要先计算出这期间每年的人口增长率 .设 19511959 年的人口年增长率分别为r1 ， r2 ， r9 ，由55196(1 r1 )56300 ，可得 1951 年的人口增长率 r1 0.0200 .同理可得：r20.0210 ， r30.0229 ， r40.0250 ， r50.0197 ，r60.0223 ， r70.02

5、76 ， r80.0222 ， r90.0184 ，于是， 19501959 年的人口年增长率的平均值为rr1 r2r90.02219因此，我国在 19501959 年的具体人口增长模型为y55196 e0.0221t ， t N .启发学生：怎样检验我们所得的模型与实际人口数据是否相符？指导学生根据表 1 数据作出散点图，并与人口函数y 55196e0.0221t ， t N 的图像相比较 .优秀学习资料欢迎下载70000675006500062500600005750055000246810图 1由上图可以看出所得模型与19501959 年的实际人口数据基本吻合.应用模型预测那一年我国人口

6、达到13 亿？将 y130000 代入y 55196e0.0221t ，由计算器可得t38.76.所以，如果按表 1 的增长趋势，那么大约在 1950 年后的第 39 年（即 1989）年我国人口就已达 13 亿.模型解释：由上可看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力 .（二）建模以人教 A 版函数模型的应用实例中例 6 为例说明 . 例 6：表 2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表身高60708090100110120130140150160170/cm体重6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.11

7、38.8547.2555.05/kg（1）根据表 2 提供的数据，能否建立恰当的数学模型，使它能比较近似的反映这个地区未成年男性体重 y kg 与 x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式 .（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 为偏瘦，那么这一地区一名升高为 175cm，体重为 78kg 的在校男生体重是否正常？优秀学习资料欢迎下载分析：由表 2 中的数据不能直接发现数量关系， 需要利用散点图探寻问题的函数模型 . 由画出的散点图，观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况（ 快速增长 ），可以考虑用增长的函数模型作为这一函数

8、模型来近似刻画这个地区未成年男性体重 y 与身高 x 的函数关系 .身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图2图 2根据点的分布特征可以考虑以 y a bx 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高的函数模型 .选取表 2 其中两组数据 (70,7.90) ， (160,47.25) 代入 ya bx 得：7.90a b7047.25a b160用计算机算得a2 ， b1.02这样，得到函数模型：y2 1.02 x .将已知数据代入上述解析式，或作出上述函数模型的图像3，可以发现这个函数模型与已知数据的拟合度较好，这说明它能较好的反映这个地区未成年男性体重与身高的关系 .图 3优秀学习资料欢迎下载如何应用模型判断某男生的体重是否正常？将 x175代入 y2 1.02x ，得y2 1.02175由计算器算得y63.98由于7863.981.221.2所以，这个男生偏胖 .* 考虑使用其它增长函数模型：教师还可以指导学生考虑使用幂型函数yax ，二次函数 yax 2bxc ，四次函数 yax 4bx3cx2dxe 来刻画该地区未成年男性身高与体重的关系.幂型函数 yax图 4二次函数 yax 2bxc图 5优秀学习资料欢迎下载四次函数 yax 4bx 3cx2dxe图 6可以看出，这些函数模型都能较好的反映该地区未成年男性体重与身高的关系，因