高中数学与圆锥曲线有关的几种典型题

1、学习必备欢迎下载与圆锥曲线有关的几种典型题(二 ) 与圆锥曲线有关的几种典型题1圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C f(x ， y)=0 与直线 l y=kx+b 相交于A(x1 ， y1) 、 B(x 2， y2) 两点，则弦长|AB| 为：(2)若弦 AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|A 、 B 两点，旦 |AB|=8 ，求倾斜角 分析一：由弦长公式易解由学生演板完成解答为：抛物线方程为x2=-4y ，焦点为 (0 ， -1)设直线 l 的方程为y-(-1)=k(x-0)，即 y=kx-1 将此式代入x2=-4y 中得： x2+4kx-4=0 x1+x 2

2、=-4 ， x1+x2=-4k k= ± 1|AB|= -(y1+y 2)+p=-(kx1-1)+(kx 2-1)+p=-k(x1+x 2)+2+p 由上述解法易求得结果，由学生课外完成2与圆锥曲线有关的最值( 极值 ) 的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标 (x ， y) 的取值范围学习必备欢迎下载例 2已知 x2+4(y-1) 2=4，求：(1)x 2+y2 的最大值与最小值；(2)x+y 的最大值与最小值解(1) ：将 x2+4(y-1)2=4 代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y

3、 2+8y由点 (x ，y) 满足 x2+4(y-1)2=4知：4(y-1) 2 4即|y-1| 1 0 y 2当 y=0 时， (x2+y 2)min=0 解(2) ：分析：显然采用(1) 中方法行不通如果令u=x+y，则将此代入x2+4(y-1)2=4 中得关于 y 的一元二次方程，借助于判别式可求得最值令 x+y=u ，则有 x=u-y 代入 x2+4(y-1)2=4 得：5y2-(2u+8)y+u2=0又 0 y 2， ( 由 (1) 可知 )-(2u+8)2-4× 5× u2 0学习必备欢迎下载3与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证

4、明方法，以及定点、定值问题的判断方法例 3在抛物线 x2 4y 上有两点 A(x 1， y1) 和 B(x2 ， y2) 且满足 |AB|=y 1+y2+2，求证：(1)A 、 B 和这抛物线的焦点三点共线；证明：(1)抛物线的焦点为F(0 ， 1) ，准线方程为y=-1 A 、 B 到准线的距离分别 d1 y1+1 ， d2=y2+1( 如图 2 46 所示 ) 由抛物线的定义：|AF|=d 1=y1+1， |BF|=d2=y 2+1 |AF|+|BF|=y1+y 2+2=|AB| 即 A、 B、 F 三点共线(2)如图 2 46，设 AFK= |AF|=|AA1|=|AK|+2学习必备欢迎

5、下载=|AF|sin +2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sin 小结：与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质4圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用0 来处理但用不可靠的解决这类问题：方法 1，由“ 0”与直观图形相结合；方法 2，由“ 3，转换参数法 ( 以后再讲 ) 0 来判断双圆锥曲线相交问题是0”与根与系数关系相结合；方法实数 a 的取值范围可得： y2=2(1-a)y+a2-4=0 =4(1-a)2-4(a 2-4) 0，如图 2 47，可知：学习必备欢迎下载(三 ) 巩固练习2已知圆 (x-1)2+y2

6、=1 与抛物线 y2=2px 有三个公共点，求 P 的取值范围顶点请三个学生演板，其他同学作课堂练习，教师巡视解答为：1设 P 的坐标为 (x ， y) ，则学习必备欢迎下载2由两曲线方程消去y 得： x2-(2-2P)x=0解得： x1=0 ， x2=2-2P 0 x2， 0 2-2P 2，故 P 的取值范围为 (0 ，1) 即 0P1四个交点为A(4 ， 1) ， B(4 ，-1) ， C(-4 ， -1) ， D(-4 ， 1) 所以 A、 B、 C、 D 是矩形的四个顶点1一条定抛物线C1 y2=1-x 与动圆 C2 (x-a)2+y2=1 没有公共点，求 a 的范围2求抛线y=x2 上到直线y=2x-4 的距离为最小的点P 的坐