高中数学典型例题解析第四章数列学案

1、优秀学习资料欢迎下载第四章数列§ 4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1. 数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2. 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项），第2 项，第n项， .3. 通项公式：一般地，如果数列 an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 .4. 有穷数列 : 项数有限的数列叫做有穷数列 .5. 无穷数列 : 项数无限的数列叫做无穷数列6. 数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式

2、是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a 2, 然后用递推关系逐一写出数列中的项.7. 等差数列 : 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示8. 等差中项 : 如果，这三个数成等差数列，那么ab 我们把 a b 叫做和的等差中项22二、疑难知识导析1. 数列的概念应注意几点：（ 1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（ 2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集( 1， 2，3， n ) 的

3、函数 .2. 一个数列的通项公式通常不是唯一的.nnn 之S1(n 1),1n则 an 不用分段形式3. 数列 a 的前 n 项的和 S与 a间的关系： an( n 2).若 a适合 a (n>2),Sn Sn 1表示，切不可不求a1 而直接求an.4. 从函数的角度考查等差数列的通项公式： an= a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于 n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（ n, an ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列 .5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可

4、变形为 Snd n2(a1d )n ，若令 A22d1d22， B a 2，则 Sn An +Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1 ，an， d， Sn ， n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲 例 1 已知数列 1， 4， 7，10， 3n+7, 其中后一项比前一项大 3. （ 1）指出这个数列的通项公式；（ 2）指出 1+4+ +（ 3n 5）是该数列的前几项之和 . 例 2已知数列an 的前 n 项之和为Sn2n2nSnn 2n1求数列an 的通项公式。优秀学习资料欢迎下载例 3已知等差数列an 的前 n 项之和记为 Sn，S10=10 ， S30=70，则 S40 等

5、于。 例 4 等差数列an 、 bn的前 n 项和为 Sn、Tn. 若 Sn7n1(nN ), 求 a7 ；Tn4n27b7 例 5 已知一个等差数列an 的通项公式an=25 5n，求数列| an | 的前 n 项和； 例 6 已知一个等差数列的前10 项的和是310，前 20 项的和是1220 ，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？ 例 7 已知： an1024 lg 21 n （ lg 20.3010 ） n N（ 1） 问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？例 8项数是2n 的等差数列，中间两项为an 和an 1 是方程x 2px q 0 的两根，求证此数列的和S2n

6、是方程lg 2 x(lg n2lg p 2 ) lg x (lg n lg p)20 的根。 （ S2 n0 ）优秀学习资料欢迎下载四、典型习题导练1已知 a13且anSn 12n ，求 an 及 Sn 。2设 an122334n(n1) ，求证： n(n 1)an( n1) 2。223. 求和:111112123123n4. 求和：(1002992 )(982972)(4 232 )( 2212 )5. 已知 a,b, c 依次成等差数列，求证：a2bc b2ac c2ab 依次成等差数列 .,6. 在等差数列an中，a5a1340 ，则 a8a9a10（）。A 72B 60C 48D 36

7、7. 已知 an是等差数列，且满足amn, anm( mn) ，则 amn 等于 _。8. 已知数列12成等差数列，且a311 , a513，求 a8的值。an67§ 4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1.等比数列： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数 列就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2.等比中项：若，成等比数列，则称为 和 的等比中项n a1(q1)3. 等比数列的前n 项和公式： Sna1 (1q n )a1anq(q1)1q1q二、疑难知识导析1. 由于等比数列的每一项都可能作分母，故

8、每一项均不为0，因此 q 也不为 0.2. 对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3. “从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2 项起，而是从第3项或第 4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从.第 2项或第 3项起是一个等比数列 .4. 在已知等比数列的1和 q 的前提下，利用通项公式n1n-1, 可求出等比数列中的任一项 .aa =a q5. 在已知等比数列中任意两项的前提下，使用nmn-m可求等比数列中任意一项 .a =a q6. 等比数列an的通项公式 an=a1qn-1

9、可改写为 ana1q n . 当 q>0，且 q1 时，y=qx 是一个指数函数， 而 ya1 q xqq是一个不为 0的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图象是函数ya1q x 的图象上的一群孤立的点 .q7在解决等比数列问题时，如已知，a1 ，an， d， Sn ， n 中任意三个，可求其余两个。优秀学习资料欢迎下载三、经典例题导讲例 1已知数列annn（a 0, q 1, q为非零常数），则an为（）。的前 n 项之和 S =aqA. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列，也不是等比数列D. 既是等差数列，又是等比数列 例 2已知等比数列an 的前 n 项和记为 Sn，

10、S10=10 ， S30=70，则 S40 等于 . 例323n求和： a+a +a + +a . 例 4 设 a, b,c, d 均为非零实数， a 2b2 d 22b a c d b2c 20 ，求证： a, b, c 成等比数列且公比为d 。 例 5 在等比数列bn 中， b43 ，求该数列前7 项之积。 例 6 求数列 n1n 前 n 项和2 例 7 从盛有质量分数为20%的盐水 2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入 1kg 水，问： (1) 第 5 次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg？优秀学习资料欢迎下载(2) 经 6 次倒出后

11、，一共倒出多少 kg 盐？此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？四、典型习题导练1. 求下列各等比数列的通项公式：1) a1= 2, a3= 82) a1=5, 且 2an+1 = 3an3)a1=5,an 1n且ann 12.在等比数列an ，已知 a15 ， a9 a10100，求 a18 .012n 13.已知无穷数列 105 ,105 ,10 5 ,105,，求证：（ 1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的1 ，10（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列 an 为 1,2x,3x 2 ,4x 3nx n 1x0 求此数列前 n 项的

12、和。5. 已知数列 an 中， a1= 2 且 an+1 =Sn，求 an , Sn6. 是否存在数列 an ，其前项和 Sn 组成的数列 Sn 也是等比数列，且公比相同？7. 在等比数列an 中， a1 a336, a2a460, Sn400 ，求 n 的范围。§4.3数列的综合应用一、知识导学1.数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容. 解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位

13、置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S 还是求nan. 一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1 就是公比 q.二、疑难知识导析1. 首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式an0an0解决；an或an10102.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比

14、数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中 , am=an+ (n m)d, daman ;等比数列中， an=amqn-m;qnmanmnam4.当 m+n=p+q（ m、n、 p、q N ）时，对等差数列an有： am+an=ap+aq；对等比数列 an有： aman=apaq；5.若 a 、b 是等差数列，则 ka +bb (k 、b 是非零常数 ) 是等差数列；若 a 、 b 是等比数列，则ka 、nnnnnnna nbn 等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a +a +a ,a+a +a ,a7+a +a ）仍是等差（或等12345

15、689比）数列；7.对等差数列 an, 当项数为 2n 时， S 偶 -S 奇 nd；项数为2n 1 时， S 奇 S 偶 a 中 （ n N ）；优秀学习资料欢迎下载8. 若一阶线性递推数列 a =ka+b（ k 0,k 1） , 则总可以将其改写变形成如下形式bk (an 1b: a n) (n nn 1k 1k12) ，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲log 1Snlog 1Sn 2 例 1 设 an是由正数组成的等比数列，Sn 是其前 n 项和 . 证明：22 log 1Sn 1 。22 例 2一个球从（精确到 1 米）100 米高处自由落下， 每次着地后又跳回

16、至原高度的一半落下，当它第10 次着地时，共经过了多少米？ 例 3一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18 岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？例 4求数列1 1, 14 , 17 , 110 , 1(3n 2) ,的前 n 项和。aa 2a3an1例 5求数列6 ,6,6 ,6,前 n 项和1223 34n(n1) 例 6 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn( an 1) 2 (n N ) ，求数列 an 的前 n 项和2 例 7 大楼共 n 层，现每层指定一人，共 n 人集中到设在第 k 层的临时会议室开会，问 k 如何确定能使 n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）优秀学习资料欢迎下载四、典型习题导练1在 1000， 2000内能被3 整除且被4 除余 1 的整数有多少个？22某城市1991 年底人口为500 万，人均住房面积为6 m，如果该城市每年人口平均增长率为22面积为 30 万 m，求 2000 年底该城市人均住房面积为多少m？ ( 精确到 0.01)1%，每年平均新