高中数学北师大版必修五全册精品学案第课时等比数列的综合应用

1、第 4 课时等比数列的综合应用知能目标解读1. 进一步巩固等比数列的通项公式、性质及前n 项和公式 .2. 掌握数列求和的常用方法错位相减法.重点难点点拨重点：错位相减法求和的理解及等比数列性质的应用.难点：错位相减法求和的应用.学习方法指导n 是等差数列，公差为d;数列n 是等比数列，公比为q,求数列 n n 的前如果数列 aba bn 项和，可以运用错位相减法.方法如下：设 Sn= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + + anbn,当 q=1 时， bn 是常数列， Sn= b1 (a1+ a2+ a3+ + an)=nb1(a1an ) ; 当 q1 时，则 qSn= qa1

2、 b1 + qa2b2+ qa3b3+ + qanbn= a1 b2 + a2b3 + + an-21n+ann+ 1,所以n-n=(1-) n= 11+b2( 2- 1)+b3( 3- 2)+ +nn- n-1 )-b bS qSq S a ba aa ab·(a aa bab1+db1q(1qn1)·n n+ 1=1q1-a bn n+ 1,a1b1b1dq(1qn 1 )1qan bn1所以 Sn=.1q知能自主梳理1.在等比数列的前n 项和公式 Sn=中，如果令A=a1，那么 Sn=q1.2.若 nn 的前n项和，且n=n-(0，q0 且q±1) ，则数列

3、 n 是S 表示数列 aSAqA Aa.3. 在等比数列 an 中， Sn 为其前 n 项和 .(1) 当 q=-1 且 k 为偶数时， Sk,S2k-Sk，S3k-S2k ( k N+ );(2) 当q-1 或k为奇数时，数列k2 k- k3 k- 2k (kN+).S， S S，S Sn答案1.a1 (1q )Aqn- A1 q2. 等比数列3. 不是等比数列是等比数列思路方法技巧命题方向等比数列性质的应用例 1(1) 等比数列 an ，已知 a1 =5 ， a9a10=100 ，求 a18；(2) 在等比数列 bn 中， b4=3 ，求该数列前七项之积；(3) 在等比数列 an 中， a

4、2 =-2 ，a5 =54 ，求 a8 .分析由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.解析(1) a1 a18 = a9a10,a18=a9 a10 = 100 =20.a15(2) b1b2b3b4b5b6b7=( b1 b7)( b2b6)( b3b5) b4.b24 = b1 b7 = b2b6= b3 b5 ,前七项之积为 (3 2) 3 ×3=3 7 =2187.3a5=54 ×54(3) 解法一： a8 = a5 q= a5·=-1458.a22解法二： a5 是 a2 与 a8 的等

5、比中项，542 = a8×(-2).a8=-1458.说明本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若m,n,k,l N + 且 m+n=k +l ，=l.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.则 am·anak·a变式应用 是等比数列，且1 10 =243,4+a7=84, 求ax.1 已知 ana aa47=110, 47=243,解析 a·aa·a a aa4=814=3a4+ 7=84, ，或又 aaa7=37 =81aq=1 或 q=3.3ax=3 q4 =3 ×（ 1 ）4=1 或 ax=81 ×3

6、4=6561.327命题方向与前 n 项和有关的等比数列的性质问题例2各项都是正实数的等比数列an ，前n项的和记为n,若 10=10,30=70, 则SSSS40 等于（）A.150B.-200C.150 或 -200D.400 或 -50答案A分析本题思路较为广泛，可以运用等比数列前n 项和公式列方程，确定基本量1,q后求解，也可以应用等比数列前n项和的性质求解 .a解析解法一：设首项为 a1,公比为 q，由题意知 q±1.a1 (1 q10 )1=10q由，a1(1q30 )1=70q由以上两式相除得 q20+ q10-6=0, 解得 q10 =2 或 q10 =-3( 舍去

7、)，代入有a1 =-10 ，1q40S40 = a1 (1q) =-10 ×(-15)=150.1q解法二：易知q±1，由 S10,S20 -S10 ,S30-S20 ,S40-S30 成公比为 q10 的等比数列 ,则S30= S10 +( S20-S10 )+( S30- S20 )= S10 + q10S10 + q20S10，即 q20 + q10 -6=0 ，解得 q10 =2 或 q10 =-3 （舍去），S40= S10+( S20 -S10)+( S30 -S20)+( S40- S30)=10(1+2+22+2 3)=150.解法三：运用性质Sm+n =

8、Sm+ qmSn 求解，30= 20+20 10=10 +q1010 +q2010SSq SSSS从而有 q20 + q10-6=0 ，解得 q10 =2 或 q10 =-3( 舍去 ).S40 = S30 + q30S10 =70+8 ×10=150.解法四：易知 q±1, S3030 =S1010 ，q20+ q10-6=0,1 q1 q解得 q10=2 或 q10=-3( 舍去 ).又S3030 =S40，所以 S40=150.q1 q401说明在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算，本题的解法二运用了当q-1 时，数列 Sm，S2m-Sm,S3

9、 m- S2m,仍成等比数列，公比为qm，解法三运用了等比数列的性质：Sm+n = Sm+ qmSn，解法四运用了等比数列的性质：Sm=Sn.当 q±1 时，q n1 qm1变式应用 2等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 S5 =10, S10 =20, 则 S15 等于.答案30解析 an 为等比数列，S5， S10-S5， S15- S10 成等比数列，（S10 -S5 ）2= S5（S15-S10 ），即 100=10 （ S15 -20），解得 S15=30.探索延拓创新命题方向错位相减法求数列的和例 3求数列1， 3a,5a2,7 a3n- 1的前 n 项和（ a0

10、）.,(2 n-1) a分析由题设可知数列的通项公式为an=(2n-1) ·n-1 ,数列的每一项可分成两个因a式，前一个因式可构成等差数列，后一个因式可构成等比数列，故可选用错位相减法求和 .n=1+3+5+ +(2n-1)=n1( 2n1)n2.解析=当 a=1 时， S2n=1+3 +5a2+73+ +(2n-1) ·n-1 ,当 a1 时，有 Saaan=a+3a2+5 2+74+ +(2n-1)an,aSaan-n=1+2+22+23+2n-1-(2-1)n=1+2a(1an 1 )-(2-1)naanana,-得 ,SaSa a1aSn= 1(2n1)an+ 2

11、a(1an1).1a(1a)2说明一般来说，如果数列an 是等差数列，公差为d;数列n 是等比数列，公b比为 q,则求数列nn 的前n项和就可以运用错位相减法 . a b变式应用3求数列n 的前n项和n. n·2S解析Sn=1 ·21+2 ·22+3 ·23 + + n·2n2Sn=1 ·22 +2 ·23 + + （n-1 ）·2n+ n·2n+ 1 - 得 - Sn=2+2 2+2 3+ +2 n- n·2n+ 1= 2(12n ) - ·2n+ 11n2=2 n+ 1-2- n&

12、#183;2n+ 1 ,Sn=( n-1)2 n+ 1 +2.名师辨误做答例 4若数列 an 的前n项和为 n=an-1 （ 0），则数列 n 是（）SaaA.等比数列B.等差数列C.可能是等比数列，也可能是等差数列D.可能是等比数列，但不可能是等差数列误解An=n-1 ，得由 Sa=(-1)n- 1，则有 an 1= -1( 常数 ) ，故选 A.anaaana辨析错误的原因在于：当a时， an=0 ，n 是等差数列，而不是等比数列，=1a这是没有理解等比数列中an0 而造成的 .正解Cn=n-1, 得由 San=(-1)n- 1.aaa当 a=1 时， an=0, 数列 an 为等差数列；

13、当 a1 时， an 1 = a-1,( 不为零的常数 )， an则数列 an 为等比数列，故选C.课堂巩固训练一、选择题1. （ x·辽宁文，5）若等比数列 an 满足 anan+ 1 16 n，则公比为（）A.2B.4C.8D.16答案B解析本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力.an·an+ 1=16 n,an-1·an=16 n-1anan 1= an 1= q2=16n=16an1 anan 116n 1q=4.2. 在各项为正数的等比数列中，若a5-4=576,2- 1=9, 则a1+2+a3+a4+ 5aa aaa 的值是（）A.1061B.102

14、3C.1024D.268答案B解析由题意得 a4(q-1)=576,a1(-1)=9,qa4 = 3=64, =4, 1=3,qqaa1a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 3(45 1) =1023.413. 在等比数列1=1, 公比 |q|1,若=12345）an中， aama a a a a ，则 m= （A.9B.10C.xD.x答案C解析1=1, =1 2345=a51 10=q10,aama aa a aq又am= a1 qm-1 = qm- 1,qm- 1= q10,m-1=10, m=x.二、填空题4. 若等比数列 an 的前n项和n=2 n+1+,则r的值为.Sr答案-2解

15、析解法一： a1=1=4+r,Sa2= S2- S1 =8+ r-4- r=4,a3= S3- S2 =16+ r-8- r=8,又 an 为等比数列，a22= a1 a3 ,16=8(4+r),r=-2.解法二： Sn=2 n+ 1+ r=2 ·2n+ r,数列 an 为等比数列，Sn= A·qn- A=2 ·2n+ r,r=-2.5. 设等比数列 an 的公比为,前n项和为n,若n+ 1, n, n+ 2成等差数列，则q 的值为qSS S S.答案 -2解析Sn+ 1,Sn,Sn+ 2 成等差数列，2Sn= Sn+ 1+ Sn+ 2( Sn+ 1 -Sn)+(

16、 Sn+ 2- Sn)=0,an+ 1+ an+ 1+ an+ 2=0,2an+ 1 =- an+ 2,an 2 =-2,an 1q=-2.三、解答题6. （ x·x文， 16）设 an 是公比为正数的等比数列，a1=2, a3= a2+4.(1) 求 an 的通项公式 ;(2) 设 bn 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 an+ bn 的前 n 项和 Sn.分析（ 1）问设出公比q，由已知建立有关q 的方程，求出公比q，写出通项公式.（2）甲分组求和，先求an 的和，再求bn 的和，然后相加得Sn.解析（ 1）设等比数列 an 的公比为q，由a1=2,a3= a2+4得

17、 2q2=2 q+4即 q2 -q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1( 舍 )，q=2an= a1·qn- 1=2 ·2n-1 =2 n（ 2）数列 bn=1+2( n-1)=2 n-1Sn= 2(12n ) + n×1+ n(n 1) ×2122=2 n+ 1-2+ n2- n+n =2 n+ 1+ n2-2.点评此题考查等差、等比数列的通项公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比数列的公比为正数，此题属基础保分题.课后强化作业一、选择题1. 已知等比数列 an中， an=2 ×3n-1 ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和为

18、（）A.3n-1B.3(3 n-1)C. 1 (9 n-1)4D. 3 (9 n-1)4答案D解析a2=6, q=9,6(19n )=3nSn=194(9 -1).2.(x ·辽宁文)设Sn 为等比数列 的前n项和，已知 33=4-2,32 =a3-2, 则公比= anSaSq（）A.3B.4C.5D.6答案B解析3= 4-2,3 2=a3-2,3SaS3-32=4-3,3SSa a a3=4-3,3aa3 =4 ,4aaa4=4, =4.qa33. 等比数列 an 的前 n 项和 Sn= 1 ·2n- 1+ a,则 a 的值为（）3A.- 1B.- 1C. 1366D.

19、13答案B解析n= 1n-1+a= 1n+a,S·26·23又Sn= Aqn- A,a=-1 .64. 等比数列 an 的公比为 13=1, 则6）2，且 SS 等于（A. 9B. 9C. 161689D. 278答案Ba11 （1312）, 3=解析 q=S2112=2 a1 （ 1- 1 ） = 7 a1 =1,844a1=.4（161）819 .6= 72=S1（1-） =8176425.数列 1，1+2 ，1+2+222+23，1+2+22+ +2n-1的前 n 项和 Sn>1020,那， 1+2+2么 n 的最小值是（）A.7B.8C.9D.10答案D解析因

20、为 1+2+2 2+ +2 n-1 = 12n=2 n-1, 所以 Sn=2 1-1+2 2-1+ +2 n-1=2 n+ 1-n-2>1020,12所以 n 的最小值为 10.6. 已知等比数列 an中，公比 q= 1 ,且 a1 + a3 + a5+ a99 =60, 则 a1+ a2+ a3+ + a100 =2（ ）A.100B.90C.x0D.30答案B解析 a2+a4+ 6+ +100 =1 +3 5 +a99q=( 1 +3+5+ +a99)aaa qa qa qq aaa= 1 ×60 302a1+ a2+ a3+ + a100 =( a1+ a3+ a5+ +

21、 a99 )+( a2 + a4+ a6 + + a100 )=60+30=90.7. 已知 2a=3,2 b=6,2 c=x, 则 a,b,c（）A.成等差数列不成等比数列B.成等比数列不成等差数列C.既成等差数列又成等比数列D.既不成等差数列又不成等比数列答案A解析解法一：由已知得 a=log23, =log 26=log23+log 22,c=log 2 x=log 23+2log 22.bb-a=c-b .解法二： 2a·2c=36=(2 b) 2 ,a+c =2 b,故选 A.8. （ x·x文， 9）数列 n 的前n项和为n，若 a1=1,an+ 1=3n( 1

22、), 则6= （）aSS naA.3×44B.3×44+1C.45D.4 5+1答案A解析该题考查已知一个数列的前n与 an+ 1n.注意n 项和 S的关系，求通项公式 a的问题是用an= Sn-Sn-1 时 ( n2) 的条件 .n+ 1=3 naSn=3n-1aS - 得 an+ 1 -an=3 Sn-3 Sn-1 =3 an即 an+ 1 =4 anan 1 =4.( n2) 当 n=2 时， a2=3 a1 =3,ana2 =3 an 1 =4a1anan 为从第2 项起的等比数列，且公比6=24=3 ·44.q=4, aa·q二、填空题9. 等

23、比数列 an 的前n项和为=3 n+1+m,则1 =.Sna答案6解析a1= 1=9+m,Sa2= S2- S1 =27+ m-9- m=18,a3= S3- S2 =81+ m-27- m=54,又 an 为等比数列，a22= a1 a3 ,182 =54(9+ m)，解得 m=-3.a1=9+ m=6.10. 实数 1，1， 1成等差数列，实数a2 ,1, c2 成等比数列，则ac=aca 2c2.答案1或-131+1=2ac=1=-1acac解析由条件，得或，22=1a+ =2a+c=-2a cc ac=1 或-1.a2c23x.已知 n 是公比为(1) 的等比数列，an>0,m=

24、a5 +6 ,k=a4+ 7,则m与k的大小关aq qaa系是.答案m<k解析m-k=( a5 + a6)-( a4+ a7)=( a5-a4)-( a7 -a6)= a4( q-1)- a6( q-1)=( q-1)( a4- a6 ) =( q-1) ·a4·(1- q2)=- a4 (1+ q)(1- q) 2 <0( an>0). m<k .x.设数列 an 的前 n 项和为 Sn( nN + )，关于数列 an 有下列三个命题：若 an 既是等差数列又是等比数列，则an= an+ 1 ( n N + );若 Sn= an2+ bn(a、b

25、R)，则 an 是等差数列；若Sn=1-(-1)n，则 an 是等比数列.这些命题中，正确命题的序号是.答案解析对于命题，易知它是各项不为零的常数数列，有an= an+ 1.对于命题，由 Sn= an2+ bn( a、bR) 得 an= b+a +( n-1) ·2a，当 n=1 时，也适合上式 . an 为等差数列 .对于命题，由 Sn=1- (-1)n得 an=2·(-1)n- 1，当 n=1时也适合上式 .故 an 为等比数列 .三、解答题13.(x ·新课标文，17) 已知等比数列 an 中， a1= 1 ，公比 q= 1 .33(1) Sn 为 an 的

26、前 n 项和，证明： Sn= 1 an ；2(2) 设 bn=log 3a1+log 3a2+ +log 3an，求数列 bn 的通项公式 .分析第一问先利用等比数列定义及前nn,再证明n 项和公式求出 a ，SSn= 1 an ,x 问将问题转化为等差数列求和 .2解析n=11）n-1=1 ,(1) 因为 a×（3n3311） 11（1nnn= 33=3，S1123n= 1an .所以 S2(2)bn=log 3 1+log 32 + +log 3 naaa=-(1+2+ n)=-n(n1) .2所以 bn 的通项公式为 bn=-n(n1) .2点评本题考查了数列的通项，前n 项和

27、等基础知识，体现了转化与化归的数学思想 .14. 已知数列 an 满足 a1 =1, an+ 1 =2 an+1, bn= an+1( nN * )(1) 求证 bn 是等比数列；(2) 求 an 的通项公式 .解析(1) an+ 1 =2 an+ 1an+ 1+1=2( an+1) ，即 bn+ 1 =2 bnb1= a1+1=2 0. bn0,bn 1 =2 ， bn 是等比数列 .bn(2) 由 (1) 知 bn 是首项 b1=2 公比为 2 的等比数列，bn=2 ×2n- 1=2 n，即 an+1=2 n.an=2 n-1.15. 一个等比数列的首项为 1，项数是偶数，其奇数

28、项的和为 85，偶数项的和为 170 ，求此数列的公比和项数 .解析设等比数列的公比为q,项数为 2n（n N + ） ,由已知得 q1, a1=1,2=q.a1q2 n=8512qq(1 q2n )=1701q2÷得 q=2.n14 =85, 4n=256,14n=4.故数列的公比为2, 项数为 8.16. 求和 Sn=1 ×2+4 ×22+7 ×23 + +(3 n-2) ×2n.解析n=1 ×2+4 ×22+7 ×23+ + 3(n-1)-2 ×2n-1+(3-2) ×2nSn2 n=1

29、×22+4 ×23+ + 3(n-1)-2 ×2n+(3n-2) ×2n+ 1S- 得， - Sn=1 ×2+3 ×22 +3 ×23+ +3 ×2n-(3 n-2) ×2n+ 1=3(2+2 2+ +2 n)-(3 n-2) ×n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 2 n+ 2 n+ 1 2 -4=3(2 -2)-(3 n-2) ×2 -4=3 ×2 -6-3 n×2 +2 -4=2 +3(1- n)×2 -10.（ 3n-5 ）

30、15;2n+1 +10.§4数列在日常经济生活中的应用知能目标解读1. 理解常见储蓄如零存整取、定期自动转存、分期付款及利息的计算方法，能够抽象出所对应的数列模型，并能用数列知识求解相关问题.2. 能够将现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，抽象出数列模型，将实际问题解决.重点难点点拨重点：用数列知识解决日常经济生活中的实际问题.难点：将现实生活中的问题抽象出数列模型，使问题得以解决.学习方法指导1. 零存整取模型银行有一种叫做零存整取的业务，即每月定时存入一笔数目相同的资金，这叫做零存；到约定日期，可以取出全部的本利和，这叫做整取.规定每次存入

31、的钱按单利计算，单利的计算是指仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其计算公式为：利息 = 本金×利率×存期 .如果用符号 P代表本金， n 代表存期， r 代表利率， S代表本金和利息和 ( 以下简称本利和 ) ，则有 S=P(1+ nr).2. 定期自动转存模型（1）银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某月存入一笔1 年期定期存款， 1 年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2 年的本金就是第 1 年的本利和，即定期自动转存按复利计算.（2）何谓复利？所谓复利，就是把上期的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金的数额是不同的，复利的计算公式为 S=P(1+ r) n.一般地，一年期满后，借贷者(银行 )收到的款额v1= v0(1+ a) ，其中 v0 为初始贷款额，a 为每年的利率；假若一年期满后，银行又把 v1 贷出，利率不变，银行在下一年期满后可收取的款额为 v2= v1(1+ a)= v0(1+ a) 2 ;依次类推，若 v0 贷出 t 年，利率每年为a，这批款额到期后就会增到 vt= v0(1+ a) t .我们指出这里的利息是按每年一次重