高中数学导数教案一

1、导数的背景教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3 秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是s1gt 2 （其中g 是重力加速度）.2当时间增量t 很小时，从 3 秒到（ 3t ）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大 .因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3 秒时的速度 .从 3 秒到（ 3t ）秒这段时间内位移的增量：s s(3t )s(3)4.9(3t) 24.9 3229.4 t4.9(t) 2从而， vs29.4 4.9

2、t .ts 越接近 29.4 米/ 秒；当从上式可以看出，t 越小，t 无限趋近于 0 时，ts 无限趋近于 29.4米/ 秒. 此时我们说，当t 趋向于 0时， s 的极限是 29.4.tt当 t 趋向于 0 时，平均速度s 的极限就是小球下降3 秒时的速度，也叫做t瞬时速度 .一般地，设物体的运动规律是ss（t），则物体在 t 到（ t t ）这段时间内的平均速度为ss(tt ) s(t ) .如果 t无限趋近于 0 时，s 无限趋近于ttt某个常数 a，就说当t 趋向于 0时，s 的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻 tt的瞬时速度 .2.切线的斜率问题 2：P（1,1）是曲线 y x

3、2 上的一点， Q 是曲线上点 P 附近的一个点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况 .析：设点 Q 的横坐标为 1 x ，则点 Q 的纵坐标为（ 1x ）2，点 Q 对于点 P的纵坐标的增量（即函数的增量）y(1x) 212x ( x)2 ，y2 x(x)22x .所以，割线 PQ 的斜率 kPQxx由此可知，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，x 变得越来越小， k PQ 越来越接近 2；当点 Q 无限接近于点 P 时，即x 无限趋近于 0时， k PQ 无限趋近于2. 这表明，割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线 . 我们把这条直线叫做曲线

4、在点 P 处的切线 . 由点斜式，这条切线的方程为： y 2x 1 .一般地，已知函数y f ( x)的图象是曲线 C，P（），（）x0 , y0Q x0x, y0y是曲线 C 上的两点，当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时，割线 PQ 绕着点 P 转动 .当点 Q 沿着曲线无限接近点P，即 x 趋向于 0 时，如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT，那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线 .此时，割线 PQ 的斜率k PQy 无限趋近于切线 PT 的斜率 k，也就是说，当x 趋向于 0 时，割线 PQx的斜率 k PQy 的极限为 k.x3. 边际成本问题 3：设成本为 C，产量为

5、 q，成本与产量的函数关系式为(q)3210，我Cq们来研究当 q50 时，产量变化q 对成本的影响 .在本问题中，成本的增量为：C C(50q) C (50) 3(50q) 210(350210)300q3(q)2 .产量变化q对成本的影响可用：C3003q 来刻划，q 越小，C 越接近qq300；当 q 无限趋近于 0 时， C 无限趋近于300，我们就说当q 趋向于 0 时，qC 的极限是 300.q我们把C 的极限 300 叫做当 q50 时( )3q210 的边际成本.C qq一般地，设 C 是成本， q 是产量，成本与产量的函数关系式为C C（q），当产量为 q0 时，产量变化q

6、对成本的影响可用增量比C C ( q0q) C (q0 )qq刻划 .如果 q 无限趋近于 0 时，C 无限趋近于常数 A，经济学上称 A 为边际q成本 .它表明当产量为 q0 时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值） .二、小结瞬时速度是平均速度s 当 t 趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置，t切线的斜率是割线斜率y 当 x 趋近于 0 时的极限；边际成本是平均成本C 当xqq 趋近于 0 时的极限 .三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为 s(t) 5t 2 （位移单位： m ，时间单位： s）求它在 t 2s时的速度 .2. 判断曲线 y 2x 2 在点 P

7、（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程 .3. 已知成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C q 25，求当产量 q 80 时的边际2成本 .4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 h（单位： m）与时间 t（单位： s）之间的函数关系为 h t 2 ，求 t 4s 时此球在垂直方向的瞬时速度 .5. 判断曲线 y1 x 2在（1， 1）处是否有切线，如果有，求出切线的方程 .226. 已知成本 C 与产量 q 的函数关系为 C 4q2 7 ，求当产量 q30 时的边际成本 .导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点 ：导数的概念以及求导数教学难点

8、 ：导数的概念教学过程 ：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看， 却是相同的， 都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数 yf ( x) 在 xx0处附近有定义，当自变量在xx0 处有增量x 时，则函数Yf (x) 相应地有增量yf ( x0x)f ( x0 ) ，如果x0 时， y 与x 的比y（也x叫函数的平均变化率）有极限即y 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数xyf (x)在 xx0 处的导数 ，记作 y /xx0 ，即f / ( x0 ) limf ( x0

9、x)f (x0 )x 0x注： 1.函数应在点x0 的附近有定义，否则导数不存在。在定义导数的极限式中，x 趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为。2.03.y 是函数 yf ( x) 对自变量 x 在x 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线xyf ( x) 上点（ x0 , f ( x0 ) ）及点 ( x0x, f ( x0x) ）的割线斜率。4.导数 f / (x0 )limf ( x0x)f ( x0 ) 是函数 yf (x) 在点 x0的处瞬时变化率，x 0x它反映的函数 yf ( x) 在点 x0 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线yf ( x) 上点（ x0 , f (x

10、0 ) ）处的切线的斜率。 因此，如果 yf (x)在点 x0 可导，则曲线 yf (x)在点（ x0 , f ( x0 ) ）处的切线方程为yf ( x0 )f / ( x0 )( xx0 ) 。5.导数是一个局部概念，它只与函数yf ( x) 在 x0 及其附近的函数值有关，与x 无关。6.在定义式中，设xx0x ，则xxx0 ，当x 趋近于0 时， x趋近于 x0 ，因此，导数的定义式可写成f / ( x0 )limf (x0x)f ( x0 )limf ( x)f ( x0 ) 。xoxx x0xx07.若极限 limf (x0x)f ( x0 ) 不存在，则称函数yf (x) 在点

11、x0处不可导。x0x8.若 f ( x) 在 x0 可导，则曲线yf (x) 在点（ x0 , f ( x0 ) ）有切线存在。反之不然，若曲线 yf ( x) 在点（ x0 , f ( x0 ) ）有切线，函数yf (x) 在 x0 不一定可导，并且，若函数yf (x) 在 x0不可导，曲线在点（x0 , f ( x0 ) ）也可能有切线。一般地 ，lim ( abx) a ，其中 a, b 为常数。x0特别地 ， limaa 。x0如果函数 yf ( x) 在开区间 ( a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b) ，都对应着一个确定的导数f / (x) ，从而构成了一个新的函数

12、f / ( x) 。称这个函数f / (x) 为函数 yf (x) 在开区间内的 导函数 ，简称 导数 ，也可记作 y/，即f /( x) y / limylimf ( xx)f (x)x0xx 0x函数 yf ( x) 在 x0 处的导数y /xx0就是函数 yf ( x) 在开区间 ( a,b) (x(a, b) 上导数f/ ()x0 处的函数值，即y /xx0f/ (x0)。所以函数 yf ( x) 在 x0处的导数也记x 在作 f / ( x0 ) 。注： 1.如果函数yf ( x)在开区间 (a, b) 内每一点都有导数，则称函数yf ( x) 在开区间( a, b) 内可导。2.导

13、数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数y f ( x) 在点 x0 处的导数就是导函数 f / ( x) 在点 x0 的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的x0 换成 x就可，即 f / ( x) limf ( x x) f ( x)x0x4.由导数的定义可知，求函数yf ( x) 的导数的一般方法是：（1） .求函数的改变量yf ( xx)f (x) 。（2） .求平均变化率yf (xx) f ( x) 。xx（3） .取极限，得导数y / limy 。x 0x例 1.求 y2x 21 在 x 3 处的导数。例 2.已知函数yx2x（1）求 y/ 。（2）求函数yx 2x在 x 2 处的导数。小结 ：理解导数的概念并会运用概念求导数。练习与作业：1.求下列函数的导数：（1） y3x4 ；（2） y12x(3) y3x2