排列与组合一(带答案)

1、排列与组合(一)一、排列：一般地说，从 n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。 排列数：_;阶乘：_;二、组合：一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m n)个元素出来拼成一组，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 组合数：_;性质：_;排列题型一、含有特殊元素、特殊位置的题采用特殊优先安排的策略 例1：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，共有（ ） A24个 B30个 C48个 D60个 若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来考虑这里仅举以下几例 (1)无关型(两个特

2、殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集) 例2：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数? 解：由题意可知，两个特殊位置在首位和末位，特殊元素是“0，首位可取元素的集合A1，2，3，4，5，末位可取元素的集合B0，AB如图1所示 末位上有 种排法，首位上有 种不同排法，其余位置有 种不同排法所以，组成的符合题意的六位数是 120(个) 说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素是无关的先分别求出两个特殊位置上的排列数(不需考虑顺序)，再求出其余位置上的排列数，最后利用乘法原理，问题即可得到解决 (2)包合型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包

3、合关系) 例3：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数? 解：由题意可知，首位、末位是两个特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的集合A1，2，3，4，5，末位可取元素的集合B5，BA，用图2表示。 末位上只能取5，有 种取法，首位上虽然有五个元素可取但元素5已经排在末位了，故只有 种不同取法，其余四个位置上有 种不同排法，所以组成的符合题意的六位数有 96(个) 说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素组成的集合具有包含关系，先求被包合的集合中的元素在特殊位置上的排列数，再求另一个位置上的排列数，次求其它位置上排列数，最后利用乘法原理，问题就可解决

4、(3)影响型(两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的这类题型在高考中比较常见) 例4：用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个? 解：由题意可知，首位和百位是两个特殊位置，“3”是特殊元素首位上可取元素的集合A2，3，4，5，百位上可取元素的集合B1，2，4，5用图3表示 从图中可以看出，影响型可分成无关型和包含型首先考虑首位是3的五位数共有： 个；再考虑首位上不是3的五位数，由于要比20000大，首位上应该是2、4、5中的任一个， 种选择；其次3应排在千位、十位与个位三个位置中的某一个上， 种选择，最后还有三个数、三个位置

5、，有 种排法，于是首位上不是3的大于20000的五位数共有个 综上，知满足题设条件的五位数共有：+ 78个 练1、用0到9这十个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？这一问题的限制条件是：没有重复数字；数字“0”不能排在千位数上；个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有个当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 （个）没有重复数字的四位偶数有 个解法2：当个位数上排“0”时，同解

6、一有 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得： 个没有重复数字的四位偶数有个解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 个 干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有个 没有重复数字的四位偶数有个解法4： 将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数练2、某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果

7、第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法解法1：6六门课总的排法是 ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有 种排法，如图中；数学排在最后一节有 种排法，如图中；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： （种）解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况：（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有 种；（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法 种；（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法 种；（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法这四类排法并列，不重复也不遗漏，故

8、总的排法有： （种）解法3： 根据要求，课表安排还可分下述4种情况：（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有 种排法；（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法；（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法；（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法上述 21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种，故总排法数为（种）二、解相邻问题采用“捆绑”策略 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再在相邻元素之间排列 例1：A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相邻，且B在A右边，那么不同排法有（ ） A24种 B48种

9、C90种 D120种 分析：将特殊元素A，B按B在A的右边“捆绑”看成一个大元素，与另外三个元素全排列 ，由A，B不能交换，故不再“松绑”，选A 例2：计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种? ( ) A、B、 C、 D、 分析：先把3种品种的画各看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为 ，故选D. 例3：5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有_种 简析：将3名老师捆绑起来看作

10、一个元素，与5名学生排列，有种排法；而3名老师之间又有 种排法，故满足条件的排法共有 4320种 三、解不相邻问题采用“插孔”策略 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排列好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入 例1：7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是 ( ) A1440种 B3600种 C4320种 D4800种 简析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有 种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入，有种方法故共有 · 3600种排法，选B 例2：要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈不相邻，问

11、有多少种不同排法? 分析：先将6个歌唱节目排成一排有 种排法，6个歌唱节目排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入4个舞蹈节目有种，故共 ·6！604800种利用“插孔”法，也可以减少元素，从而简化问题 例3：一排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法? 解：将问题转化成把3个人坐5张椅子，然后插一把空椅子问题 3个人若坐5张椅子，每2人之间一张空椅子坐法是固定的有 种不同的坐法，然后，将余下的那张椅子插入3个坐位的4个空隙，有4种插法所以共有424种不同的坐法 组合题型例1、从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？（1）A、

12、B必须当选； （2）A、B都不当选；（3）A、B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任 分析：（1）除A、B选出外，从其它10个人中再选3人，共有的选法种数为 （种）（2）去掉A、B，从其它10人中任选5人，共有的选法种数为： （种）（3）按A、B的选取情况进行分类：A、B全不选的方法数为 ，A、B选1人的方法数为 ，共有选法 （种）本小题的另一解法：从12人中选5人的选法中去掉A、B全选的情况，所有选法只有（种）（4）方法一：按女同学的选取情况分类：选2名女同学、3名男同学；选3名女同学

13、2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学所有选法数为：  （种）方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为 （种）（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委用分步计数原理可得到所有方法总数为： （种）例2、空间10个点，其中有5点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成多少个四面体？解：方法一：可以按共面的点取0个、1个、2个、3个进行分类，得到所有的取法总数为： 个 方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四

14、面体的方法数为： （个）例3、从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）在（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？分析：（l）分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有 种情况，所以符合题意的七位数有个（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有 个（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有 个（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇

15、数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有    个作业16人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_504_种不同的排法25名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有_17280_种不同的排法37名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（ C ）    A720种B360种 C1440种D120种45名男生、2名女生站成一排照像：    （1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？    （2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？    （3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？    （4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？    （5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？    （6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；（2）中间