常微分方程Ch1

1、常常 微微 分分 方方 程程周正新周正新Ch1. Ch1. 序言序言一一. . 微分方程的产微分方程的产生生众所周知，微积分是十七世纪下半叶（1665-1666）由牛顿，莱布尼兹等人创建的，那么，在此之前，人们要研究客观世界中一些物体的运动规律，只能采用初等数学的方法，由于初等数学的局限性，也就只能解决一些物体作匀速，匀变速等理想运动的规律.十七世纪以后，也就是微积分这门数学分支创建以后，人们如获至宝。科学家们就纷纷借助这一最新数学工具来解决作复杂运动的物体的运动规律，从此就可解决变速变加速等运动规律。但是在解决这些问题的过程中,得到了一些变量与未知函数及其微分的方程式微分方程.因此为了解决实

2、际问题的需要,就必须对这些微分方程进行深入研究,从而产生了一门新的数学分支微分方程微分方程. .二二. .常微分方程模常微分方程模型型例1. RLE电路如右图: 已知:, ,E R L求:( )?II t解: 由基尔霍夫定律:在闭合电路中各用电器上的电压降之和等于零.RELKI) 1 (0)0(ILEILRdtdI0)0(0IdtdILRIELKC( )e tR例例2. RLC2. RLC电电路路如右图,已知:, , , ( )R L C e t( )?I t 求:I解: 与上题同理得:( )0,dIQe tLRIdtC又,dQIdt则得2211( )(2)(0)0, (0)0.d IR dI

3、de tIdtL dtLCLdtII例例3. 3. 数学摆数学摆数学摆是一质量为m的质点系于一根长为L的细线上,在重力的作用下,在垂直于地面的平面上作圆周运动,试求摆锤的运动方程.mgAMPQo解: 设在t时刻摆锤所在位置与平衡位置的夹角为,该角逆时针为正,顺时针为负.建立坐标系如右.设质点M沿圆dsdvldtdtv周运动的切向速度为,则法向力平衡,切向由牛顿第二运动定律得sin ,dvmmgdt 即22100sin0(2)(0), (0)dgdtl若与运动方向相反有一阻力fv,则(2)变为22100sin0,(0), (0)ddgdtm dtl若与运动方向相同有一外力( )F t作用于它,则

4、(2)变为22100( )sin(3)(0), (0)ddgF tdtm dtlml若摆锤作微小振动,即sin,则方程(3)变为22( )(4)ddgF tdtm dtlml例例4. 4. 人口模人口模型型英国人口统计学家Malthus在担任牧师期间,查看了当地教堂100多年来人口出生的统计资料,发现了这样一个现象: 人口出生率是一个常数. 他1798年发表在一书,其中提出了闻名于世的Malthus人口模型.假设,在人口自然增长的过程中,净相对增长率(单为时间内人口的净增长数与人口之比)是常数,记为r(生命系数)在 ,t tt 内人口数量( )NN t的增长量为()( )( ),N ttN t

5、rN tt 由此得若0( )().rN tt 当人口总数不大时,生存空间,资源等极充沛时,人口指数增长是有可能的.但当人口总数非常大时,指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实: 环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活,因此Malthus模型在N(t)很大时是不合理的.)0(0)()(ttretNtNrNdtdN荷兰生物学家Verhulst引入常数mN(环境最大容纳量)表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数,并假设净相对增长率为( )(1)mN trN,即净相对增长率随N(t)的增加而减少,当( )mN tN时,净增长率趣于零.此时,人口增长的方程为Logistic模型(1)mdNNr

6、NdtN人口学家估计人口自然增长率为0.029.r 1960年统计得世界人口为29.8亿,增长率为1.85%,由Logistic模型得882.3 10 ,mN即人口最大容纳量为82.3亿.这与世界000)()(NeNNNNtNrtmm人口在二十世纪七十年代为40亿左右时增长率最大的统计结果相符。例5. Lorenz方程气象学家Lorenz在美国天气预报中心工作,进行数值天气预报.他在20世纪60年代开始用计算机,曾简化气象方程组,将大气对流现象化为14个变量,最后减到12个变量,他对12个变量的微分方程组用数字计算机进行计算,一小时能计算两个月的天气变化.一次偶然离开后回来时发现计算结果突然变

7、化,重新输入计算结果又不同,反复检查原因,原来是重新输入数据的小数尾数误差所引起,从而发现方程的解对初值的敏感的现象.后来他重新处理得到仅含三个变元的数学模型()modxa yzyxzcxyLorenzelzxybz 其中810,28.3abc虽然该方程右边很简单,但其解对初值却异常敏感,由此产生了微分方程Chaos混沌现象的第一例.RL 电路: ;dIREIdtLL人口Malthus modledNrNdt.dyaybdx221( )d IR dIIde tdtL dtLCLdtRLC 电路数学摆的振动221( )ddgF tdtm dtlml22( )d ydyabyf xdxdx三三.

8、. 基本概念基本概念1.1.常微分方程与偏微分方程常微分方程与偏微分方程联系着自变量未知函数及其微分的关系式-微分方程;自变量个数为一的微分方程常微分方程;自变量个数大于一的微分方程偏微分方程;例如:2234222222222( );() sin;()( , );()0.()d ydyabyf xODEdxdxststODEuuaf t xPDEtxuuuPDExyz2. 2. 微分方程的阶微分方程的阶方程中出现的未知元对自变量最高阶导数的阶数称为该微分方程的阶.n阶常微分方程的一般式为( )( , , ,.,)0 (*)nF x y yyF其中为已知函数,且含( ).ny3. 3. 线性和非

9、线性方程线性和非线性方程若方程(*)中F是关于( ), ,.,ny yy的一次有理整式,此时的方程(*)称为线性方程,否则称为非线性方程. n阶线性方程的标准式为111( ).( )( )nnnnnd ydya xax yf xdxdx其中( ),( )(1,2,., )ia xf x in为已知函数.4. 4. 解与隐式解解与隐式解若( )yx满足( )( , ( ), ( ),.,( )0nF xxxx,则称( )yx为方程(*)的解. 若关系式( , )0 x y所确定的隐函数( )yx为(*)的解,则称( , )0 x y为(*)的隐式解.例如 21yx为方程dyxdxy 的显式解,2

10、21xy为该方程的隐式解.5. 5. 通解与特解通解与特解称方程(*)含有n个独立的任意常数12,.,nc cc的解12( , ,.,)nyx c cc为方程(*)的通解.所谓独立,即指12(1)1212(1)(1)(1)12.( , ,.,)0.( ,.,).nnnnnnnnccccccc ccccc 方程(*)满足特定条件的解称为特解.方程(*)的特定条件通常指初始条件,即1(1)(1)000000(), (),.,().nny xyy xyyxy求方程满足初始条件的问题称为初值问题或Cauchy问题.例例6.6. 验证212xxycec e为方程 3 20yyy的通解,并求满足(0)0,

11、 (0)1yy的特解.这里12,c c为任意常数.解: 2212122, 4,xxxxycec eycec e则 3 20.yyy从而212xxycec e为方程的解.又23212( , )0,( ,)2xxxxxeey yec cee从而212xxycec e为通解.又有初始条件得12112201211cccccc 则所求特解为2.xxyee 6.6.积分曲线与方向场积分曲线与方向场一阶微分方程( , )yf x y的解( )yx在xoy平面上所表示的曲线称为该方程的积分曲线.通解( , )yx c表示一族积分曲线,满足条件00()y xx的特解00( ,)yx xy为过点00(,)xy的积

12、分曲线.用( , )f x y在oxy平面某区域D上定义过各点的小线段的斜率方向,这样的区域D称为方程( , )yf x y所定义的方向场.方向场中方向相同的曲线称为等斜线或等倾斜线.四四. . 微分方程的发展史微分方程的发展史常微分方程产生是在微积分产生以后,即1667年.初期:用初等方法求解Leibniz,Euler, Bernoulli. Riccati, 到了年求解的热潮被Liouville中断，他证明了Riccati 方程在一般情况下是没有初等解法的，即它的解是不能用初等函数来表示的后来，由于Cauchy问题的提出，求微分方程的通解问题转化为求特解Bessel,Legendre.19

13、 世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转化为“求所有解”的新时代Poincare创立了微分方程定性理论，Lyapunov提出了运动稳定性理论Hilbert在第十四届世界数学家大会上，提出了世纪的个数学问题，其中第问题就是关于微分方程解的几何性态问题，由此大大促进了定性理论的发展另外在世纪初，Birkhoff在动力系统方面开劈了一个新的领域，Arnold, Smale使得动力系统的研究异常活跃世纪六七十年代以后，随着计算机技术的发展，迎来了新的时期，从“求所有解”又转入“求特殊解”时代，发现了新性质的特殊解和方程，如混沌，奇异

14、吸引子，孤立子等世纪六十年代，Lorenz方程得出了解对初值的敏感性，导致了混沌现象的发现并引起了科学界的巨大震动Smale称之为“利用Newton定律推翻了Newton决定论”多年的实践证明，微分方程的应用是非常广泛的，上上至人造卫星上天，卫星运行轨道的计算，下至环境污染的控制，人口的控制，传染疾病的控制，以及现今最时髦的股市行情的预测与控制等。总之，微分方程是解决实际中应用最广的一门数学分支。常微分方程的研究还与其它学科或领域的结合而出现各钟新的研究分支，如控制论，种群生态学，分支理论，泛函微分方程，随机微分方程等等“年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏这是初等微积分的天然

15、后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它的产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源”Simmons曾如此评价微分方程在数学中的地位 参考文献参考文献 常微分方程讲义， 叶彦谦； 常微分方程教程，丁同仁等； 常微分方程，蔡燧林。 学习要求学习要求 熟练掌握基本方法；深刻理解基本理论。课后作业：P26-28, 1(1,3,5),4(1,3,5), 8(1,3,5).例例5. 5. 传染病模型传染病模型传染病(瘟疫)经常在世界各地流行,如霍乱,天花,艾滋病,SARS, H5N1病毒(高致病禽流感病毒)等,建立传染病的数学模型,分析其变化规律,防止其蔓延是一项艰巨的任务

16、.这里仅就一般的传染规律讨论传染病的数学模型.假设传染病传播期间其地区总人数不变,为常数n, 开始时染病人数为0 x,在t时刻的健康人数为( )y t,染病人数数为( )x t,则有( )( )(5)x ty tn设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比,比例系数为k,称其为传染系数,于是有0( )( ) ( ), (0),dx tky t x t xxdt再由(5)得0(), (0)(6)dxkx nx xxdt这个模型称为SI模型,即易感染者( Susceptible)和已感染者(Infective)模型.对无免疫性的传染病如痢疾,伤风等,病人治愈后再次被感染.设单位时间治愈

17、率为,则方程(6)变为0( )(), (0)()dx tkx nxx xxSISMdt对有很强免疫性的传染病如天花,流感等,病人治愈后不会再被感染.设在时刻t的愈后免疫人数为r(t),称为移出者,而治愈率l为常数,即( )( )dr tlx tdt此时(5)(6)变为( )( )( ),( )( )( ) ( ).x ty tr tndx tdr tky t x tdtdt由上三式得00, (0)(), (0)xkxylx xxSIRMykxy ynx SIR模型曾被kermack等用于检验本世纪初在印度孟买发生的一次温疫,其理论曲线与实际数据相当吻合.例例6.6.两生物种群生态模型两生物种群生态模型意大利生物学家DAncona发现某海港在第一次世界大战期间捕鱼量减少而捕获的捕食鱼占的百分比却急剧增加,为解释这种现象,意大利数学家Volterra建立了一个关于捕食鱼与被捕食鱼生长情形的数学模型.设t 时刻被捕食鱼的总数为( )x t,而捕食鱼的总数为( ),y t若被食鱼所需的食物丰富.若( )0,y t 则(0dxaxadt 为净相对增长率).若( )0,y t 设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的数为(0),bx