电脑基础知识数值积分PPT课件

1、的近似求积方法。这类问题而发展起来数值积分就是为了解决的原函数。数表达等函数不存在用初等函例如2x-e,xsinx但实际求解过程往往遇到困难但实际求解过程往往遇到困难, ,如找不到被积如找不到被积函数的用初等函数表示的原函数，或者是由测函数的用初等函数表示的原函数，或者是由测量或数值计算给出的一张数表，而不知其解析量或数值计算给出的一张数表，而不知其解析表达式，都不能用牛顿表达式，都不能用牛顿- -莱布尼茨公式。莱布尼茨公式。第1页/共87页3.1 3.1 基本概念基本概念一、求积公式的一般形式一、求积公式的一般形式我们知道，定积分是求和式的极限，即我们知道，定积分是求和式的极限，即NoIma

2、ge它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。近似、求和、取极限。knkkbaxfdxxf)(lim)(1n第2页/共87页分割就是把总量分割就是把总量( (整块曲边梯形面积整块曲边梯形面积) )分成若干分量分成若干分量( (小曲边梯形面积小曲边梯形面积) )；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表( (这里这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）；是用矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；求和就是把分

3、量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。最后取极限就得到积分精确值。 从以上分析看到，前三步都比较容易，最后一步取从以上分析看到，前三步都比较容易，最后一步取极限计算较困难。现在既然把求积分精确值变成求极限计算较困难。现在既然把求积分精确值变成求积分近似值，因而就可以省掉取极限这一步，只要积分近似值，因而就可以省掉取极限这一步，只要经过前三步就能得到积分的近似值。这就是我们建经过前三步就能得到积分的近似值。这就是我们建立数值积分公式的基本思想。立数值积分公式的基本思想。NoImage第3页/共87页下面我们给出几个简单的数值积分公式：下面我们给出几个简单的数值积分公式：第4页/共87

4、页第5页/共87页第6页/共87页第7页/共87页第8页/共87页3.1 3.1 基本概念基本概念 式中式中X XK K称为求积节点，称为求积节点，A Ak k称为求积系数。称为求积系数。 接下来的问题是在接下来的问题是在n n固定的情况下，给出求积固定的情况下，给出求积节点节点X XK K的选择和求积系数的选择和求积系数A Ak k的确定。的确定。NoImage)()(0knkkbaxfAdxxf 3.1） 这些数值积分公式精度比较低，往往不能满足实这些数值积分公式精度比较低，往往不能满足实际计算的要求。因此，需要建立精度更高的求积际计算的要求。因此，需要建立精度更高的求积公式。为了研究方便

5、根据以上的求积公式，我们公式。为了研究方便根据以上的求积公式，我们可以抽象出求积公式的一般形式。可以抽象出求积公式的一般形式。第9页/共87页3.1 3.1 基本概念基本概念NoImage二、插值型求积公式二、插值型求积公式 如果我们已经有了求积节点如果我们已经有了求积节点X XK K(k=0,1,(k=0,1,n),n)，我们可以把这些点当作插，我们可以把这些点当作插值节点，利用拉格朗日插值方法，构造插值值节点，利用拉格朗日插值方法，构造插值多项式多项式Pn(x)Pn(x)，近似被积函数，近似被积函数f(x),f(x),得到插值得到插值型求积公式。型求积公式。第10页/共87页的确定问题了。

6、现在只剩下数。可以用该式确定求积系的积分：为插值基函数其中求积系数kkkknkkknkbaknkkbanbaxAAxfAdxxfdxxfdxxPdxxfdx (x)l(x)l)()(x)l )(x)l )()(bakk00bak0 第11页/共87页3.1 3.1 基本概念基本概念NoImage三、代数精度的概念三、代数精度的概念 定理定理1 1 (Weierstrass(Weierstrass定理定理) ) 设设f(x)f(x)是是a,ba,b上的连续函数，则对任意上的连续函数，则对任意0，存在多项式，存在多项式P(x),使对一切使对一切x(axb)有有 |f(x)-P(x)| 第12页/共

7、87页3.1 3.1 基本概念基本概念NoImage 代数精度是为了衡量所构造的求积公式的精代数精度是为了衡量所构造的求积公式的精确性程度引入的一个概念。确性程度引入的一个概念。 不言而喻，我们希望所构造的求积公式对尽不言而喻，我们希望所构造的求积公式对尽可能多的可积函数可能多的可积函数f(x)f(x)准确，或误差尽可能准确，或误差尽可能地小。但我们又不可能逐一度量所有的地小。但我们又不可能逐一度量所有的f(x)f(x)。 借助于定理借助于定理1 1，我们可以在可积函数的子集，我们可以在可积函数的子集( (代数多项式类代数多项式类) )中来讨论精度问题。中来讨论精度问题。 因为定理因为定理1

8、1告诉我们告诉我们: :任意一个连续函数都可任意一个连续函数都可以用多项式去一致逼近。以用多项式去一致逼近。第13页/共87页3.1 3.1 基本概念基本概念NoImage 换句话说，任意一一个连续函数都可以用多项式作为它的最简单的近似函数。 一般说来，多项式的次数越高，用它们来近似的连续函数的精度也就越高。这自然使我们想到利用多项式的次数去度量求积公式的精确性程度(所谓代数精度)。第14页/共87页3.1 3.1 基本概念基本概念NoImage 代数精度的概念是:假如(3.1)式的求积公式对f(x)=1,x,x2,xm恒精确成立，而当f(x)=xm+1时就不精确成立，我们就称公式(3.1)的

9、代数精度为m。 容易看出，m越大，则就一般的连续函数f(x)而言，公式(3.1)的右端数值与左端积分值的接近程度也就越高。第15页/共87页3.1 3.1 基本概念基本概念NoImage 事实上，当m越大时，用次数小于等于m的多项式P(x) 去近似f(x)也就越好，即 max|f(x)-p(x)|=m便越小，因而公式(3.1)的误 差也就越小。因为：第16页/共87页 | | )( -)( - )(-)(| | )()(|m0m00nkkbanknkkbanbaknkkmAdxxPxfAdxxPxfxfAdxxf由此可见，引进代数精度的概念作为衡量求积由此可见，引进代数精度的概念作为衡量求积公

10、式的精确性是十分自然的。这里，公式的精确性是十分自然的。这里，bankkkxPAdxxP0)()(是假定求积公式具有是假定求积公式具有m m次代数精度。次代数精度。第17页/共87页3.1 3.1 基本概念基本概念NoImage四、四、插值型求积公式与代数精度的关系插值型求积公式与代数精度的关系 下面的定理建立了插值型求积公式与代数精下面的定理建立了插值型求积公式与代数精度的关系。度的关系。 定理定理2 2 式式(3.1)(3.1)的求积公式至少具有的求积公式至少具有n n次代次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。数精度的充分必要条件是它是插值型的。第18页/共87页3.2 牛顿柯特斯公式一

11、、公式的导出一、公式的导出 牛顿柯特斯（牛顿柯特斯（Newton-Cotes)Newton-Cotes)公式是一种公式是一种插值型的求积公式，其求积节点为等分节点。插值型的求积公式，其求积节点为等分节点。第19页/共87页 nbakkdthdxxlA0nkj0jnkj0jnkj0jjkjkjkkj-kj-t)(j-kj-tx-xx-x(x)ljh akh xaxth axn)0,1,.,(k na-bhkh ax则令下：从而求积系数的计算如n tbx0 tax ha-xt当当第20页/共87页 nkdtA0nkj0jk-nk-nnkj0jj)-(tk)!-(nk!h(-1)k)!-(n(-1)

12、k!k)-n(-2).(-(1).1(-1)-k(kn)-1).(k(k-1)(k-(k-1).(k-k(kj)-k (:又因为第21页/共87页公式：进而得到积系数系数，我们立即得到求系数。利用称为可事先算出。有关。区间等分的份数的常数，只与对和区间端点是不依赖于被积函数则令Cotes-Newton,ACotesCotesCnnba,ba,f(x)Cj)-(tk)!-(nnk!(-1)nha-bCkkk0nkj0jk-nk nkkdtAAnkkkkbankkxfCabxfAxf00)()()()(第22页/共87页babfafabTdxxf)()(2)(得到梯形公式时当21t210)-(t1

13、)!-(11!1(-1)C 1k211-21-t-t21-1)-(t0)!-(10!1(-1)C 0k1nj)-(tk)!-(nnk!(-1)C102100110210100nkj0jk-nk dtdtdtn第23页/共87页61t21-t3141 t)-(t411)-t0)-(t2)!-(22!2(-1)C 64t -t3121- 2t)-(t21-2)-t0)-(t1)!-(21!2(-1)C 612tt23-t3141 2)3t-(t412)-t1)-(t0)!-(20!2(-1)C 2n202320220222202320220121202320220020dtdtdtdtdtdt（时

14、当第24页/共87页 )()2(4)(6)(bfabfafabSdxxfba公式得到时当Simpson 2n 第25页/共87页 Cotes 907C, 9012C ,9032CC90724t25t-t335t25-t51961 24)50t-35t10t-(t961 4)-3)(t-2)(t-t1)-(t0)!-(40!4(-1)C 4n42314023454023440040公式得到同样得到（时当dtdt第26页/共87页0,1,2,3,4)(k 4a-bh kh,ax)(7)(32)(12 )(32)(7(90 )(Cotes4nk43210式中公式时，得到当xfxfxfxfxfabCd

15、xxfba第27页/共87页第28页/共87页第29页/共87页3.2 牛顿柯特斯公式二、偶阶求积公式的代数精度二、偶阶求积公式的代数精度 因为牛顿柯特斯（因为牛顿柯特斯（Newton-Cotes)Newton-Cotes)公式是公式是一种插值型的求积公式，故由定理一种插值型的求积公式，故由定理2 2可知，它可知，它至少具有至少具有n n次代数精度。次代数精度。 定理定理3 3 当当n n为偶数时，为偶数时，Newton-CotesNewton-Cotes公式至公式至少具有少具有n n1 1次代数精度。次代数精度。第30页/共87页F(n+1）(x)=(n+1)!(x)=(x-x0)(x-x1

16、)(x-xn)X=a+th xj=a+jhDx=hdtX=a t=0X=b t=n令t=u+n/2 dt=dut=n u=n/2 t=0 u=-n/2 第31页/共87页第32页/共87页3.2 牛顿柯特斯公式三、三、SimpsonSimpson公式的余项公式的余项 首先首先, ,复习第一积分中值定理复习第一积分中值定理. .若函数若函数f(x),g(x)f(x),g(x)在区间在区间a,ba,b上有界且可积，上有界且可积，f(x)f(x)连续连续,g(x),g(x)在区间在区间a,ba,b内不变号，则在内不变号，则在a,ba,b内至少存在一个数内至少存在一个数(a(ab), n=2k-1;s

17、s=0;h=(b-a)/n for I=1 to n x=a+(2i-1)h/2 ss=ss+f(x) Next I T2=T1/2+h*ss/2 do case case k=1 s1=4*T2/3-T1/3 T1=T2 case k=2 S2=4*T2/3-T1/3 C1=16*S2/15-S1/15 T1=T2 S1=S2case k=3 S2=4*T2/3-T1/3 C2=16*S2/15-S1/15 R1=64*C2/63-C1/63 T1=T2 S1=S2 C1=C2 case k=3 S2=4*T2/3-T1/3 C2=16*S2/15-S1/15 R2=64*C2/63-C1/

18、63 E=|R2-R1| T1=T2 S1=S2 C1=C2 R1=R2 EndCaseEndDoOutput R1第58页/共87页第59页/共87页第60页/共87页第61页/共87页第62页/共87页3.43.4高斯公式高斯公式 选择合适的节点，提高选择合适的节点，提高(3.1)(3.1)式求积公式的式求积公式的代数精度。代数精度。 设设a=-1,b=1a=-1,b=1NoImageNoImage111)()(nkkkxfAdxxf(3.5)适当选取节点，可使求积公式具有适当选取节点，可使求积公式具有2n-12n-1次次代数精度。这种高精度的求积公式称为高代数精度。这种高精度的求积公式称

19、为高斯（斯（GaussGauss）公式。）公式。GaussGauss公式的求积公式的求积节节点点称为称为GaussGauss点。点。第63页/共87页 一点高斯公式是我们所熟悉的中矩形公式一点高斯公式是我们所熟悉的中矩形公式NoImage11)0(2)(fdxxf其高斯点x x1 1=0=0第64页/共87页 现在推导两现在推导两点高斯公式点高斯公式: :NoImageNoImage0 xAxA31xAxA0 xAxA2AA x,xx,1,f(x)()()( 32312221221121322211112121准确成立，有令它对于xfAxfAdxxf第65页/共87页NoImage)31()3

20、1()(11ffdxxf解方程解方程, ,得到得到: :两点高斯公式: :3112121xxAA第66页/共87页第67页/共87页 对于任意求积区间对于任意求积区间a,ba,b，通过变换：，通过变换： 可将求积区间可将求积区间a,ba,b变到区间变到区间-1,1-1,1。NoImageNoImagedtbatabfabdxxfba)22(2)(1122batabx )232a-bf(-)232a-bf(2)(babaabdxxfba相应两点的高斯公式是第68页/共87页第69页/共87页(3.7)第70页/共87页第71页/共87页第72页/共87页定理定理5:5: 节点节点x xk k(k

21、=1,2,(k=1,2,n),n)是高斯点的是高斯点的充分必要条件是，充分必要条件是，(x)=(x-x1 1)(x-x2 2)(x-xn n)与所有次数少于与所有次数少于n-1的多项式正交。即的多项式正交。即下列公式成立下列公式成立(3.9) 1)-n0,1.,(k 0)(11dxxxk第73页/共87页第74页/共87页第75页/共87页第76页/共87页第77页/共87页第78页/共87页3.5 3.5 应用实例应用实例 例例5 5 在相距在相距100100米的两个塔（高度相等的点）米的两个塔（高度相等的点）上选挂一根电缆，允许电缆在中间下垂上选挂一根电缆，允许电缆在中间下垂1010米。米

22、。计算两塔之间所用电缆长度。计算两塔之间所用电缆长度。NoImage-50,50 x),2eeay( cosax-ax或axay解：空中电缆的曲线应满足悬链方程解：空中电缆的曲线应满足悬链方程第79页/共87页而曲线的最低点（而曲线的最低点（0,y(0)和最高点和最高点(50,y(50)的高度差距为的高度差距为10米。所以，应该有米。所以，应该有102.6187L,12a126.6234a 10aa50acos 10)0()50(5002 求出电缆的长度用数值积分公式，计算公式用定积分的弧长代回悬链方程中，再利将即dxyLyy第80页/共87页我们可以用简单的折线代替悬链线，也可以用我们可以用

23、简单的折线代替悬链线，也可以用抛物线抛物线代替悬链线计算出电缆长度的近似值。用过点(-50,10),(0,0),(50,10)的折线代替悬链线计算电缆的长度，实际是通过点(-50,10),(0,0), (50,10)建立了一个分段线性插值函数，用这个分段线性插值函数近似悬链曲线。这条线的长度为：102.6187L9804.1011050222电缆的长度这个结果比较接近L第81页/共87页用过点(-50,10),(0,0),(50,10)的抛物线代替悬链线计算电缆的长度，实际是通过点(-50,10), (0,0), (50,10)建立了一个二次插值函数，用这个二次插值函数近似悬链曲线。因为抛物线

24、通过原点，可以假设102.6187L606. 210y12 2502x2cxy 2501c10,y(50),cxy5002 2长度这个结果很接近电缆的。从而可知由条件L第82页/共87页例：下面，我们再给出一个类似的实际问题。例：下面，我们再给出一个类似的实际问题。某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道。全长约某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道。全长约1471m1471m，高差为，高差为380m380m，采用循环单线式修建。缆，采用循环单线式修建。缆绳悬挂在下站到上站的行程中的绳悬挂在下站到上站的行程中的8 8个铁塔上，这个铁塔上，这8 8个铁塔依山势走向而距离不等。从下站到第一铁个铁塔依山势走向而距离不等。从下站到第一铁塔的水平距离为塔的水平距离为d d0 0，高差为，高差为h h0 0; ;从第一铁塔到第二从第一铁塔到第二铁塔的水平距离为铁塔的水平距离为d d1 1，高差为，高差为h h1 1, , ,从第从第8 8个铁塔个