数字逻辑复习一

1、复习课一第一章：半导体的导电特性 导体和绝缘体的本质区别原子核对外层电子的束缚力 半导体的特殊结构 P型 (导电性依赖于空穴载流子)和N型半导体(导电性依赖于电子） P-N结第二章：编码 原码 又称又称符号符号+数值表示数值表示, 对于正数对于正数, 符号位为符号位为0, 对于负数、符号位为对于负数、符号位为1, 其余各位表示数值部分其余各位表示数值部分 原码表示的特点: 真值0有两种原码表示形式,即 +0原= 000 0原= 1 00 反码 补码引入反码和补码的原因 原码表示法比较直观，它的数值部分就是该数的绝对值，而且与真值、十进制数的转换十分方便。 但是它的加减法运算较复杂。当两数相加时

2、，机器要首先判断两数的符号是否相同，如果相同则两数相加，若符号不同，则两数相减。在做减法前，还要判断两数绝对值的大小，然后用大数减去小数，最后再确定差的符号， 换言之，用这样一种直接的形式进行加运算时，负数的符号位不能与其数值部分一道参加运算，而必须利用单独的线路确定和的符号位。要实现这些操作，电路就很复杂，这显然是不经济实用的。 为了减少设备，解决机器内负数的符号位参加运算的问题，总是将减法运算变成加法运算，也就引进了反码和补码这两种机器数。 反反 码码对于正数，其反码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是将原码数值按位求反。例：例： N1 = +10011 N2 = 0101

3、0 N1反= 010011N2反= 1 10101真值0也有两种反码表示形式，即 +0反= 000 0反= 1 11 N1 +N2反 N1反+ N2反 N1 N2反 N1反+ N2反当符号位有进位时，应在结果的最低位再加1.例：例： N1 =0011，N2 = 1011求 N1 +N2反和 N1 N2反。解解： N1 反11100， N2 反01011, N2 反10100 N1 +N2反=11100+01011= 01000 1 1 1 0 0) 0 1 0 1 11 0 0 1 1 1)10 1 0 0 0真值为： N1 +N2=1000 N1 N2反 11100+10100 1 1 1

4、0 0) 1 0 1 0 01 1 0 0 0 0)11 0 0 0 1真值为： N1 N2=1110 0 0 0 11 1 1 0加上符号求反补补 码码对于正数，其补码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是在反码数值的末位加1.例：例： N1 = +10011 N2 = 01010 N1补= 010011N2补= 1 10110真值0只有一种补码表示形式，即 0补= 0反+1= 1 11+1= 1 0 0 0丢弃可以证明有如下补码加、减运算规则： N1 +N2补 N1补+ N2补此规则说明补码的符号位参与加减运算。 X +Y补 X补+ Y补 N1 N2补 N1补+ N2补例：例

5、： N1 =0011，N2 = 1011求 N1 +N2补和 N1 N2补。解解： N1 补11101， N2 补01011, N2 补10101 N1 +N2补=11101+01011= 01000 1 1 1 0 1) 0 1 0 1 11 0 1 0 0 0丢弃真值为： N1 +N2=1000 N1 N2补=11101+10101 1 1 1 0 1) 1 0 1 0 11 1 0 0 1 0丢弃真值为： N1 N2=1110 0 0 1 0) 0 0 0 1 0 0 0 11 1 1 0加上符号位求反 用4位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称为二十进制代码，或称BCD(Binar

6、y Coded Decimal)码。 BCD码既有二进制的形式，又有十进制的特点。常用的BCD码有8421码、2421码和余3码。14一、8421码 8421码：是用4位二进制码表示一位十进制字符的一种有权码，4位二进制码从高位至低位的权依次为23、22、21、20，即为8、4、2、1,故称为8421码。 按8421码编码的09与用4位二进制数表示的09完全一样。所以，8421码是一种人机联系时广泛使用的中间形式。 (1) 8421码中不允许出现10101111六种组合(因为没有十进制数字符号与其对应)。 (2) 十进制数字符号的8421码与相应ASCII码的低四位相同，这一特点有利于简化输入

7、输出过程中BCD码与字符代码的转换。 注意： 15二、2421码 2421码: 是用4位二进制码表示一位十进制字符的另一种有权码，4位二进制码从高位至低位的权依次为2、4、2、1,故称为2421码。 若一个十进制字符X的2421码为a3 a2 a1 a0，则该字符的值为 X = 2a3 + 4a2 + 2a1 + 1a0 例如，(1101)2421码 = (7)10 十进制数十进制数2421码码000001000120010300114010051011611007110181110911112421码是一种对9的自补代码。16三、余3码 余3码：是由8421码加上0011形成的一种无权码，由

8、于它的每个字符编码比相应8421码多3，故称为余3码。 例如，十进制字符5的余3码等于5的8421码0101加上0011，即为1000。 2. 余3码与十进制数进行转换时，每位十进制数字的编码都应余3。例如， (256)10 = (0101 1000 1001)余3码 (1000 1001 1001 1011)余3码 = (5668)10 注意: 1. 余3码中不允许出现0000、0001、0010、1101、1110和1111六种状态。 3. 余3码是一种对9的自补代码。Cube Based Summaries of Large Association Rule Sets17如果两个余3码相

9、加没有进位，则和数要减3(因为已经加了6)如果两个余3码相加有进位，和数要加3，(因为进位余6被丢掉，要保持余3的特性)。18 作用: 提高系统的可靠性。 为了减少或者发现代码在形成和传送过程中都可能发生的错误。形成了各种编码方法。下面，介绍四种常用的可靠性编码。 一、格雷(Gray)码 1. 特点：任意两个相邻的数的格雷任意两个相邻的数的格雷码仅有一位不同码仅有一位不同。 2. 作用：避免代码形成或者变换过程中产生的错误。十进制数十进制数典型典型Gray码码00000100012001130010401105011160101701008110091101格雷码常用在计数器中，以防止多计数或

10、少计数。19二、奇偶检验码 奇偶检验码是一种用来检验代码在传送过程中是否产生错误的代码。 2编码方式：有两种编码方式. 奇检验:使信息位和检验位中“1”的个数共计为奇数； 偶检验:使信息位和检验位中“1”的个数共计为偶数。 信息位 (7位) 采用奇检验的检验位 (1位) 采用偶检验的检验位 (1位) 1001100 0 1 1组成： 信息位位数不限的一组二进制代码 两部分组成 奇偶检验位仅有一位。 例如,20 3特点 (1) 编码简单、容易实现 ； (2) 奇偶检验码只有检错能力，没有纠错能力；奇偶检验码只有检错能力，没有纠错能力； (3) 只能发现单错，不能发现双错 。 第一章第一章 基本知

11、识基本知识1 0011010 1 0011011 出现的错误, 但并不知道是哪一位出了错.虽然1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1出现了错误，但我们无法知道。如三 海明码 海明码是一种比较常用的纠错码，它实际上是一种多重奇偶校验码。其基本思想是将被检验码分成多个组，每组配备一个奇偶校验位完成该组的奇偶校验位的功能。当被校验码中某一位出错时，将会有相关的多个小组出现奇偶校验错，根据这些组的出错情况便可将错误定位到某一位上从而即可纠正过来。 可发现错误，还能指出错误的位置 强调指出：海明码校验方法以奇偶校验法为基础，其校验位不是一个而是一组。海明码校验方法能够检测出具体错

12、误并纠正22C1 C2 . C K r 1 r 2 r i 四四 循环循环冗余校验方法冗余校验方法(CRC(CRC码码) ) 循环冗余校验方式：通过某种数学公式建立信息位和校验位之间的约定关系能够校验传送信息的对错，并且能自动修正错误。广泛用于通信和磁介存储器中。 CRC编码格式是在k位信息后加r位检验码。 信息位（信息位（k位）位） 校验位（校验位（r位）位）第三章 逻辑代数 逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所构成，记为L=K,+,L=K,+,-,0,1,-,0,1。该系统应满足下列公理。 2.1 2.1 逻辑代数的基本概

13、念逻辑代数的基本概念公公 理理 1 1 交交 换换 律律公公 理理 2 2 结结 合合 律律公公 理理 3 3 分分 配配 律律公公 理理 4 01 4 01 律律 A + 0 = A A + 0 = A ； A A 1 = A 1 = A A + 1 = 1 A + 1 = 1 ； A A 0 = 0 0 = 0 公理是一个代数系统的公理是一个代数系统的基本出发点，无需加以基本出发点，无需加以证明。证明。0AA 1AA公公 理理 5 5 互互 补补 律律 2.2 2.2 基本逻辑运算基本逻辑运算 描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种运

14、算关系。逻辑代数中定义了逻辑代数中定义了“或或”、“与与” 、“非非”三种基本三种基本运算。运算。 1. F = A + B或者或者F = A B，读作读作“F F等于等于A A或或B B”。2. F = AB或者F = AB 3. 或者 F = AAF2.3 2.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即即随自变量变化的因变量随自变量变化的因变量。但和普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有如下特点特点： 1逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和和1两种可两种可能能 ； 2函数和变量之间的关系是由函数

15、和变量之间的关系是由“或或”、“与与”、“非非”三种基本运算决定的三种基本运算决定的 。 一一、逻辑函数的定义逻辑函数的定义图中，图中，F被称为被称为A1，A2，An的逻辑函数，记为的逻辑函数，记为F = f( A1，A2，An )逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本身的结构决定的身的结构决定的。 广义的逻辑电路逻辑电路逻辑电路 FA1A2An设某一逻辑电路的输入逻辑变量为A1，A2，An，输出逻辑变量为F，如下图所示。 逻辑函数和普通代数中的函数一样存在是否相等相等的问题。设有两个相同变量的逻辑函数F1 = f1( A 1,A 2,

16、 ,A n)F2 = f2( A 1,A 2, ,A n)若对应于逻辑变量若对应于逻辑变量 A1 ,A2 , , An的任何一组取值，的任何一组取值，F1和和F2的值都相同，则称函数的值都相同，则称函数F1和和F2相等，记作相等，记作F1 = F2 。如何判断两个逻辑函数是否相等？如何判断两个逻辑函数是否相等？通常有两种方法：真值表法真值表法，代数法代数法。2.4 2.4 逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法函数函数F和变量和变量A、B的关系是：的关系是： 当变量当变量A和和B取值不同时，函数取值不同时，函数F的值为的值为“1”； 取值相取值相同时，函数同时，函数F的值为的值为“0”。BABABA

17、,fF逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、“非”3种运算符以及括号所构成的式子。例如一一、逻辑表达式逻辑表达式 如何对逻辑功能进行描述？如何对逻辑功能进行描述？常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图3种。种。 逻辑表达式的简写逻辑表达式的简写: 1.“非非”运算符下可不加括号，如运算符下可不加括号，如 ， 等。等。BABA2.“与与”运算符一般可省略，如运算符一般可省略，如AB可写成可写成AB。 高高低低3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运算，则按按先先“与与”后后“或或”的规则进行运算，可省去括号的规则进行运算，可省去括号, ,如如(A

18、B)+(CD)可写为可写为AB+CD。注意注意:(A+B)(C+D):(A+B)(C+D)不能省略括号不能省略括号, ,即不能写成即不能写成A+BC+DA+BC+D！ 运算优先法则：运算优先法则： ( ) +4.(A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或者A(BC)可用ABC代替。 二、真值表二、真值表 依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相应函数值的表格称为真值表。应函数值的表格称为真值表。一个一个n个变量的逻辑函数，其真值表有个变量的逻辑函数，其真值表有2n行。行。例如，真值表由两部分组成：真值表由两部分组成：

19、 左边一栏列出变量的所有左边一栏列出变量的所有取值组合，为了不发生遗漏，取值组合，为了不发生遗漏，通常各变量取值组合按二进制通常各变量取值组合按二进制数码顺序给出；右边一栏为逻数码顺序给出；右边一栏为逻辑函数值。辑函数值。三三、卡诺图卡诺图 卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构成的平面图成的平面图。在绘制卡诺图时，行和列的名称都必须以格雷在绘制卡诺图时，行和列的名称都必须以格雷码进行标注。码进行标注。描述逻辑逻辑函数的描述逻辑逻辑函数的3 3种方法可用于不同场合。但针对某种方法可用于不同场合。但针对某个具体问题而言，它们仅仅是同一问题的不

20、同描述形式，相个具体问题而言，它们仅仅是同一问题的不同描述形式，相互之间可以很方便地进行变换。互之间可以很方便地进行变换。 2 .5 2 .5 逻辑代数的基本定理和规则逻辑代数的基本定理和规则 常用的组定理：常用的组定理：逻辑代数有逻辑代数有3 3条重要规则。条重要规则。一一、代入规则代入规则 任何一个含有变量任何一个含有变量A的逻辑等式的逻辑等式,如果将所有出现如果将所有出现A的位的位置都代之以同一个逻辑函数置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。这个规则，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。称为代入规则。 二、反演规则二、反演规则 若将逻辑函数表达式若将逻辑函数表达式F中所有的中所有

21、的“”变成变成“+”，“+”变变成成“”,“0”变成变成“1”,“1”变成变成“0”,原变量变成反变量，反变原变量变成反变量，反变量变成原变量，并保持原函数中的运算顺序不变，则所量变成原变量，并保持原函数中的运算顺序不变，则所得到的新的函数为原函数得到的新的函数为原函数F的反函数。的反函数。F三、对偶规则三、对偶规则如果将逻辑函数表达式F中所有的“”变成变成“+”,“+”变变成成“”，“0”变成变成“1”，“1”变成变成“0”，并保持原函数中的，并保持原函数中的运算顺运算顺序不变序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式，并记作F。例如，注意注意: 使用反演规则和对偶规则时，应保持原函

22、数式中运算符号的优先顺序不变！2.6 2.6 复合逻辑复合逻辑 实际应用中广泛采用“与非”门、“或非”门、“与或非”门、“异或”门等门电路。这些门电路输出和输入之间这些门电路输出和输入之间的逻辑关系可由的逻辑关系可由3 3种基本运算构成的复合运算来描述，故通常种基本运算构成的复合运算来描述，故通常将这种逻辑关系称为复合逻辑，相应的逻辑门则称为复合门。将这种逻辑关系称为复合逻辑，相应的逻辑门则称为复合门。 一、与非逻辑一、与非逻辑 与非逻辑是由与、非两种逻辑复合形成的，可用逻辑函数表示为逻辑功能逻辑功能：只要变量只要变量A A、B B、C C、中有一个为中有一个为0 0，则函数，则函数F F为为

23、1 1；仅当变量；仅当变量A A、B B、C C、全部为全部为1 1时，函数时，函数F F为为0 0。实现与非逻辑的门电路称为实现与非逻辑的门电路称为“与非与非”门门。 CBAF二二、或非逻辑或非逻辑逻辑功能：逻辑功能：只要变量A、B、C中有一个为1，则函数F为0；仅当变量A、B、C全部为0时，函数F为1。实现或非逻辑的门电路称为“或非或非”门门。 或非逻辑是由或、非两种逻辑复合形成由或、非两种逻辑复合形成的，可表示为 CBAF三、与或非逻辑三、与或非逻辑逻辑功能：逻辑功能：仅当每一个“与项”均为0时，才能使F为1，否则F为0。实现与或非功能的门电路称为“与或非与或非”门门。 与或非逻辑是由3

24、种基本逻辑复合形成的，逻辑函数表达式的形式为 CDABF四、异或逻辑及同或逻辑四、异或逻辑及同或逻辑逻辑功能：逻辑功能：变量变量A A、B B取值相同，取值相同，F F为为0 0；变量；变量A A、B B取值取值相异，相异，F F为为1 1。实现异或运算的逻辑门称为“异或门异或门”。 1 1异或逻辑异或逻辑 异或逻辑是一种两变量逻辑关系两变量逻辑关系，可用逻辑函数表示为 BABABAF 根据异或逻辑的定义可知：A 0 = AA 0 = AA 1 =A 1 =A A = 0A A = 0A = 1 A = 1 AA2 2同或逻辑同或逻辑同或逻辑也是一种两变量逻辑关系，其逻辑函数表达式为 功能逻辑

25、功能逻辑：变量A、B取值相同，F为1；变量A、B取值相异，F为0。实现同或运算的逻辑门称为“同或门同或门” 。 F = A B = + AB 式中，“”为同或运算的运算符。 BA2.7 2.7 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换任何一个逻辑函数，其表达式的形式都不是唯一的。下面介绍逻辑函数表达式的基本形式、标准形式及其相互转基本形式、标准形式及其相互转换。换。 2.7.1 2.7.1 逻辑函数表达式的逻辑函数表达式的两种两种基本形式基本形式 两种基本形式：指两种基本形式：指“与与- -或或”表达式和表达式和“或或- -与与”表达式表达式。 一一、“与与- -或或”表达式表达式

26、 “与与-或或”表达式：是指由若干表达式：是指由若干“与项与项”进行进行“或或”运运算构成的表达式。例如，算构成的表达式。例如，CCBABAF“与项与项”有时又被称为有时又被称为“积项积项”，相应地，相应地“或或与与”表达式又称为表达式又称为“积之和积之和”表达式。表达式。二、二、“或或- -与与”表达式表达式 “或项或项”有时又被称为有时又被称为“和项和项”，相应地，相应地“或或与与”表达式又称为表达式又称为“和之积和之积”表达式。表达式。 C)DB)(ACB)(BA(D)C,B,F(A,“或或- -与与”表达式：是指由若干表达式：是指由若干“或项或项”进行进行“与与”运算运算构成的表达式。

27、例如，构成的表达式。例如，该函数既不是该函数既不是“与与或或”式？也不是式？也不是“或或与与”式！式！2.7.2 2.7.2 逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式 逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。例如， B)CBC)(AB(AC)B,F(A,逻辑函数的基本形式都不是唯一的。逻辑函数的基本形式都不是唯一的。例如CAABBCCAABF为了在逻辑问题的研究中使逻辑功能能和唯一的逻辑表达式对应，引入了逻辑函数表达式的标准形式。逻辑函数表达式的标准形式是建立在最小项和最大项概念的基础之上的。一、最小项和最大项一、最小项和最大项 （1）定义：）定义：如果一个具有n个变量的函数的“与项

28、”包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该“与项”被称为最小项最小项。有时又将最小项称为标准标准“与项与项”。 1最小项最小项（3）简写：）简写：用mi表示最小项。下标下标i的取值规则是：的取值规则是：按照变量顺序将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标i的值。 （2）最小项的数目：）最小项的数目：n个变量可以构成2n个最小项。 例如，例如，3个变量个变量A、B、C可以构成、可以构成、 A B C共共8个最小项。个最小项。 CBACBA在由n个变量构成的任意“与项”中，最小项是使其值为1的变量取值组合

29、数最少的一种“与项”，这也就是最小项名字的由来。 （4） 性质性质 最小项具有如下四条性质。 性质性质1： 任意一个最小项，其相应变量有且仅有一种取任意一个最小项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最小项的值为值使这个最小项的值为1。并且，最小项不同，使其值为。并且，最小项不同，使其值为1的的变量取值不同。变量取值不同。 例如，3变量A、B、C构成的最小项 A C 可用 m5 表示。因为 m5 (5)10 101ACBB性质性质3： n个变量的全部最小项相个变量的全部最小项相“或或”为为1。通常借用数学中的累加符号“”，将其记为1n20i1mi性质性质2： 相同变量构成的两个不同最小项相相同变量

30、构成的两个不同最小项相“与与” 为为0。因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最小项同时为1，故相“与”为0。即mi mj = 0 性质性质4： n个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有n个相邻最小项。个相邻最小项。相邻最小项：相邻最小项：是指除一个变量互为相反外，其余部分均相同的最小项。例如 ，三变量最小项A B C和相邻 。 BCA定义定义：如果一个具有n个变量函数的“或项”包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该“或项”被称为最大项。有时又将最大项称为标准“或项”。 2 2最大项最大项数目：数目：n个变量可以构成个变量可以构成2n 个最大项。个最大项

31、。例如，3个变量A、B、C可构成、共8个最大项。 CBACBACBA性质：性质：最大项具有如下四条性质。 性质性质1 任意一个最大项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最大项的值为0。并且，最大项不同，使其值为0的变量取值不同。 简写：用简写：用Mi表示最大项。表示最大项。下标下标i的取值规则是的取值规则是：将最大项中的原变量用0表示，反变量用1表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标 i 的值。例如，3变量A、B、C构成的最大项 可用 M5 表示。因为 M5 (5)10 101CBACBA在n个变量构成的任意“或项”中，最大项是使其值为1的变量取值组合数最多的一种“或项”，

32、因而将其称为最大项。最大项。 性质性质2 相同变量构成的两个不同最大项相相同变量构成的两个不同最大项相“或或”为为1。因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最大项同时为0，故相“或”为1。即 M i + M j = 1 性质性质3 n个变量的全部最大项相个变量的全部最大项相“与与”为为0。通常借用数学中的累乘符号“”将其记为 010ii2nM性质性质4 n个变量构成的最大项有个变量构成的最大项有n个相邻最大项。个相邻最大项。相邻最大项是指除一个变量互为相反外，其余变量均相同的最大项。 3最小项和最大项的关系最小项和最大项的关系 在同一问题中，下标相同的最小项和最大项互为反函数。在同一问题中，下

33、标相同的最小项和最大项互为反函数。或者说，相同变量构成的最小项mi和最大项Mi之间存在互补关系。即 或者iiMm iiMm 例如，由3变量A、B、C构成的最小项m3和最大项M3之间有 33MCBABCAm33mBCACBAM二、逻辑函数表达式的标准形式二、逻辑函数表达式的标准形式 逻辑函数表达式的标准形式有标准标准“与与-或或”表达式表达式和和标准标准“或或-与与”表达式表达式两种类型两种类型。 1标准标准“与与 - 或或”表达式表达式 由若干最小项相由若干最小项相“或或”构成的逻辑表达式称为标准构成的逻辑表达式称为标准“与与-或或”表达式，也叫做最小项表达式。表达式，也叫做最小项表达式。 该

34、函数表达式又可简写为 F(A，B，C) = m1 + m2 + m4 + m7 = m(1,2,4,7)例如，如下所示为一个3变量函数的标准“与-或”表达式 ABCCBACBACBAC)B,F(A,2标准标准“或或-与与”表达式表达式 由若干最大项相由若干最大项相“与与”构成的逻辑表达式称为标准构成的逻辑表达式称为标准“或或-与与”表达式，也叫做最大项表达式表达式，也叫做最大项表达式 。该表达式又可简写为 M(1,5,7)MMMC)B,F(A,751CBA 例如， 、 、 为3变量构成的3个最大项，对这3个最大项进行“与”运算，即可得到一个3变量函数的标准“或-与”表达式 CBACBA)CBA

35、)(CBA)(CB(AC),B,F(A2.7.3 2.7.3 逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换 将一个任意逻辑函数表达式转换成标准表达式有两种常用方法。一、一、代数转换法代数转换法 1 . 求标准求标准“与与-或或” 式式一般步骤如下：一般步骤如下： 第一步第一步：将函数表达式变换成一般“与-或”表达式。 所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公理、定理和规所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公理、定理和规则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形式。式。 第二步：第二步：反复使用将表达式中所有非最小项的“与项”扩展成最小项。 )

36、YX(YX例例 将逻辑函数表达式将逻辑函数表达式 转换成转换成标准标准“与与-或或”表达式。表达式。 AB)CBB(AC)B,F(A,C)C( ABA)BCA(B)BC(AC)C(BAC)B,F(A,ABCC ABABCBCABCACBACBACBAABCCABBCACBACBA解解 第一步：第一步：将函数表达式变换成“与-或”表达式。即ABCBBAABC)BB)(A(ABBCCABAAB)CBB(A C)B,F(A,第二步：第二步：把“与-或”式中非最小项的“与项”扩展成最小项。所得标准“与-或”式的简写形式为 当给出函数表达式已经是“与-或”表达式时，可直接进行第二步。 2 . 求一个函数

37、的标准求一个函数的标准“或或-与与” 式式一般步骤：一般步骤：第一步：第一步：将函数表达式转换成一般“或-与”表达式。 第二步：第二步：反复利用定理把表达式中所有非最大项的“或项”扩展成最大项。 )BB)(A(AA76310mmmmmC)B,F(A,)(0,1,3,6,7m解解 第一步：第一步：将函数表达式变换成“或-与”表达式。即 例例 将逻辑函数表达式 变换成标准“或-与”表达式。 CBC)A(ABC)B,F(A,CBC)A(ABC)B,F(A,CBCAABCB)C(AB)A(C)C)(ABA(B)C)(ABA(C)CC)(ABA)(BC)(ABBA(C)BA)(CB)(ABA(=1第二步

38、第二步：将所得“或-与”表达中的非最大项扩展成最大项。即 当给出函数已经是“或-与”表达式时，可直接进行第二步。 该标准“或-与”表达式的简写形式为 M(3,6,7)MMMC)B,F(A,763C)BA)(CB)(ABA(C)B,F(A,C)BA)(CBC)(ABA)(CBA()CBAC)(BA)(CB(A二、真值表转换法二、真值表转换法 具体：具体：真值表上使函数值为真值表上使函数值为1的变量取值组合对应的最的变量取值组合对应的最小项相小项相“或或”,即可构成一个函数的标准即可构成一个函数的标准“与与-或或”式式 。 逻辑函数的最小项表达式与真值表具有一一对应的关系。逻辑函数的最小项表达式与

39、真值表具有一一对应的关系。 假定函数假定函数F的真值表中有的真值表中有k组变量取值使组变量取值使F的值为的值为1，其他，其他变量取值下变量取值下F的值为的值为0，那么，函数，那么，函数F的最小项表达式由这的最小项表达式由这k组组变量取值对应的变量取值对应的k个最小项相或组成。个最小项相或组成。1 . 求标准求标准“与与-或或” 式式1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 A B C F 1 1 0 11 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 函数的真值表 CBBAC)B,F(A,解解:首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根据真值表可直接写出F的最小项表达式 m(

40、2,4,5,6)C)B,F(A,)6 , 5 , 4 , 2(),(mCBAF例例 将函数表达式变换成标准“与-或”表达式。 CBBAC)B,F(A,具体：具体：真值表上使函数值为真值表上使函数值为0的变量取值组合对应的最的变量取值组合对应的最大项相大项相“与与”即可构成一个函数的标准即可构成一个函数的标准“或或-与与”式式 。 2 . 求一个函数的标准求一个函数的标准“或或-与与” 式式 逻辑函数的最大项表达式与真值表之间同样具有一一逻辑函数的最大项表达式与真值表之间同样具有一一对应的关系。对应的关系。 假定在函数F的真值表中有p组变量取值使F的值为0，其他变量取值下F的值为1，那么，函数F

41、的最大项表达式由这p组变量取值对应的p个最大项“相与”组成。解：解：首先，列出F的真值表如下表所示。然后，根据真值表直接写出F的最大项表达式 )7 , 6 , 5 , 2 , 0(),(MCBAF) 7 , 6 , 5 , 2 , 0 (),(MCBAF函数的真值表 1010 0111 0100 1001 1110 1100 CBACAC)B,F(A,ABC F 0000 0011 例例 将函数表达式 表示成最大项表达式的形式。 CBACACBAF),(由于函数的真值表与函数的两种标准表达式之间存在一一对应的关系，而任何个逻辑函数的真值表是唯一的，可见，任何一个逻辑函数的两种标准形式也是唯一的

42、任何一个逻辑函数的两种标准形式也是唯一的。逻辑函数表达式的唯一性给我们分析和研究逻辑问题带来了很大的方便。 2.8 2.8 逻辑函数化简逻辑函数化简实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻辑表达式的复杂性直接相关。逻辑表达式的复杂性直接相关。为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻辑函数进行化简。逻辑函数进行化简。 由于“与-或”表达式和“或-与”表达式可以很方便地转换成任何其他所要求的形式。因此，从这两种基本形式出发讨论函数化简问题，并将重点放在“与-或”表达式的化简上。 逻辑

43、函数化简有逻辑函数化简有3种常用方法。种常用方法。即：代数化简法即：代数化简法、卡诺卡诺图化简法图化简法和列表化简法列表化简法。 卡诺图化简法卡诺图化简法 卡诺图化简法具有简单、直观、容易掌握等优点简单、直观、容易掌握等优点，在逻辑设计中得到广泛应用。 一、卡诺图的构成一、卡诺图的构成 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。故又称为最小项方格图。 结构特点：结构特点：(1) n n个变量的卡诺图由2n个小方格构成；(2) 几何图形上处在相邻、相对相邻、相对、相重相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。2变量

44、、3变量、4变量卡诺图如图(a)、(b)、(c)所示。m3 m1 m2 m0 AB0110( a ) 0m5m4m7m6m3 m1 m2 m0 100011110ABC( b ) m10m14m6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5 m1 m4 m0 00011110ABCD00011110( c ) 例如，四变量卡诺图中，如m5的4个相邻最小项分别是和m5相连的 m1，m4，m7, m13。 m2的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0 ( 同一列的两端)和m10( 同一行的两端)。这种相邻称为相对相邻相对相邻。 m10m14m6m2m1

45、1m15m7m3m9m8m13m12m5 m1 m4 m0 00011110ABCD00011110从各卡诺图可以看出，在在n个变量的卡诺图中，能从图形个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。个相邻最小项。1014621115739813125 1 4 0 26302218273123192524292821 17 2016 00011110000 001 011 010100 101 111 110ABCDE( d ) 5变量卡诺图 5变量卡诺图如图（d）所示。此外， 处在“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何

46、相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。这种相邻称为重叠相邻重叠相邻。 m15m7m13m5 00011110ABCD00011110ABCDDCABBCDADCBAABDBDAB D二、卡诺图的性质二、卡诺图的性质 用卡诺图化简逻辑函用卡诺图化简逻辑函数的基本原理：数的基本原理：把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。 通常把用来包围那些能由一个简单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。卡诺圈。 性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理:A ABBA三、逻辑函数在卡诺图上的表示三、逻辑函数在卡诺图上的表示 当逻辑函数为标准“与-或”表达式时，只需在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到该函数的卡诺图。 1给定逻辑函数为标准给定逻辑函数为标准“与与-或或”表达式表达式例如，3变量函数 的卡诺图如下图所示。 7 , 3 , 2 , 1,mCBAF000101 1 1 0 100011110ABC F(A,B,C)=m(1,2,3,7