中级宏观：最优增长RCK

1、最优增长理论Ramsey-Cass-Koopmans模型模型华东师范大学金融与统计学院新古典增长模型的缺陷新古典增长模型的缺陷 缺陷：缺陷： 1 1、水平效应因素、水平效应因素储蓄率储蓄率S S与人力资本与人力资本h h外生外生 2 2、增长效应因素、增长效应因素技术技术A A外生。外生。 批评：可解释一切，惟独不解释增长因素。批评：可解释一切，惟独不解释增长因素。 诱发现代增长模型的发展：最优增长问题诱发现代增长模型的发展：最优增长问题 1 1、储蓄率、储蓄率 2 2、技术、技术A A 3 3、人力资本、人力资本h hc cy ysy sy()ngk1/1()ssknggskky /1()s

2、syng()0()ksyngkckngk/1()(1)()gggckngkng()sssckngk1/1()gkng/1()gynggc sc gy gksy SolowSolow稳态稳态PhelpsPhelps黄金率黄金率Phelps1962Phelps1962增长黄金率：增长黄金率：消费最大化消费最大化PhelpsPhelps黄金增长黄金增长= =特殊的特殊的SolowSolow稳态稳态gkRamsey1928Ramsey1928模型：最优储蓄模型：最优储蓄 经济学经济学杂志杂志“储蓄的一储蓄的一个数学理论个数学理论”基于变分法讨基于变分法讨论最优增长（消费、储蓄与论最优增长（消费、储蓄与

3、投资）路径。投资）路径。 最优化问题：最优化问题： 变分法问题：变分法问题： EulerEuler方程方程00min( )( ). .:(, )(0)Bu Cv L dtstKQ K LCKKRamsey技巧：最优计划使积分函数趋于0，积分收敛打折非道德打折非道德00min( (, )( ). .:(0)Bu Q K LKv L dtstKK0,xxdFFxK Ldt( );( );( )( );0KKKLLLFu CQFu CFu CQv L F ( (, )( )FBu Q K LKv L边际消费效用边际消费效用 边际产出边际产出= =劳动的边际负效用劳动的边际负效用( )( )Lu CQ

4、v L消费动荡的厌恶程度消费动荡的厌恶程度 消费增消费增长率长率= =资本边际产出资本边际产出( )ln ( )( )Kdu C C Cu CQdtu CC Cass-KoopmaCass-Koopman ns s模型：模型：最优增长最优增长 1965 ：Cass“总量资本积总量资本积累模型中的最优储蓄累模型中的最优储蓄”； Koopmans“论最优经济增论最优经济增长概念长概念” 引入折现率与人口指数，引入折现率与人口指数，讨论封讨论封闭闭经济经济Ramsey问题问题 生产函数：生产函数： 企业最大化：企业最大化： 居民财富累积：居民财富累积：( )yf k1()000( )1tn tcUe

5、u c LdtLedt1( )1cu c( )( )u c cu c( )()kf knkcmax(, )()( );( )( )F K LrKwLrfkwf kkfk000( ( )( ( )( ( ) ( )() ()tttr vn dvr vn dvr vn dvdk t ekrn k edtwc e0lim ( )exp-( ( )0ttk tr vn dv:0Cassn 跨期总福利与瞬时人均消跨期总福利与瞬时人均消费效用函数：费效用函数：(01) 非蓬齐对策非蓬齐对策(Charles Ponzi- Game,连锁信连锁信1920s)条件条件00( ( )( ( )00( )()tst

6、r vn dvr vn dvk t ekwc eds()krn kwcCass-KoopmaCass-Koopman ns s模型：模型：最优增长最优增长 稳态（修正的黄金率）：稳态（修正的黄金率）： 相位图：鞍点相位图：鞍点 对对k0k0须须选定选定c0c0，使达唯一路，使达唯一路径（稳定支），才能到鞍点径（稳定支），才能到鞍点01( ( )()000()1tr vn dvn tcedtkwc edt ()00exp( ( )tn tcc er vn dv( )crfkc()( )()krn kwcf knkc*0*()()kcf knkkc0k ( )f k()nk( )fkn0c *k*

7、c( )fkngkgc稳定臂稳定臂*0()cfk LagrangeLagrange函数函数 一阶条件：一阶条件： 动态系统：动态系统：0k0c*()/ ()snk f k庞德里雅金：最大值原理庞德里雅金：最大值原理 俄俄L.S.Pontryagin 1962L.S.Pontryagin 1962论文论文“最优过程的数学定理最优过程的数学定理” HamiltonHamilton函数：函数： 协态变量协态变量 -状态变量的影子价值。解垂直终结线（状态变量终状态变量的影子价值。解垂直终结线（状态变量终结值自由）问题要求满足横截条件结值自由）问题要求满足横截条件 0 0非负常数。特别在垂直终结线问题中

8、严格正，故可标准化为非负常数。特别在垂直终结线问题中严格正，故可标准化为 0 0=1=1。有的最优化问题中其可能为。有的最优化问题中其可能为0 0，被积函数，被积函数F F无用。无用。 一阶条件：一阶条件： 协态变量运动方程协态变量运动方程 控制变量运动方程控制变量运动方程 状态变量运动方程状态变量运动方程0( , , )( ) ( , , )HF t y ut f t y u0( , , )( )( , , )0uuHF t y ut f t y uu0( , , )( )( , , )yyHF t y ut ft y uy( , , )Hyf t y u( )0T最优控制问题与最大值原理最

9、优控制问题与最大值原理 例：经济体一可耗尽资源初例：经济体一可耗尽资源初始有限储量始有限储量S(0)S(0)。抽取使储。抽取使储量量状态变量状态变量S(t)S(t)如下消减：如下消减： 控制变量控制变量抽取速度抽取速度E(t)E(t)两两特性：受制于人为抉择；控特性：受制于人为抉择；控制其可影响状态变量。制其可影响状态变量。 若最终储量不受限制，在时若最终储量不受限制，在时期期0,T0,T使用使用S S的效用最大化，的效用最大化，则动态最优问题是：则动态最优问题是：00max(). .( );(0),( )Ttu E edts t SE tSSS T 求解：利用求解：利用PontryaginP

10、ontryagin最大最大值原理值原理 构造构造HamiltonHamilton函数函数()0tHuE eEHS ()( )( )tHu E etE t( )HSE t 01teSSc()tuEce1(.)lntuEc e00( )tSSEd0011()TTTTeeSSccSS( )( )S tE t 最优控制问题的特殊性质最优控制问题的特殊性质 1/1/控制变量路径可间断，分控制变量路径可间断，分段连续即可；而状态变量路段连续即可；而状态变量路径必须连续，可转折，只要径必须连续，可转折，只要分段可微。分段可微。 2/2/可直接处理控制变量的约可直接处理控制变量的约束，比如取值范围为闭凸集。束

11、，比如取值范围为闭凸集。 3/3/自由终结状态（垂直终结自由终结状态（垂直终结线），这保证控制变量随心线），这保证控制变量随心所欲，而不必担心状态变量所欲，而不必担心状态变量的终结值。的终结值。控制变量u时间t时间t状态变量y0t1t2T垂直终结线最优控制问题与变分法问题的联系最优控制问题与变分法问题的联系 变分法问题与最优控制变分法问题与最优控制问题有区别与联系问题有区别与联系 最优控制问题：最优控制问题： 目标泛函、约束条件；目标泛函、约束条件； 控制变量、状态变量、协控制变量、状态变量、协态变量态变量 状态变量的初始值和终结状态变量的初始值和终结值值 求解用最大值原理求解用最大值原理 特

12、别，当约束条件为特别，当约束条件为 上述最优控制问题就是垂直上述最优控制问题就是垂直终结线的终结线的变分法问题变分法问题 变分法问题求解一阶条件变分法问题求解一阶条件 一般而言最优控制问题可转一般而言最优控制问题可转化为变分法问题求解：一阶化为变分法问题求解：一阶条件与边界条件相同条件与边界条件相同0max( , , );(0, ). .( , , ); (0), ( )TF t y u dt tTst yf t y uyA y T0max( , , ). . (0), ( )TF t y y dtst yA y T anyyu:0yyEulerequationdFFdt最大值原理的理论基础：

13、变分法观点最大值原理的理论基础：变分法观点 最优控制问题转为变分法问题 最优化依赖y,u的路径， 与无关（约束条件） 最优路径的邻近路径 因p(t),q(t),yT任意 Euler方程：0max( , , );(0, ). .( , , ); (0), ( )TF t y u dt tTst yf t y uyA y T0max( , , ) ( , , ). . (0), ( )TF t y uf t y uy dtst yA y T000000000 ( , , )( , , )( , , , )()( , , , )TTTTTTTTTVF t y uf t y u dtydtH t y

14、udtyyy dtH t y uydtyy*( );*( )uup tyyq t*TTTyyy *000( )( , *, *, )( *) ()TTTTVH t yq upyqdtyyy 0( )0TuyTTVH pH qq dty0;0;0uyTHH( , , ) ( , , )F t y uf t y uy 00;0;0 xxyudHHHdtCass-KoopmaCass-Koopman ns s模型：模型：最优增长最优增长 稳态稳态- -鞍点鞍点 （修正的黄金率）（修正的黄金率） 相位图相位图 对对k0k0须须选定选定c0c0，使到达唯一路，使到达唯一路径（稳定支），才能到鞍点。径（稳

15、定支），才能到鞍点。1()1 ( )() 1n tHcef kcnk1/( )c cfk*0()()kcf knkkc0k ( )f k()nk( )fkn0c *k*c( )fkngkgc稳定支稳定支*0()cfk HamiltonHamilton函数函数: : 一阶条件与横截条件：一阶条件与横截条件： 动态系统：动态系统：( )()kf knkc()/0n tH cce /( )()Hkfkn /( )()kHf kcnk 0k0clim0tkyCass-Koopmans模型动态：稳态附近的线性近似 鞍点：2121()( *) * ( *) ()( *) * 0 xn xf k cxf k

16、nxf k c211,2121()()4( *) *0,02xnnfkcxx12220111122021222*0(*)/*0 x tx tx tx tkkuvvkkAeA eA eekkv vuvvcc 11( *)()11 2det( *) *0( *) *0fknx xfkcfkc( ) ()kf knkc1 ( )cf kc11*( *) ()1*1*( *) *0*( *) *0*kkf knkknkkdc cfk cc cfk cc cdt1( *)()1/:( *) *0/fknkkkcJacobianMatrixfkcckcc Cass-Koopmans模型：特例 稳定臂*1(

17、)0()1nkc ( )f kk1*10()ck211,221121( *)()4( *) *21()()4(1)()()/()20,0 xfknfkcnnnxx12220111122021222*0(*)/*0 x tx tx tx tkkuvvkkAeA eA eekkv vuvvcc 1/()/c ck ()kknkc10A 12vvCass-Koopmans模型：分散经济引入政府1 政府支出g外生一次性税收弥补 生产函数： 企业最大化：( )yf k1()000( )1tn tcUeu c LdtLedt( )()kf knkcmax(, )()( );( )( )F K LrKwLr

18、fkwf kkfk000( ( )( ( )( ( ) ( )() ()tttr vn dvr vn dvr vn dvdk t ekrn k edtwcg e 0lim ( )exp-( ( )0ttk tr vn dv:0Cassn 跨期总福利与瞬时人均消费效用函数： 居民财富累积：(01) 非蓬齐对策(Charles Ponzi- Game,连锁信1920s)条件00( ( )( ( )00( )()tstr vn dvr vn dvk t ekwcg eds()krn kwcg0( ( )00()sr vn dvkcgw edsCass-Koopmans模型：分散经济引入政府1 稳态（

19、修正的黄金率）： 相位图：鞍点 政府支出外生由一次性税收弥补下，挤出消费，对资本挤出消费，对资本存量无影响。存量无影响。01( ( )()000()1tr vn dvn tcedtkwcg edt ()00exp( ( )tn tccer vn dv ( )crfkc( )()kf knkcg*()()cf knkgkc0k ( )f k()nk( )fkn0c *k*c( )fkngkgc稳定臂*0()cfk Lagrange函数 一阶条件： 动态系统：0k Cass-Koopmans模型：分散经济引入政府2 政府支出g外生，由一次性税收与债务 企业最大化：1()01n tcUedt( )(

20、)kf knkc(, )()( );( )( )F K LrKwLrfkwf kkfk000( ( )( ( )( ( )() ()tttr vn dvr vn dvr vn dvdaearn a edtwce :0Cassn 跨期总福利与瞬时人均消费效用函数： 居民财富累积： 政府约束：(01) 非蓬齐对策条件NPG00( ( )( ( )00( )()tstr vn dvr vn dva t eawceds()arn awc()brn bgakb00( ( )( ( )00( )()tstr vn dvr vn dvb t ebgeds0lim( )exp-( ( )0,ttX tr vn dvXa b0( ( )0000()str vn dvkabwcg eds 与政府1中的居民预