概率论课件二维随机变量及其分布

1、一、二维随机变量一、二维随机变量在实际应用中，在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或以有些随机现象需要同时用两个或以上的随机变量来描述上的随机变量来描述. 例如，例如， 研究某地区学龄前儿童研究某地区学龄前儿童前儿童的发育情况时，前儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高就要同时抽查儿童的身高X、体重体重,Y这里，这里，X和和Y是定义在同一样本空间是定义在同一样本空间 S某地区的全部学龄前儿童某地区的全部学龄前儿童上的两个随机变量上的两个随机变量. 在这种情况下，在这种情况下， 我们不但要研究我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之而且还要研

2、究它们之间的统计相依关系，间的统计相依关系， 因而需考察它们的联合取值的统因而需考察它们的联合取值的统计规律，计规律， 即多维随机变量的分布即多维随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 故我们故我们二维随机变量二维随机变量由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 故我们故我们二维随机变量二维随机变量由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 故我们故我们重点讨论二维随机变量重点讨论二维随机变量.定义定义设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为,S而而)()

3、,(eYYeXX 是定义在是定义在S上的两个随机变量，上的两个随机变量， 称称),(YX为定义在为定义在S上的上的二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量二维随机向量.注注： 一般地，一般地，称称n个随机变量的整体个随机变量的整体),(21nXXXX 为为n维随机变量维随机变量或或随机向量随机向量.完完二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二维随机变量二维随机变量),(YX的性质不仅与的性质不仅与X及及Y有关，有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,将将),(YX作为一个整体进行研究作为一个整体进行研究. 与一维情况类与一维情况类我们也借助

4、我们也借助“分布函数分布函数”来研究二维随机变量来研究二维随机变量.定义定义 设设),(YX是二维随机变量，是二维随机变量， 对任意实数对任意实数, yx二元函数二元函数故需故需似似,)()(),(yYxXPyxF 记为记为,yYxXP 称为二维随机变量称为二维随机变量),(YX的的分布函数分布函数或称为随或称为随二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数)()(),(yYxXPyxF 记为记为,yYxXP 称为二维随机变量称为二维随机变量),(YX的的分布函数分布函数或称为随或称为随二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数)()(),(yYxXPyxF 记为记为,yYxXP 称为二维随

5、机变量称为二维随机变量),(YX的的分布函数分布函数或称为随机或称为随机变量变量X和和Y的的联合分布函数联合分布函数.若将二维随机变量若将二维随机变量),(YX视为平面上随机点的坐视为平面上随机点的坐标，标， 则分布函数则分布函数,),(yYxXPyxF 就是随机点就是随机点),(YX落入区域落入区域,| ),(ysxtst 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数,),(yYxXPyxF 就是随机点就是随机点),(YX落入区域落入区域,| ),(ysxtst 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数,),(yYxXPyxF 就是随机点就是随机点),(YX落入区域落入区域,| ),(y

6、sxtst 由概率的加法法则，由概率的加法法则，随机点随机点),(YX落入矩形域落入矩形域,2121yyyxxx 的概率的概率 Oxy图图2.x1x2y1y2)(,x2y2,2121yyyxxxP ),(),(1222yxFyxF ).,(),(1121yxFyxF 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数,2121yyyxxxP ),(),(1222yxFyxF ).,(),(1121yxFyxF 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数,2121yyyxxxP ),(),(1222yxFyxF ).,(),(1121yxFyxF 若已知若已知),(YX的分布函数的分布函数),(yx

7、F则可由则可由),(yxF导出导出X和和Y各自的分布函数各自的分布函数)(xFX和和:)(yFY,)( YxXPxXPxFX),( xF,)(yYXPyYPyFY ),(yF 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数,2121yyyxxxP ),(),(1222yxFyxF ).,(),(1121yxFyxF 若已知若已知),(YX的分布函数的分布函数),(yxF则可由则可由),(yxF导出导出X和和Y各自的分布函数各自的分布函数)(xFX和和:)(yFY),( xF),(yF )(xFX)(yFY二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数,2121yyyxxxP ),(),(1222y

8、xFyxF ).,(),(1121yxFyxF 若已知若已知),(YX的分布函数的分布函数),(yxF则可由则可由),(yxF导出导出X和和Y各自的分布函数各自的分布函数)(xFX和和:)(yFY),( xF),(yF )(xFX)(yFY分别称分别称)(xFX和和)(yFY为为),(yxF关于关于X和和Y的的边缘分布函数边缘分布函数.联合分布函数的联合分布函数的性质性质完完联合分布函数的性质联合分布函数的性质随机变量随机变量),(YX的联合分布函数的联合分布函数.,),(yYxXPyxF 联合分布函数的性质联合分布函数的性质：, 1),(0 yxF且且, 0),( yF, 0),( xF;

9、1),(, 0),( FF(1)注注：以上四个等式可从几何上进行说明以上四个等式可从几何上进行说明.（2）),(yxF关于关于x和和y均为单调非减函数，均为单调非减函数， 即即对任意固定的对任意固定的, y对任意固定的对任意固定的,xOxy)(xy,联合分布函数的性质联合分布函数的性质注注：以上四个等式可从几何上进行说明以上四个等式可从几何上进行说明.（2）),(yxF关于关于x和和y均为单调非减函数，均为单调非减函数， 即即联合分布函数的性质联合分布函数的性质注注：以上四个等式可从几何上进行说明以上四个等式可从几何上进行说明.（2）),(yxF关于关于x和和y均为单调非减函数，均为单调非减函

10、数， 即即对任意固定的对任意固定的, y当当),(),(,1212yxFyxFxx对任意固定的对任意固定的,x当当);,(),(,1212yxFyxFyy （3）),(yxF关于关于x和和y均为右连续，均为右连续，).0,(),(), 0(),( yxFyxFyxFyxF即即完完例例1 设二维随机变量设二维随机变量),(YX的分布函数为的分布函数为( , )arctanarctan,23xyF x yA BC, x, x(1) 试确定常数试确定常数;,CBA(2) 求事件求事件30 ,2 YX的概率的概率. .解解 (1)由二维随机变量的分布函数的性质由二维随机变量的分布函数的性质, , 可得

11、可得, 1)2/)(2/(),( CBAF, 0)2/)(2/(),( CBAF, 0)2/)(2/(),( CBAF由这三个等式中的第一个等式知由这三个等式中的第一个等式知例例1 设二维随机变量设二维随机变量),(YX的分布函数为的分布函数为,3arctan2arctan),( yCxBAyxF, x, x(1) 试确定常数试确定常数;,CBA(2) 求事件求事件30 ,2 YX的概率的概率. .解解 (1)由这三个等式中的第一个等式知由这三个等式中的第一个等式知例例1 设二维随机变量设二维随机变量),(YX的分布函数为的分布函数为,3arctan2arctan),( yCxBAyxF, x

12、, x(1) 试确定常数试确定常数;,CBA(2) 求事件求事件30 ,2 YX的概率的概率. .解解由这三个等式中的第一个等式知由这三个等式中的第一个等式知, 0 A, 02/ B, 02/ C故由第二、三个等式知故由第二、三个等式知, 02/ B, 02/ C于是得于是得, 2/ CB2/1 A(1).3arctan22arctan21),(2 yxyxF (2)由由(1)式得式得30 ,2 YXP)0 , 2()3 , 2()0 ,()3 ,(FFFF .16/1 故故),(YX的分布函数为的分布函数为完完三、二维离散型随机变量及其概率分布三、二维离散型随机变量及其概率分布若二维随机变量

13、若二维随机变量),(YX只取有限个或可数个值，只取有限个或可数个值，称称),(YX为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量. ),(YX为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量均为离散型随机变量均为离散型随机变量. 定义定义 若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量),(YX所有可能的取所有可能的取值为值为, 2 , 1,),( jiyxii则称则称), 2 , 1,(, jipyYxXPijji则则YX,均为离均为离为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量),(YX的的概率分布概率分布(分布律分布律),或或X与与Y的的联合概率分布联合概率分布(分布律分布律).二维离散型随机变量及其概率分布二

14、维离散型随机变量及其概率分布或或X与与Y的的联合概率分布联合概率分布(分布律分布律).二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布或或X与与Y的的联合概率分布联合概率分布(分布律分布律).易见，易见，ijp满足下列性质：满足下列性质：;, 2 , 1, 1 , 0)1( jpij. 1)2( ijijp与一维情形类似，与一维情形类似， 有时也将联合概率分布用表格形有时也将联合概率分布用表格形式来表示，式来表示，并称之为并称之为联合概率分布表联合概率分布表由由X和和Y的联合概率分布，的联合概率分布， 可求出可求出YX,各自的概率各自的概率分布分布:).2 , 1(), 2 , 1

15、( jpipji jijiiipxXPp, 2 , 1, 2 , 1, jpyYPpiijjj二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布分布分布:).2 , 1(), 2 , 1( jpipji jijiiipxXPp, 2 , 1, 2 , 1, jpyYPpiijjj二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布分布分布:).2 , 1(), 2 , 1( jpipji jijiiipxXPp, 2 , 1, 2 , 1, jpyYPpiijjj分别称分别称), 2 , 1( ipi和和), 2 , 1( jpj为为),(YX关于关于X和和Y的的边缘概率分布

16、边缘概率分布. 注注： ip与与jp 分别等于联合概率分布表的行分别等于联合概率分布表的行和与列和和与列和.完完联合概率分布表联合概率分布表与一维情形类似，与一维情形类似，有时也将联合概率分布用表格形有时也将联合概率分布用表格形式来表示，式来表示， 并称为联合概率分布表：并称为联合概率分布表：联合概率分布表联合概率分布表 ixXP YX1y2yjy1x2xix11P21P1iP2iP22P12PjP1jP2ijP ixXP iPi1 iPi2 iPij jjP1 jjP2 jPij联合概率分布表联合概率分布表对离散型随机变量而言，对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合联合概率分布不仅比联

17、合分布函数更加直观，分布函数更加直观， 而且能够更加方便地确定而且能够更加方便地确定),(YX取值于任何区域取值于任何区域D上的概率上的概率. 设二维离散型随机变设二维离散型随机变), 2 , 1,(, jipyYxXPijji量的概率分布为量的概率分布为则则 DyxijjipDYXP),(.),(特别地，特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数由联合概率分布可以确定联合分布函数: yyxxijjipyYxXPyxF,.,),(联合概率分布表联合概率分布表特别地，特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数由联合概率分布可以确定联合分布函数: yyxxijjipyYxXPyxF,.,),(联合

18、概率分布表联合概率分布表特别地，特别地，由联合概率分布可以确定联合分布函数由联合概率分布可以确定联合分布函数: yyxxijjipyYxXPyxF,.,),(由由X和和Y的联合概率分布，的联合概率分布， 可求出可求出,X Y各自的概率各自的概率), 2 , 1(), 2 , 1( jpipji分布：分布：, 2 , 1, ipxXPpjijii, 2 , 1, jpyYPpiijjj分别称分别称), 2 , 1( ipi和和), 2 , 1( jpj为为),(YX关于关于联合概率分布表联合概率分布表由由X和和Y的联合概率分布，的联合概率分布， 可求出可求出,X Y各自的概率各自的概率), 2

19、, 1(), 2 , 1( jpipji分布：分布：, 2 , 1, ipxXPpjijii, 2 , 1, jpyYPpiijjj分别称分别称), 2 , 1( ipi和和), 2 , 1( jpj为为),(YX关于关于联合概率分布表联合概率分布表由由X和和Y的联合概率分布，的联合概率分布， 可求出可求出,X Y各自的概率各自的概率), 2 , 1(), 2 , 1( jpipji分布：分布：, 2 , 1, ipxXPpjijii, 2 , 1, jpyYPpiijjj分别称分别称), 2 , 1( ipi和和), 2 , 1( jpj为为),(YX关于关于X和和Y的的边缘概率分布边缘概率

20、分布.注注： ip和和jp 分别等于联合概率分布表的行和与列和分别等于联合概率分布表的行和与列和.完完例例2 设随机变量设随机变量X在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值一个值, , 另一个随机变量另一个随机变量Y在在X1中等可能地取中等可能地取一整数值一整数值, , 试求试求),(YX的分布律的分布律. .解解 由乘法公式容易求得由乘法公式容易求得),(YX的分布律的分布律. .易知易知,jYiX 的取值情况是的取值情况是: :大于大于i的正整数的正整数, , 且且|,iXPiXjYPjYiXP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 iij 于是于是),(YX

21、的分布律为的分布律为, 4 , 3 , 2 , 1 ij取不取不例例2 设随机变量设随机变量X在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值一个值, , 另一个随机变量另一个随机变量Y在在X1中等可能地取中等可能地取一整数值一整数值, , 试求试求),(YX的分布律的分布律. .解解|,iXPiXjYPjYiXP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 iij 于是于是),(YX的分布律为的分布律为例例2 设随机变量设随机变量X在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值一个值, , 另一个随机变量另一个随机变量Y在在X1中等可能地取中等可能地取一整数

22、值一整数值, , 试求试求),(YX的分布律的分布律. .解解|,iXPiXjYPjYiXP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 iij 于是于是),(YX的分布律为的分布律为XY123412341/4 1/8 1/121/161/8 1/121/121/161/161/16000000. .完完例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次, , 设设X为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正面出现的次数, ,Y而而为正面出现次数与反面为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值出现次数之差的绝对值, , 求求),(YX的概率分布及的概率分布及关于关于YX,的边缘分布的边缘分布.

23、.解解),(YX可取值可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3), 8/1)2/1(3, 03 YXP, 8/3)2/1(31, 13 YXP, 8/31, 2 YXP, 8/13, 3 YXP故故),(YX的概率分布如右表的概率分布如右表. .YX1300 1/813/8023/80301/8例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次, , 设设X为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正面出现的次数, ,Y而而为正面出现次数与反面为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值出现次数之差的绝对值, , 求求),(YX的概率分布及的概率分布及关于关于YX,的边缘分布的边缘分布.

24、 .解解例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次, , 设设X为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正面出现的次数, ,Y而而为正面出现次数与反面为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值出现次数之差的绝对值, , 求求),(YX的概率分布及的概率分布及关于关于YX,的边缘分布的边缘分布. .解解从概率分布表不难求得从概率分布表不难求得),(YX关于关于YX,的边的边缘分布缘分布. ., 8/10 XP, 8/31 XP, 8/32 XP, 8/13 XP, 8/68/38/31 YP, 8/28/18/13 YP从而得右表从而得右表YX13ixXP 0123iyYP 03/83/8

25、06/81/8001/82/81/83/83/81/81完完例例4 设二维随机变量的联合概率分布为设二维随机变量的联合概率分布为XY-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求0, 1 YXP及及).0 , 0(F解解0, 1 YXP1, 10, 1 YXPYXP1, 10, 1 YXPYXP. 4 . 002 . 01 . 01 . 0 例例4 设二维随机变量的联合概率分布为设二维随机变量的联合概率分布为XY-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求0, 1 YXP及及).0 , 0(F解解0, 1 YXP. 4 . 002 . 01 .

26、 01 . 0 例例4 设二维随机变量的联合概率分布为设二维随机变量的联合概率分布为XY-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求0, 1 YXP及及).0 , 0(F解解0, 1 YXP. 4 . 002 . 01 . 01 . 0 0, 12, 1)0 , 0( YXPYXPF. 4 . 01 . 03 . 0 完完例例5 设设),(YX的概率分布由下表给出的概率分布由下表给出, ,求求XY-1020120.10.30.150.20.05000.10.1,0, 0 YXP,0, 0 YXP,0 XYP,YXP |,|YXP 解解0, 0 YXP0, 20, 1

27、YXPYXP,05. 0005. 0 0, 01, 0 YXPYXP0, 0YXP, 3 . 02 . 01 . 0 )00(0 YXPXYP0, 00 YXPXP.35. 005. 002 . 01 . 0 2, 20, 0 YXPYXPYXP, 3 . 01 . 02 . 0 1, 10, 0| YXPYXPYXP1, 1 YXP. 6 . 01 . 03 . 02 . 0 完完例例6 一整数一整数N等可能地在等可能地在10, 3 , 2 , 1十个值中取十个值中取一个值一个值. . 设设)(NDD 是能整除是能整除N的正整数的个数的正整数的个数,)(NFF 是能整除是能整除N的素数的个数

28、的素数的个数(注意注意1不是素不是素试写出试写出DF和和的联合分布律的联合分布律, , 并求分布律并求分布律.解解 将试验的样本空间及将试验的样本空间及,D F取值的情况列表如下取值的情况列表如下:2111211110434242322110987654321FD数数),D所有可能取值为所有可能取值为1,2,3,4;F所有可能取值为所有可能取值为0,1,2. .容易得到容易得到),(FD),(ji取取, 4 , 3 , 2 , 1 i2 , 1 , 0 j的概的概率率, ,可得可得DF和和的联合分布律及边缘分布律如下表的联合分布律及边缘分布律如下表:例例6 一整数一整数N等可能地在等可能地在1

29、0, 3 , 2 , 1十个值中取十个值中取一个值一个值. . 设设)(NDD 是能整除是能整除N的正整数的个数的正整数的个数,)(NFF 是能整除是能整除N的素数的个数的素数的个数(注意注意1不是素不是素试写出试写出DF和和的联合分布律的联合分布律, , 并求分布律并求分布律.解解数数),可得可得DF和和的联合分布律及边缘分布律如下表的联合分布律及边缘分布律如下表:四、二维连续型随机变量及其概率密度四、二维连续型随机变量及其概率密度定义定义 设设),(YX为二维随机变量，为二维随机变量，),(yxF为其分布函为其分布函数，数， 若存在一个非负可积的二元函数若存在一个非负可积的二元函数),(y

30、xf任意实数任意实数),(yx有有 xydsdttsfyxF,),(),(则称则称),(YX为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，并称并称),(yxf为为),(YX的的概率密度概率密度(密度函数密度函数)，密度密度(联合密度函数联合密度函数).使得对使得对或或X与与Y的的联合概率联合概率概率密度函数概率密度函数),(yxf的性质：的性质：; 0),( yxf(1)连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度概率密度函数概率密度函数),(yxf的性质：的性质：; 0),( yxf(1)连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度概率密度函数概率密度函数),(yxf的性质：的性

31、质：; 0),( yxf(1) ; 1),(),(Fdxdyyxf(3) 设设D是是xOy平面上的区域，平面上的区域， 点点),(YX落入落入 内内D的概率为的概率为 DdxdyyxfDyxP),(),(特别地，特别地， 边缘分布函数边缘分布函数(2),)( YxXPxXPxFX连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度特别地，特别地， 边缘分布函数边缘分布函数,)( YxXPxXPxFX连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度特别地，特别地， 边缘分布函数边缘分布函数,)( YxXPxXPxFX,),(),(dsdttsfdsdttsfxx 上式表明，上式表明，X是连续

32、型随机变量，是连续型随机变量， 且其密度函数为且其密度函数为: ,),()(dyyxfxfX同理，同理，Y是连续型随机变量，是连续型随机变量， 且其密度函数为：且其密度函数为： ,),()(dxyxfyfY分别称分别称)(xfX和和)(yfY为为),(YX关于关于X和和 的的边缘密边缘密Y连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度分别称分别称)(xfX和和)(yfY为为),(YX关于关于X和和 的的边缘密边缘密Y连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度分别称分别称)(xfX和和)(yfY为为),(YX关于关于X和和 的的边缘密边缘密Y度函数度函数.(4) 若若),(yxf

33、在点在点),(yx连续，连续，则有则有).,(),(2yxfyxyxF 进一步，进一步，根据偏导数的定义，根据偏导数的定义， 可推得：可推得：当当yx ,很很有有,),(,yxyxfyyYyxxXxP 小时，小时，即，即，),(YX落在小区间落在小区间,(,(yyyxxx 上的上的概率概率.),(yxyxf 近似等于近似等于完完例例7 设二维随机变量设二维随机变量),(YX具有概率密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其它其它yxeyxfyx(1) 求分布函数求分布函数);,(yxF(2) 求概率求概率.XYP 解解 (1) xydxdyyxfyxF),(),( , 00, 0,20

34、)2(0其它其它yxdxdyexyxy即有即有., 00, 0),1)(1(),(2 其它其它yxeeyxFyx例例7 设二维随机变量设二维随机变量),(YX具有概率密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其它其它yxeyxfyx(1) 求分布函数求分布函数);,(yxF(2) 求概率求概率.XYP 解解 (2)将将),(YX看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标, , 即有即有,),(GYXXY 其中其中为为GxOy平面上直线平面上直线xy 及其下方的部分及其下方的部分, , 如图如图. .于是于是xyOGGyxPXYP ),(例例7 设二维随机变量设二维随机变量),(YX

35、具有概率密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其它其它yxeyxfyx(1) 求分布函数求分布函数);,(yxF(2) 求概率求概率.XYP 解解于是于是xyOGGyxPXYP ),(2) Gdxdyyxf),( yyxdxedy)2(2 yyxdxdye)2(02例例7 设二维随机变量设二维随机变量),(YX具有概率密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其它其它yxeyxfyx(1) 求分布函数求分布函数);,(yxF(2) 求概率求概率.XYP 解解于是于是xyOGGyxPXYP ),(2) yyxdxedy)2(2例例7 设二维随机变量设二维随机变量),(YX具有概率

36、密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其它其它yxeyxfyx(1) 求分布函数求分布函数);,(yxF(2) 求概率求概率.XYP 解解于是于是xyOGGyxPXYP ),(2) yyxdxedy)2(2 dyeeyxy2.313 dyey完完例例8 设设),(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘密度. .解解 (1) 由由1),( dxdyyxf确定确定. cdxdyxcyx 010)2( 1022/ )2(dxxxc124/5 c. 5/24 cxy yxO1例例8 设设)

37、,(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘密度. .解解 (2)例例8 设设),(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘密度. .解解 (2),2(512)2(524)(20 xxdyxyxfxX 10 x,2223524)2(524)(21 yyydxxyyfyY10 y例例8 设设),(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c

38、的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘密度. .解解 (2) 即即例例8 设设),(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c的值的值; ;(2) 两个边缘密度两个边缘密度. .解解 (2) 即即 其它其它, 010),2(512)(2xxxxfX., 010,2223524)(2 其它其它yyyyyfY完完例例9 设随机变量设随机变量X和和Y具有联合概率密度具有联合概率密度, 0, 6),(2 其它其它xyxyxf求边缘概率密度求边缘概率密度).(),(yfxfYX解解 dyyxfxfX),()(, 010),(6622 其它其它

39、xxxdyxxOxyyx yx 211 dxyxfyfY),()(例例9 设随机变量设随机变量X和和Y具有联合概率密度具有联合概率密度, 0, 6),(2 其它其它xyxyxf求边缘概率密度求边缘概率密度).(),(yfxfYX解解Oxyyx yx 211 dxyxfyfY),()(例例9 设随机变量设随机变量X和和Y具有联合概率密度具有联合概率密度, 0, 6),(2 其它其它xyxyxf求边缘概率密度求边缘概率密度).(),(yfxfYX解解Oxyyx yx 211 dxyxfyfY),()(., 010),(66 其它其它yyydxyy完完二维均匀分布二维均匀分布设设G是平面上的有界区域

40、，是平面上的有界区域， 其面积为其面积为.A若二维随机若二维随机变量变量),(YX具有概率密度函数具有概率密度函数 , 0,1),(AyxfGyx ),(其它其它则称则称),(YX在在G上服从上服从均匀分布均匀分布.注注：若若),(YX在在G上服从均匀分布上服从均匀分布,则其概率密度函则其概率密度函几何上为定义在几何上为定义在xOy面内区域面内区域G上的空间的一块平上的空间的一块平面面.应用举例应用举例：OxyzzG),(yxf1A 二维均匀分布二维均匀分布应用举例应用举例：OxyzzG),(yxf1A 二维均匀分布二维均匀分布应用举例应用举例：B的概率与小区域的的概率与小区域的则质点的坐标则

41、质点的坐标),(YX在在 上服从上服从G均匀均匀而与而与B的位置无关，的位置无关，向平面上有界区域向平面上有界区域G内任一小区域内任一小区域落在落在G上任投一质点，上任投一质点， 若质点若质点面积成正比面积成正比,分布分布.完完OxyzzG),(yxf1A 矩形域上的均匀分布矩形域上的均匀分布容易得到服从矩形区域容易得到服从矩形区域dycbxa ,上的均匀上的均匀分布分布),(YX的两个边缘分布的两个边缘分布且分别为且分别为 , 0,1)(abxfXbxa 其它其它 , 0,1)(cdyfYdyc 其它其它仍为均匀分布，仍为均匀分布，但对其它形状的区域但对其它形状的区域,G不一定有上述结论不一

42、定有上述结论.完完例例10 设设),(YX服从单位圆域服从单位圆域122 yx上的均匀上的均匀分布分布, , 求求X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度. .解解, 01,/1),(22 其它其它时时当当yxyxf 当当1 x或或1 x时时, , 0),( yxf从而从而. 0)( xfX当当11 x时时, , dyyxfxfX),()(.12121122xdyxx 于是我们得到于是我们得到X的边缘概率密度的边缘概率密度11 xy O例例10 设设),(YX服从单位圆域服从单位圆域122 yx上的均匀上的均匀分布分布, , 求求X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度. .解解于是我们得到于是我们得

43、到X的边缘概率密度的边缘概率密度11 xy O例例10 设设),(YX服从单位圆域服从单位圆域122 yx上的均匀上的均匀分布分布, , 求求X和和Y的边缘概率密度的边缘概率密度. .解解 于是我们得到于是我们得到X的边缘概率密度的边缘概率密度11 xy O 其它其它, 011,12)(2xxxfX 由由X和和Y在问题中地位的对称性在问题中地位的对称性, , 将上式中的将上式中的x改改., 011,12)(2 其它其它yyyfY 就得到就得到Y的边缘概率密度的边缘概率密度, y成成完完二维正态分布二维正态分布221121 222221121122)1(21 yyxxe若二维随机变量若二维随机变

44、量),(YX具有概率具有概率 密度密度),(yxf其中其中 ,2121均为常数均为常数 ，, 1 则称则称),(YX服从参数为服从参数为 ,2121, 0, 021 且且的的二维正态分布二维正态分布. 记为记为).,(),(2121 NYX注注： (1)如右图如右图.服从二维正态分布的概率密度函数的典型服从二维正态分布的概率密度函数的典型二维正态分布二维正态分布注注： (1)如右图如右图.服从二维正态分布的概率密度函数的典型服从二维正态分布的概率密度函数的典型二维正态分布二维正态分布注注： (1)如右图如右图.服从二维正态分布的概率密度函数的典型服从二维正态分布的概率密度函数的典型(2),2)

45、(1212121)( xxXexf .,2)(2222221)( yyYexf 二维正态分布的两个边缘二维正态分布的两个边缘即即密度仍是正态分布，密度仍是正态分布，完完Oxyz推导推导 二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布事实上，事实上， 因为因为 ,),()(dyyxfxfX而且而且21212222)(2)( yxy,)(2121221122 xxy于是于是221121 .21122)21(2121212)(dyexyex )(xfX令令,1111222 xyt则有则有令令,1111222 xyt则有则有令令,1111222 xyt则有则有dteexf

46、txX 22)(12212121)( ,2121212)(1 xex 同理同理.,21)(22222)(2 yeyfyY 注注：上述结果表明，上述结果表明， 二维正态随机变量的两个边原缘二维正态随机变量的两个边原缘分布都是一维正态分布，分布都是一维正态分布， 且都不依赖于参数且都不依赖于参数, 亦即亦即注注：上述结果表明，上述结果表明， 二维正态随机变量的两个边原缘二维正态随机变量的两个边原缘分布都是一维正态分布，分布都是一维正态分布， 且都不依赖于参数且都不依赖于参数, 亦即亦即注注：上述结果表明，上述结果表明， 二维正态随机变量的两个边原缘二维正态随机变量的两个边原缘分布都是一维正态分布，

47、分布都是一维正态分布， 且都不依赖于参数且都不依赖于参数, 亦即亦即对给定的对给定的,2121 不同的不同的 对应不同的二维正对应不同的二维正态分布，态分布， 但它们的边缘分布都是相同的但它们的边缘分布都是相同的,X和关于和关于Y的边缘分布的边缘分布, 一般来说是不能确定二维随一般来说是不能确定二维随因此仅由关于因此仅由关于机变量机变量),(YX的联合分布的的联合分布的.完完例例11 设二维随机变量设二维随机变量),(YX的概率密度的概率密度),sinsin1(21),()(2122yxeyxfyx 试求关于试求关于YX,的边缘概率密度函数的边缘概率密度函数. .解解 利用利用 函数及奇偶函数的积分性质得函数及奇偶函数的积分性质得,21),()(2/2xXedyyxfxf ,21),()(2/2yYedxyxfyf 注注: : 此例说明此例说明, , 边缘分布均为正态分布的二维随机边缘分布均为正态分布的二维随机变量变量, , 其联合分布不一定是二维正态分布其联合分布不一定是二维正态分布.