大学物理 振动

1、1振动与波动振动与波动 Oscillations and Waves 波动波动振动的传播振动的传播振动振动物理量物理量随时间的周期性变化随时间的周期性变化位移、电流强度、电场强度位移、电流强度、电场强度2第一章第一章 振动振动Oscillations本章内容：本章内容： 简谐振动运动学简谐振动运动学 简谐振动动力学简谐振动动力学 简谐振动的合成简谐振动的合成要点与难点要点与难点：旋转矢量图旋转矢量图3引子引子：建立简谐振动方程：建立简谐振动方程弹簧振子的振动弹簧振子的振动xAFa vmaxF0maxa0 xFa v0maxv04Fkxma 222d0dxxt2km令令2ax 0dsin()dx

2、Att v2202dcos()dxaAtt xxFmo0cos()Atx5tx图图tv图图ta图图AA2A2AxvatttAAooo0cos()xAt2T0cos2At0sin()At v20cosAt20cos()aAt 61.1 简谐振动运动学简谐振动运动学 Kinematics of Simple Harmonic Motion振动的描述振动的描述定义定义xAt0cos() 简谐振动表达式简谐振动表达式 或振动方程或振动方程oA-AtxTx 位移（或其它物理量）位移（或其它物理量）t 时间时间e.g.7参量参量 角频率角频率 angular frequencyTf22SI单位：单位：ra

3、d/s or s-1Notes: 仅依赖于系统本身的性质，与仅依赖于系统本身的性质，与 初始条件无关初始条件无关e.g.弹簧振子：弹簧振子：km2 单单 摆：摆：gl2 8并联：并联：kkk12串联：串联：kkk12111长：长：ln0knk0关于弹簧的弹性劲度系数关于弹簧的弹性劲度系数 A振幅振幅 amplitudeSI单位：单位：mNotes:请同学自行推导请同学自行推导9可否用一种可否用一种更直观更直观的的图像图像的处理的处理方法来处理振动问题？方法来处理振动问题？xAt0cos() 旋转矢量旋转矢量A的端点在轴上的投影点的运动的端点在轴上的投影点的运动为为简谐运动简谐运动10旋转矢量图

4、旋转矢量图 phasor diagram旋转矢量旋转矢量A初始角初始角初相初相 0 0 t+ 0 xOXt = tt = 0 x = A cos( t + 0) AA长度振幅长度振幅 A角速度角速度角频率角频率 x011在在 t 时刻时刻 Aij0d /dsin()AtAti 旋矢在旋矢在 X 轴上的投影：轴上的投影：0 cos()xAxAt 振动的位移振动的位移0d /d d /dsin()xAtxtAt 振动的速度振动的速度0cos()At0sin()At12旋转矢量图旋转矢量图与与振动曲线振动曲线 (x-t) 如何对应呢？如何对应呢？13 (= )xAt00cos0 xxtoo : 0

5、: 0 14xOA-AtOxxA-AtOOx应用旋转矢量图求解初相位应用旋转矢量图求解初相位这两个振动哪个初相位超前？这两个振动哪个初相位超前？15例例1-1某简谐振动的振动曲线如图，则振动某简谐振动的振动曲线如图，则振动方程为方程为 _ 。解：解：设振动方程为设振动方程为0cos()xAt则由振动曲线：则由振动曲线： A=2 cmx (cm)t(s)1-2O-1t=0：cos 0= 1/2 0= 2 /316t(s)x(cm)1 2O 1t=0 时旋矢图：时旋矢图：t0，负向位移应增大，负向位移应增大02/3 X2 /3 2 /3 12另另种种画画法法17t又，又，t=1s时时, =2 于是

6、于是xt2cos(4/32/3) cm )(3/413/221s18例例1-2 质点的振动规律用余弦函数描述，其质点的振动规律用余弦函数描述，其速度时间曲线如图，则其初相应为速度时间曲线如图，则其初相应为 _ .v(m/s)t(s)vmvm/2O解：解：0cos()xAt设设0d /dsin()xtAt v则则0sin()mt v19t=0时时, 有有0/2sinmm vv0sin1/2 旋矢图：旋矢图：t0，正向速度应增大，正向速度应增大05 /6 0/65 /6 或XO思考思考 完全用旋矢法完全用旋矢法 ?xxFmo20 xAt0cos() tx0A-AtxA-A0-0.5Ax0A-At-

7、0.5A0-AtxA0.5A0.5A练习：练习：方程方程曲线；曲线曲线；曲线方程（研究例题及作业）方程（研究例题及作业）211.2 简谐振动动力学简谐振动动力学 Dynamics of Simple Harmonic Motion作用力、能量、动力学方程作用力、能量、动力学方程作用力作用力(沿振动方向的合力沿振动方向的合力)0cos()xAt由由220cos()aAtx xmmaF2特点特点：F方向：与位移方向相反方向：与位移方向相反 大小：与位移大小成正比大小：与位移大小成正比22证：证：对任意闭合路径对任意闭合路径L: x1x2x1F是保守力。是保守力。212ddxLxF xmx x有有0

8、122dxxmx xXx1x2O特点特点：23能量能量0dpxEF x22201cos ()2mAt2221AmEEkp守恒守恒设设x=0处处, Ep=0, 则有则有212kEmv又又2221xm02dxmx x22201sin ()2mAt24简谐运动的动能、势能、势能曲线、能量简谐运动的动能、势能、势能曲线、能量守恒之间的关系守恒之间的关系kEpExEBACApExOp2Ekx122EkA1225Notes: 若系统中有多个保守力作用，则若系统中有多个保守力作用，则Ep是这些力的势能之和是这些力的势能之和e.g.竖直弹簧振子：竖直弹簧振子：OxX原长位置原长位置平衡位置平衡位置(Ep=0)

9、()(重弹pppEEE221kx26平均动能与平均势能：平均动能与平均势能：2241AmEEpkNotes:27例例1-3 弹簧振子总能量为弹簧振子总能量为E1，若其振幅增为，若其振幅增为原来的两倍，重物质量增为原来的四原来的两倍，重物质量增为原来的四倍，则振子总能量变为倍，则振子总能量变为 _。解：解：2221AmE221kA14EE 思考思考 T ? vmax ? amax ?28例例1-4系统作谐振动，周期为系统作谐振动，周期为T，以余弦函，以余弦函数表达振动时，初相为零，则在数表达振动时，初相为零，则在 0 t T/2范范围内，系统在围内，系统在t= _时刻动能和势能时刻动能和势能相等

10、。相等。解：解：按题意按题意tAxcos2212pmxE22Ax2241Am2cos2t294/34/或 t因此因此4/1t思考思考 其它解法其它解法？24T8T4/32t243T83T3 /4 /4X旋矢图：旋矢图：30动力学方程动力学方程222d0dxxt简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程简谐振动：简谐振动：0cos()xAt222ddxxt 31Notes:方程的通解：方程的通解：tCtCxsincos210cos()At其中其中2221CCA021tan/CC 初始条件决定初始条件决定A、 0零阶导数项系数决定零阶导数项系数决定 32平衡条件：平衡条件：0sin0kxmg)(si

11、n0 xxkmgF例例1-5 弹簧振子置于光滑斜面上（如图），弹簧振子置于光滑斜面上（如图），求其动力学方程。求其动力学方程。解：解：xk任意位置任意位置x处受力：处受力：x0OxX km3322d0dxkxtm)(2mk22ddxFmt牛顿第二定律牛顿第二定律：特殊情形：特殊情形： = 0 水平水平 = 90 竖直竖直动力学方程不变动力学方程不变角频率不变角频率不变34例例1-6 竖直悬挂的弹簧振子，平衡时弹簧的竖直悬挂的弹簧振子，平衡时弹簧的伸长量为伸长量为x0，则此振子自由振动的周，则此振子自由振动的周期期T = _。 解：解：2T平衡条件：平衡条件：00kxmggxkm0gxT02思考

12、思考 若置于倾角为若置于倾角为 的斜面上，平衡时伸的斜面上，平衡时伸长量为长量为x0，则，则T=? ?km235旋转矢量图旋转矢量图 phasor diagram 0 t+ 0Oxxt = tt = 0 x = A cos( t + 0) AA旋转矢量旋转矢量A的端点在轴的端点在轴上的投影点上的投影点的运动为简的运动为简谐运动谐运动旋转矢量旋转矢量A初始角初始角初相初相 0长度振幅长度振幅 A角速度角速度角频率角频率 361.3 简谐振动的合成简谐振动的合成 Addition of Simple Harmonic Motions同一直线上同频率振动的合成同一直线上同频率振动的合成两个振动的合成

13、两个振动的合成1110cos()xAt2220cos()xAt120cos()xxxAt旋矢图：旋矢图：t=0 时刻时刻 AOXA1A2 03722121220102cos()AAAA A1102200110220sinsintancoscosAAAANotes: 若若 20 10=2k (k=0, 1, 2, )则则A=A1 +A2 max.若若 20 10=(2k+1) (k=0, 1, 2, )则则A= A1A2 min.3812AA例例1-9 两个简谐振动的振动曲线如图，则它两个简谐振动的振动曲线如图，则它们合成的余弦振动的初相为们合成的余弦振动的初相为。 OA A/2tX42x1x2

14、解：解：旋矢图：旋矢图：1Ao2AX合振动初相：合振动初相： 0= /239例例1-10两振动合成两振动合成,合振动振幅为合振动振幅为20cm, 它与它与振动振动1的相位差为的相位差为 - 1= /6 , 振动振动1振振幅为幅为 cm, 则振动则振动2振幅为振幅为 cm, 振动振动1与与2的相位差为的相位差为 1- 2= 。310解：解：旋矢图：旋矢图：2221112cos()10 ()AAAAAcm A A1A2OX 1 402/02cos2122221AAAAA012()/ 2 A A1A2OX 1 41Chap.1 SUMMARY简谐振动表达式简谐振动表达式(振动方程振动方程)振动参量振

15、动参量0cos()xAtTf22依赖于系统本身的性质依赖于系统本身的性质22220022Axxvv000()arctgxv依赖于振动的依赖于振动的初始条件初始条件42旋转矢量图旋转矢量图 = t+ 0 对应于对应于t时刻振动的状态时刻振动的状态xAxdd xAt v 0 Ad /dA tOX43振动中的作用力振动中的作用力xmF2保守力保守力振动系统的能量振动系统的能量2221AmEEkp守恒守恒动力学方程动力学方程2241AmEEpk222d0dxxt44A 0同一直线上两个同频率简谐振动的合成同一直线上两个同频率简谐振动的合成22121220102cos()AAAA A 20 10=2k

16、Amax=A1 +A2 20 10=(2k+1) Amin= A1 A2 A1A2OX 20 1045若频率相近若频率相近拍拍拍频：拍频：fb= f2-f1 轨迹为椭圆或直线轨迹为椭圆或直线 *同一直线上不同频率简谐振动的合成同一直线上不同频率简谐振动的合成非简谐振动非简谐振动*相互垂直的同频率简谐振动的合成相互垂直的同频率简谐振动的合成*相互垂直的不同频率简谐振动的合成相互垂直的不同频率简谐振动的合成若频率为若频率为整数比整数比李萨如图形李萨如图形46EXERCISES1. 质点沿质点沿X轴以轴以 x = 0 为平衡位置作谐振动，为平衡位置作谐振动，频率为频率为0.25Hz，t =0 时，时

17、，x = 0.37cm，v =0，则振幅为则振幅为，振动的数值表达式为，振动的数值表达式为。解：解：旋矢图：旋矢图：又又f2A33.7 10m ,0XOA 10.5(s ) 故故33.7 10cos(0.5) ()xtSI47思考思考 若题中若题中x=0.37cm， v =0 ，结果，结果？若题中若题中x=0，v =1.57cm/s，结果，结果？48解：解：两个谐振动的振动曲线如图所示，则两个谐振动的振动曲线如图所示，则 x1的的相位比相位比 x2的相位超前的相位超前。由图，由图，x1比比x2在时间上超前在时间上超前3T/8 .Ox2x1tX43832因此，相位超前因此，相位超前:思考思考 若

18、若x2曲线右移两小格，结果曲线右移两小格，结果？49解：解： 单摆的悬线长单摆的悬线长l2=1.5 m，在，在顶端固定点的下方顶端固定点的下方0.45m处有一处有一小钉，如图示。设两方摆动均小钉，如图示。设两方摆动均较小，则单摆的左右两方振幅较小，则单摆的左右两方振幅之比之比A1/A2为为。l1l2两侧摆动中系统机械能不变，有两侧摆动中系统机械能不变，有222221212121AmAm于是于是1221AA21ll84. 05 . 145. 05 . 150思考思考 由平衡位置处的速度引出另一解法由平衡位置处的速度引出另一解法?51 如图，在一铅直悬挂的弹簧下系一质量为如图，在一铅直悬挂的弹簧下系一质量为 m的物体，再用此弹簧改系一质量为的物体，再用此弹簧改系一质量为4m的物的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧, 并并联后悬挂质量为联后悬挂质量为m的物体，则这三个系