偏微分方程和数值解法2-2

1、220,0,( ,0)( )0,()()0,0 xuuaxlttxu xg xxlu 0,t = u l,t =t 第一边界条件的 初边值问题 11100(12),0,0nnnnjjjjjjnnJa uaua uuuguu 离散格式为离散格式为0,1,2,.,1njJ121(,.,)nnnnJUuuu 令令，矩矩阵阵形形式式为为1nnAUU 1nnAUU 120.012.0012.0.00.12aaAaaaaaaaA严格对角占优严格对角占优,方程组有解方程组有解.2 2 相容性、收敛性、稳定性相容性、收敛性、稳定性是是相相应应的的差差分分算算子子其其中中是是微微分分算算子子其其中中差差分分方方

2、程程记记为为微微分分方方程程和和对对于于齐齐次次问问题题，可可以以将将hnjhLuLLLu, 00 11(1.1)(1.7)nnnnjjjjnhjuuLLuatxuuuuL uah 方方程程微微分分算算子子 为为格格式式相相应应差差分分算算子子1.1. 截断误差截断误差(,)(,)(,)(,)(,)(,)hjnjnjnhjnjnjnuLLuxtT xtT xtL u xtLu xtxt 设设 是是所所讨讨论论的的微微分分方方程程的的充充分分光光滑滑的的解解，将将算算子子和和分分别别作作用用于于 ，记记两两者者在在任任意意的的结结点点处处的的差差为为，即即即即为为差差分分格格式式在在的的截截断断

3、误误差差。11(1.7)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)()jnhjnjnjnjnjnjnjnjnT xtL u xtLu xtu xtu xtu xtu xtahu xtu xtatx 讨讨论论格格式式的的截截断断误误差差即即22222211(,)(,)()()22jnjnuux tax thOO htt截断误差主项截断误差主项222211(,)(, )( ,)22jnjnuuT x txathtt ( )( )OO h 注注: : 求截断误差就是把解析解代入差分格式，利用求截断误差就是把解析解代入差分格式，利用 Taylor展开式分析误差展开式分析误差。().qpTO

4、htqxppqp我们也用“精度”一词说明截断误差。一般，如果一个差分格式的截断误差，就说差分格式对时间 是 阶精度的，对空间 是 阶精度的。特别，当时，说差分格式 是阶精度的00(,)0|(,)| |(,)(,)|0jnjnhjnjnhuT xtT xtL u xtLu xt 相相容容性性：如如果果当当和和，解解 充充分分光光滑滑，差差分分格格式式的的截截断断误误差差，即即有有。则则称称差差分分方方程程与与原原微微分分方方程程是是相相容容的的。2. 差分方程的相容性差分方程的相容性前面对流方程初值问题的三种差分格式的相容性？前面对流方程初值问题的三种差分格式的相容性？右偏格式：右偏格式： 相容

5、的，相容的，1阶格式阶格式左偏格式：相容的，左偏格式：相容的，1阶格式阶格式中心格式：相容的，对时间中心格式：相容的，对时间t是是1阶，对空间阶，对空间x是是2阶阶hL注注意意：算算子子与与课课本本定定义义不不同同3.3.收敛性收敛性 一个差分格式能否在实际中使用，最一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：面加以考虑：一是引入收敛性的概念，一是引入收敛性的概念，考考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的

6、解；近微分方程的解；二是引入稳定性的概念二是引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算中的近似解能，考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。否任意逼近差分方程的解。0,0( , )(,)njnjjnuuhj nuu xt 设设 是是微微分分方方程程的的准准确确解解，是是相相应应差差分分方方程程的的准准确确解解。如如果果当当步步长长时时，对对任任何何有有则则称称差差分分格格式式是是收收敛敛的的。例、分析右偏差分格式的收敛性例、分析右偏差分格式的收敛性1111()nnnnjjjjuuauu 上的值，时，用到初始值在点计算),.,(),(1njjjnjxxxtxu,()()jnjnu

7、 x txat 根根据据特特征征线线法法，依依赖赖于于初初始始值值在在点点的的值值右偏格式是不收敛的。(,)0nnjjnjeu x tu即即例、分析左偏差分格式的收敛性例、分析左偏差分格式的收敛性111-1()nnnnjjjjuuauu 1111(,)(,)( (,)(,) (,)jnjnjnjnjnu xtu xtau xtu xtT x t njnjnjutxue),(令：前两式相减得：前两式相减得：111-1()(,)nnnnjjjjjneeaeeT x t差分方程差分方程截断误差截断误差11-1(1)(,)nnnjjjjneaea eT x t整理：整理：11-1(1)(,)nnnjj

8、jjneaea eT x t,0,0,sup|0nnnjjjheEe 要要证证当当时时只只要要证证即即可可。1,a 实实际际上上，只只要要有有)(1hMEEnn0 .()nEEn Mh)0,(0hEn左偏格式是收敛的。(1)a 只只要要()MTh 11-1(1)(,)nnnjjjjneaeaeT x t11(1)()nnaEa EMh因此因此注：直接利用收敛性的定义判断收敛性注：直接利用收敛性的定义判断收敛性 是相当麻烦的，后面我们会给一些是相当麻烦的，后面我们会给一些 间接的判别准则。间接的判别准则。4.4.稳定性稳定性稳稳定定的的。这这种种差差分分格格式式就就认认为为是是本本上上能能计计算

9、算出出来来，那那么么基基控控制制的的，差差分分格格式式的的解解如如果果误误差差的的影影响响是是可可以以地地，式式称称为为不不稳稳定定的的。相相反反掩掩盖盖，那那么么此此种种差差分分格格被被式式的的精精确确解解的的面面貌貌完完全全越越来来越越大大，以以至至差差分分格格响响的的情情况况。如如果果误误差差的的影影就就要要分分析析这这种种误误差差传传播播的的值值，从从而而影影响响时时的的舍舍入入误误差差，必必然然会会计计算算因因此此层层上上计计算算出出来来的的结结果果时时，要要用用到到第第的的层层上上进进行行的的，计计算算差差分分格格式式的的计计算算是是逐逐层层111 njnjnjnjuu.unun的

10、。那么称差分格式是稳定时，有，使得当存在常数层上的误差，如果是第，令，设初始层上引入了误差000 , 1, 0, 1, 0KTnKnjjnnjj.su)(|:)(2njjnjnjhnph也可以取，它可以是范数是某种尺度其中的稳定性。的差分格式考虑逼近对流方程例00111huuuuxutunjnjnjnj0)()()()(011110000000huuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjjjjjjjj应满足那么中没有引进别的误差，。设想在这一计算过程为的为初值进行计算，得到，用而不是为，即初值有误差层上每个网格点上的设在第解：110nnnnjjjjh 得得这这就就是是

11、误误差差所所满满足足的的方方程程. .njjnjjnjjnjnjnjsupsupsup11(*)1111）（）（那么有如果1111/nnnnjjjjnnjjh 改改写写其其形形式式（）（）其其中中为为网网格格比比，从从而而可可以以知知道道，由由此此得得011supsupsupsupsupjjnjjnjjnjjnjj 下的稳定性。上面是论述了在极大模，那么如果令下是稳定的。格式在条件分长的，我们就认为，差这就是说，误差是不增0sup(*)nnjjn左偏格式是稳定的。) 1() 1(稳定条件，对于线性微分方程从以上例子也可以看出0),(txLu其差分方程为：其差分方程为：0njhuL则舍入误差满足

12、：则舍入误差满足：0nhjL 所以所以在线性在线性条件下，稳定性条件条件下，稳定性条件|0Kn等价于等价于|0uKun的稳定性。的差分格式考虑逼近对流方程例)2 . 4(00211huuuuxutunjnjnjnj右偏格式是不稳定的。同样分析误差满足的差分方程：同样分析误差满足的差分方程：njnjnjeee11)1 (0, 0,000jeej假设：nnnee)1 ()1 ( 000则：总结左偏格式、右偏格式的相容性、收敛性、稳定性总结左偏格式、右偏格式的相容性、收敛性、稳定性 格式性质左偏格式右偏格式相容性是是收敛性是否稳定性是否(1)a (1)a 思考：收敛性和稳定性是否有联系？思考：收敛性和稳定性是否有联系？Lax等等价价定定理理：给给定定一一个个适适定定的的线线性性初初值值问问题题以以及及与与其其相相容容的的差差分分格格式式，则则差差分分格格式式的的稳稳定定性性是是差差分分格格式式收收敛敛性性的的充充分分必必要要条条件件。注：有了注：有了Lax等价定理，收敛性的证明可以通过等价定理，收敛性的证明可以通过 稳定性的证明获得。稳定性的证明获得。注注: : 1 1、问题为初值问题或周期性边界条件的边值问题、问题为初值问题或周期性边界条件的边值问题2 2、初值问题是适定的。、初值问题是适定的。3 3、初值问题是线性的。、初值问题是线性的。Lax等价定理（重要）.