二维傅里叶变换

1、1要保证函数存在二维傅里叶变换对，函数就应该满足要保证函数存在二维傅里叶变换对，函数就应该满足狄里赫利条狄里赫利条件件和和绝对可积条件绝对可积条件，这个条件是从纯数学的角度来考虑的，是数，这个条件是从纯数学的角度来考虑的，是数学理论研究的范畴，信息光学来说，应该从应用的观点来考虑：学理论研究的范畴，信息光学来说，应该从应用的观点来考虑：在应用傅里叶变换的各个领域的大量事实表明，作为时间或空间在应用傅里叶变换的各个领域的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备保证其傅里叶变换存在的基本函数而实际存在的物理量，总具备保证其傅里叶变换存在的基本条件。从应用的角度看，可以认为，傅里叶

2、变换实际上总是存在条件。从应用的角度看，可以认为，傅里叶变换实际上总是存在的。的。在应用问题中，也会遇到一些理想化的函数，如常数函数、阶跃在应用问题中，也会遇到一些理想化的函数，如常数函数、阶跃函数等光学领域中常用的函数，但是他们不满足保证其傅里叶变函数等光学领域中常用的函数，但是他们不满足保证其傅里叶变换存在的充分条件；同时他们在物理上也不能够严格实现，对这换存在的充分条件；同时他们在物理上也不能够严格实现，对这类数学难以讨论其经典意义下的傅里叶变换。但是可以借助函数类数学难以讨论其经典意义下的傅里叶变换。但是可以借助函数序列极限概念得到这类函数的广义傅里叶变换。序列极限概念得到这类函数的广

3、义傅里叶变换。物理上所用到的函数总存在物理上所用到的函数总存在FTFT2如果一个二维函数可以分离，那么他的傅立叶变换可以表示成两个一维傅立叶变换的乘积：如果那么( , )( ) ( )g x yj x h y ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )F g x yF j x h yF j xF h x3空域频域( , )( , )cossinx yrxryr( , )( , )cossinu vuv 具有圆对称的函具有圆对称的函数在极坐标下描数在极坐标下描述起来更加方便述起来更加方便r4( , )( , )exp2 ()d dF u vf x yjuxvyx y cos ,sinxryrco

4、s ,sinuv20 0(cos ,sin )( cos , sin )exp2 (coscossinsidnd)rFf rrjrrr 20 0(cos ,sin )( cos , sin )exp2cos() d dFf rrjrr r 20 0( , )( , )exp2cos()d dFrf rjrr ( , )(cos ,sin )FF ( , )( cos , sin )f rf rr5( , )( , )exp 2 ()d df x yF u vjuxvyu v cos ,sinxryrcos ,sinuv20 0( cos , sin )(cos ,sin )exp 2 (cos

5、cossinsind)df rrFjrr 20 0( cos , sin )(cos ,sin )exp 2cos() d df rrFjr 20 0( , )( , )exp 2cos()d df rFjr ( , )(cos ,sin )FF ( , )( cos , sin )f rf rr620 020 0( , )( , )exp2cos()d d( , )( , )exp 2cos()d dGrf rjrrf rGjr 极坐标系下的Fourier transformation本节给出一些重要的FT性质，间或加以推导利用这些性质，只要知道不多的几个函数的FT，就很容易求出其他函数的F

6、T，起到化难为简的作用这些性质和定理在线性系统分析，信号处理，图像处理等领域经常使用。781.线性性质 设 有a.和的FT等于FT的和叠加性b.幅值按同样的比例缩放均匀性c.同时具有叠加性和均匀性线性性质性( , ) ( , ),( , ) ( , )F u vF f x yG u vF g x ya a, ,b b为常数为常数( , )( , )( , )( , )F af x ybg x yaF u vbG u v92对称性 若 则证明：( , ) ( , )F u vf x y F ( , )(,)F x yfuvF ( , )( , )exp2 ()d d( , )exp 2 ()()

7、 )d d(,)F x yF x yjuxvyx yF x yju xv yx yfuv F10对称性的一些其他情形若f(x,y) 为偶函数，则F(u,v) 也是偶函数， 即: 若f(-x,-y) = f(x,y), 则F(-u,-v) = F(u,v)。若f(x,y) 为奇函数，则F(u,v) 也是奇函数， 即：若f(-x,-y) = -f(x,y), 则F(-u,-v) = -F(u,v)。(,)(,)( , )(,)(,)(,)(,)( , )fxyFuvF u vfxyfxyFuvFuvf x y 113迭次FT 以连续两次FT为例，二元函数f(x,y)的连续两次FT变换，得到原函数的

8、倒立像，即： ( , )(,)F F f x yfxy( , )exp2 ()d d exp2 ()d d( , )exp2 ( ()()d d ( , ) (,)(,)( , )f x yjuxvyx yjuxvyu vf x y dxdyju xxv yyu vf x yxx yy dxdyfxyf x y 124、FT的坐标缩放性质 若a,b为不等于零的实常数，若F(u,v)=Ff(x,y),则有：证明：略光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。 如：孔径夫琅和费衍射。1 (,)(, )|u vF f ax byFaba b135、FT的平移性 若Ff

9、(x,y)=F(u,v),且x0,y0为常数，则有证明：空域中的平移造成频域中频谱的相移。光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不变性。0000 (,)exp2 () ( , )f xxyyjuxvyF u vF14FT的体积对应关系假设，Ff(x,y)=F(u,v)，则有(0,0)( , )(0,0)( , )Ff x y dxdyfF u v dudv1.卷积定理(Convolution Theorem)2.相关定理(Correlation Theorem)15161.卷积定理 (convolution theorem)设Ff(x,y)=F(u,v), Fg(x,y)=G(u,v)，则

10、有 即两个函数卷积的FT等于它们的FT之积。 两个函数乘积的FT等于它们的FT的卷积。 若f(x,y)和g(x,y)表示两幅图像, 卷积定理即表示: 两图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积。 ( , )* ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )*( , )F f x yg x yF u v G u vF f x y g x yF u vG u v17 ( )* ( )( ) ()exp(2)d( )()exp(2)d( ) ( )exp(2)( )( )exp(2)( ) ( )F f xg xfg xdjuxxfg xjuxx dfG ujudG ufjudG u F u ( , ) ( , )( , )*( , )F f x y g x yF u vG u v同样可证：同样可证：18对于一个复杂函数，其FT难求，若它可表示成几个简单函数的卷积，而这些简单