2020届江西省上饶市六校高三下学期第一次联考数学(文)试题(解析版)

1、2020届江西省上饶市六校高三下学期第一次联考数学(文)试题一、单选题1 .已知集合 A 1,2, 1 ,集合 B yy x2,x A 则 AI B ()A.1B,1,2,4C.1,1,2,4d. 1,4【答案】A【解析】算出集合B,再与集合A求交集即可.【详解】由已知，B 1,4，故 AI B 1 .故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，是一道基础题.a i 一. 2,若复数(a R)为纯虚数，则 3 ai ()1 iA.疝B. 13C. 10D. VTc【答案】D【解析】 将复数标准化为 U=a 1 (a 1K ,根据题意得到a,再利用模长公式计算 1 i 2即可.【详解】上a i (

2、ai)(1i)a 1 (a1)i,_.1由已知，TT= (1i)(1i)2，故a1，所以 3ali3i而.故选：D.【点睛】本题考查复数除法、复数模的运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.23.函数f xA.B.1 cos x图象的大致形状是(【答案】B【解析】利用奇偶性可排除A、C;再由f(1)的正负可排除D.2 1 cosx1 exxe cosx, f x ex7 cos(x)xexe1一 cosx11 ef(x),故f(x)为奇函数，排除选项 A、C;又f (1) cos11 eB.故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称

3、性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题4 .给出以下命题已知命题 p： x R, x2 x 1 0,则： p: xo R, x2 xo 1 0；已知a, b, c R, a b是ac2 bc2的充要条件；1 命题 若sin 一，则 一的否命题为真命题”.2 6在这3个命题中，其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题可判断；用定义法去论证 ；由否命题与逆命题同真假可判断.【详解】命题p: x R, x2 x 1 0,则 p: Xo R, x(2 Xo 1 0 ,故正确；当c = 0时，由a b不能推出ac2 bc2,反过来，ac2 bc

4、2能推出a b ,所以，a b是ac2 bc2的必要不1 充分条件，故 错误； 若sin -,则一的否命题与其逆命题同真假，而若2 61sin 一, 2则 一的逆命题为若一，则sin -,显然成立，故正确.662故选：C.本题考查命题真假的判断，涉及到全称命题的否定、充分条件、必要条件、否命题等知 识，是一道基础题0.25.设函数 f xlogzx,若 a f log3 2 ,b f log5 2 ,c f 2 ，则 a, b, c的大小关系为()A. abc B. bca C. cab D. b a c【答案】D【解析】log 5 2 10g3 2 1 20.2 ,利用f (x)的单调性即可

5、得到答案.【详解】1, 一 1因为 2020 1，logz5 10g23 1, log52 ；log3 2 ,log 2 5log2 3故 10g52log 3 21,又 fx 10g2x在(0,)单调递增，所以，f10g5 2f 10g3 2 f 20.2.故选：D.【点睛】本题考查利用函数单调性比较式子大小,涉及到换底公式的应用，是道容易题6.已知非零向量b满足a2一，则实3第13页共20页数k的值为（A. 4B.C.D.r2 b,再利用数量积的定义计算即可0,1a11ble0sx 3r 2-r ,|b|2 0,又 |a|rk|b|,-1r 2r 2所以 1k|bj |b|2 0,解得 k

6、 2.故选：c.【点睛】本题考查平面向量数量积运算，考查学生基本的计算能力，是一道基础题7.甲、乙两班在我校举行的不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是 81,乙班成绩的平均数是 86,若正实数a, b满足：x,a,b,y成等比数列，则2a b的最小值为()A. 6B. 8c. 242D. 4&【解析】由中位数、平均数可得x, y的值，再由x,a,b, y成等比数列得到 ab xy 4,最后利用基本不等式可得 2a b的最小值.【详解】甲班成绩的中位数是 81,故x 1 ,乙班成绩的平均数是 86,则76 80 82 (80 y) 91

7、93 96786,解得y 4 ,又x,a,b, y成等比数列J,故ab xy 4,所以，2a b 272ab 45/2,当且仅当a 72,b 2四 时，等号 成立.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到茎叶图、中位数、平均数等知识，是一道容易题.22_ x y_ 22 一8.若双曲线C:彳 1 (a 0, b 0)的一条渐近线被圆 x 2 y2 4所 a2 b2截得的弦长为2,则C的离心率为A. 2B.石C.我【答案】A【解析】22由几何关系可得，双曲线上 a2 b21 a 0,b0的渐近线方程为bx ay0,圆心2,0到渐近线距离为d.22 12V3，则点2,0到直线b

8、x ay0的距离为d2b a 0.a2 b22b -一B c,22、即 4(c 2a)c3 ,整理可得c2c24a2,双曲线的离心率eV4 2.故点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的c取值范围）,常见有两种万法： 求出a, c,代入公式e ；只需要根据一个条a件得到关于a, b, c的齐次式，结合b2=c2a2转化为a, c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e(e的取值范围）.9.在VABC中，角A、B、C的对边分别是a, b, c,且面积为S ,若bcosCccosB122acosA, S

9、 - b45B. 122 一，c ,则角7C.12由 b cosCccosB 2acosA可得到角 A,由S1 .-absin C 及2得到角C,再利用ABC 计算即可得到答案.由正弦定理及 bcosC ccosB 2acosA ,得 sinBcosC sinCcosB 2sin AcosA,sin(B C)2sin AcosA,又 sin(B C) sin A ,所以cosAA (0,),2 ,11c,所以一absinC一24b2从而sinCb22a2bacosC ,所以 tanC 1, C =一, 4故选：B.本题考查正余弦定理解三角形，涉及到三角形面积公式的选取，公式变形等处理，考查学生

10、的运算求解能力，是一道中档题.10 .已知三棱锥 A BCD中，CD 平面ABC , RtVABC中两直角边 AB 5,AC 3,若三棱锥的体积为 10,则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. 50B. 25C. 252【答案】AD.25【解析】将其置入长方体中， 由三棱锥的体积为10,得到CD的长，从而进一步得到长方体体对角线（外接球直径）的长 .【详解】将三棱锥置入长方体中，如图所示由已知,AB 5, AC 3，所以 Va BCDVD ABC11八-5 3 CD3 210,解得CD4,所以BD .BC2 CD2收 3 45&,所以三棱锥的外接球的半径为5.22故外接球表面积为4 R2

11、 50 .故选：A.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，在涉及比较特殊的三棱锥外接球问题时，通常考虑能否将其置入正方体或长方体中来求解，本题是一道中档题11 .已知函数 f x 2sin x0,过点 A ,0 , B ,2 ，当21235x , 一12 12cos4x的最大值为9, 3则m的值为（AtA. 2B.C.52和二2D.2【解析】g(x)由已知,由图可得4msin 2x2t24mt2sin2x1 2sin22x令 sin 2xt 0,1,转化为1的最大值问题.12所以T2,又f(3)2, |所以sin(2鼠故x 2sin2x所以g2mfcos4x 一 34msin2x一 2 一1

12、 2sin 2x12512所以2x60,232x0,1,令sin2x0,1，故 y2t24mt0,易得ymax 1 ,不符合题意;1 ,勿信ymax解得m(舍)5若m 1 ,易得ymax 4m 1 9 ,解得m -.2故选：B.【点睛】本题考查已知正弦型函数的最大值求参数的问题,涉及到由图象确定解析式、 二次函数最值等知识，是一道有一定难度的题12.已知函数 f(x) (2 x 1)ex mxm(m1),若有且仅有两个整数使得f(x)则实数m的取值范围是(32e58B- T-, 2e 3eC.15,22 3eD.1,52e【解析】设g(x)g(x)的图象在函数(2x 1)ex , h(x) m

13、 mx ,问题等价于有且仅有两个整数使得函数h(x)图象的下方，作出两函数的图象，由图象观察可得到关于实数 m的不等式组，解出即可.【详解】解：令 f (x), 0,即(2x Dex, m mx,设 g(x) (2x 1)ex, h(x) m mx ,要使有且仅有两个整数使得f(x), 0,即有且仅有两个整数使得函数g(x)的图象在函数h(x)图象的下方，而 g(x) 2ex (2x 1)ex (2x 1)ex ,11,、八 ，、则当 x (,万)时，g (x) 0, g(x)单倜递减，当 x (-,)时，g(x) 0 , g(x)1单调递增，且 g( 1) 2e x 时，g(x) 0, x

14、时，g(x) , 2函数h(x)的图象为恒过点(1,0)的直线，作两函数图象如下，由图可知，实数 m应满足g(0)，h(0)g( 1)，h( 1)g(1) h(1)1, m3,2me ,解得,me m2e3e2g( 2) h( 2)5 2 e3m本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想及数形结合思想，考查计算能力，属于 中档题.二、填空题13.函数f xexcosx在点0, f 0 处的切线方程为 .【答案】x y 1 0【解析】 求出导函数，得f '(0),即切线斜率，然后可得切线方程.【详解】由题意 f (x) excosx exsin X, f'(0) 1 ,又 f (

15、0) 1,所求切线方程为y 1 x,即x y 1 0 .故答案为x y 1 0.【点睛】本题考查导数的几何意义，函数 f(x)在点(x0, f (x0)处的切线方程是 y f (xo)f (Xo)(x Xo).x y 2 014.设变量x, y满足约束条件x y 4 0 ,则上的最大值是x 14x y 4 0【答案】2【解析】画出可行域，表示点(x,y)与A( 1, 1)连线的斜率问题，数形结合即可 x 1得到答案.作出可行域如图所示上表示点(x,y)与A( 1, 1)连线的斜率问题，又 B(1,3),所以kAB3 ( 1) 2,x 11(1)一y 1.八故kAB2 .x 1 max故答案为：

16、2.【点睛】 本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，通常采用式子所表示的几何意义计 算，本题是一道基础题15.已知等比数列an的公比不为1,且an前n项和为Sn ,若满足32, 2a5, 3a8成等差数列，则S3S6S 1【解析】由4a5 a2 3a8可得公比q,将其代入 3中即可.S31 q【详解】31。由已知，4a5 a2 3a8 ,所以4q q 3q ,解得q 一或q 1 (舍), 3ai(1q3)所以S31 q6Sai(1q )3故答案为：3.4【点睛】本题考查等比数列的前 n项和公式的应用，考查学生的运算求解能力，是一道基础题16.如图，在矩形 OABC与扇形OCD拼接而成的平

17、面图形中，OA 3, AB 5,COD ,点E在弧CD上，F在AB上, 6面区域OECBF (阴影部分)的面积取到最大值时EOF 设 FOC x ,则当平 35 25【解析】先将阴影部分的面积表示为 15 6199(25x), h(x)25x , 2 tanxtanx只需求使得h(x)取最小值的xo即可得到答案由已知，xr ，3 0,3 , tan 0 5 ,易得扇形EOC的面积为2 (3 x)52 也 25x62 'cosx1 -3四边形OCBF的面积为3 5-3 ,故阴影部分的面积为2 tanx2519915 -(25x),设 h(x)25x,则62 tanxtanx(4sin x

18、 3cosx)(4sin x 3cosx)2sin x人,33，令h (x) 0,得tanx -,记其解为45并且h(x)在0,x0上单调递减，在x0-单调递增，所以h(x)得最小值为h(&),3阴影部 25分的面积最大值为15 63h(xo),此时 tanx0 一,4 T 3 2 n 1 2n 1第15页共20页14cosx cosx01一1 tan2 x05一， 4故答案为：4.5【点睛】本题考查三角函数在平面几何中的应用，涉及到利用导数求函数的最值， 考查学生的运 算求解能力，是一道有一定难度的题 三、解答题17.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S535 ,a2a1a4a2,

19、aia2成等比数列.(1)求数列 an的通项公式；.1 一,(2)若4 n N ,求数列 bn的前n项和Tn .an an 1【答案】(1) an 2n 1(2) Tn -6n 9【解析】(1)利用等差数列基本量计算即可；(2) bn112 2n 112n 3,利用裂项相消法求前n项和.(1)设等差数列an的公差为d ,5 4-5al d 35由题意,2,解得：a1 3, d 2.2_4d d 2al d(2)bnanan 112n 12n 3112 而 1 2n 3111112 3 5 5 7112n 1 2n 31 112 3 2n 3n6n 9本题考查等求差数列通项公式以及裂项相消法求数

20、列的前n项和,考查学生的运算能力，是一道基础题18.如图所示，在四棱锥 S ABCD中,BAD CDA CBD 2 ABD 90 ,平面第25页共20页SBD 平面ABCD,且VSBD为边长为 J2的等边三角形，过 S作ST/BD ,使得四边形STDB为菱形，连接 TA, TD , TC .(1)求证：DS 平面TBC;(2)求多面体 ABCDTS的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1) DS 平面TBC,只需证明CB DS , DS BT即可;(2)利用割补法求解，即 Vabcdts VaSTDB Vc BSTD .【详解】(1)证明： CBD 90 , CB BD ,又平面S

21、BDI平面ABCD BD ,平面SBD 平面ABCD ,故CB 平面SBD;又SD 平面SBD,故CB DS ;又四边形STDB为菱形；DS BT , CB BT B, DS 平面 TBC .(2)由已知，bd J2，所以 ad AB 1, BC 42，SBSTD2SA BDS由(1)知CB 平面SBDT,由平面SBD投影落在交线BD上，在直角三角形DAB中,平面ABCD可知点A在平面SBDT的ADB 45o,所以点A到平面SBDT的距离为_2,2VABCDTSVA STDBVC BSTD本题考查线面垂直的证明以及不规则几何体积的求法，在求不规则几何的体积时，通常是采用割补法，是一道容易题19

22、.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：空气污染质量0,5050,100100,150150,200200,300300,空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市政府为了打造美丽城市， 节能减排，从2010年开始考查了连续六年 11月份的空气 污染指数，绘制了频率分布直方图， 经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气 质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).*频率汽也OOfii f_|0.3 Q

23、30 50 100 150 200250 300 3501G0 4S0 500空气污染指数(1)某人计划11月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率；(2)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的11月份共90天的空气质量进行统计，其结果如表:仝气质里优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数1639181052根据限行前六年180天与限行后90天的数据，计算并填写2 2列联表，并回答是否有K22n ad bcc d a c b其中d90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关空气质量优良空气质量污染合计限行前限行后合计参考数据:P K2k00.150.100.05

24、0.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879【答案】(1) 0.05 (2)计算及填表见解析；有 90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关【解析】(1)利用每个小矩形的面积和为 1即可求得答案;(2)利用公式K22n ad bccd a c b d计算即可.【详解】(1)由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为10.003 0.004 0.005 0.00650 0.1 ,所以某人因空气污染被限号出行的概率为0.05.(2)限行前六年180天中，空气质量优良的天数为180 (0.006 0.004) 50 90.列联表如

25、下:空气质量优、良空气质量污染合计限行前9090180限行后553590合979 2.706 .由表中数据可得K2 二35 . 55180 90 145 125所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，考查学生识图及数据处理的能力，是一道容易题220.己知抛物线C:y 2Pxp 0的焦点为f , P为抛物线上一点，当 P的横坐标为1时，PF(1)求抛物线C的方程;(2)已知过定点M m,0的直线l : x kym与抛物线C相交于A, B两点 若12AM12恒为定值，求m的值. BM【答案】(1) y2

26、2x (2) m 1【解析】(1)利用抛物线的定义可得 1 -2所以有P 1;(2)设A(x1,y), B(x2,y2),联立直线与抛物线方程得到根与系数的关系，又1122AM BM2y1y22 yly2一1P一2r2r，代入化简即可k 1 y2(1)抛物线C的准线方程为xE，焦点F E,022 3当P的横坐标为1时，PF 2p 3,1 2 2 ,解得 P 1，抛物线C的方程为y2 2x(2)设 A(Xi,y) B(期,%),由直线l的方程为Xky m与抛物线C:y2 2x联立,消去x得：y22ky则 yi V22myiy2 2k,24k2 8m 0，Xikyim,X2ky2m,AM值,BM2

27、V22.2 21 y1 y2当m 1时，此时122x2 m y212-2k 1 y11 k2 12y22W V2k2 12y1y22y1 y4k2 4mk221 4m,2 一k m02 ,对任息kk 1 mR恒为定12AM12BM且满足本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,涉及到抛物线中的定值问题，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力,是一道中档题.12x21 .已知函数fln x x g x -ax ax h x mxe 12，(1)讨论F xx f x的单调性:(2)若不等式h【答案】(1)见解析(2) m 1【解析】(1)ax 1 x 1

28、x 0 ,分 a 0 , a0两种情况讨论;(2)不等式x对任意x (0)恒成立，转化为 mln x x 1xxe对任意x (0)恒成立，令ln x x 1x 只需求出G(x)的最大值即可. xe(1) F1 2一 ax2f x对任意x (0,)恒成立，求 m的取值范围.ax aax 1 x 1 xx当a 0时，F x0 ,所以F x在(0,)上单调递减;_1 一当a0时，由Fx 0,得0x,由FxaL ，1，、，1所以F x在0,-上单倜递减，在(一，)上单调递增aa(2)不等式h x f x对任意x (0)恒成立，即mxex 1ln x x恒成立,因为x0,所以mIn x x 1x xeIn x x 1xxex 1 In x.1.令 px lnxx,px -1 0,x ，1 0,11.故p x在(0,)上单调递减，且p -1 - 0 , P 1ee故存在 x0-