误差理论与数据处理动力工程测控技术

1、热工测量及自动控制热工程研究所 章立新2. 2. 误差理论与数据处理误差理论与数据处理2.1 直接测量的误差分析z2.1.1 2.1.1 测定值的分布规律测定值的分布规律z测定值分析的基本概念测定值分析的基本概念 我们将所研究对象的单个测量值称为我们将所研究对象的单个测量值称为个体个体，全，全部测量值称为部测量值称为母体母体，母体中的一部分称为，母体中的一部分称为子样子样，子，子样中所包含的个体数目称为样中所包含的个体数目称为子样容量子样容量。 在随机因素的作用下用等精度测量法对同一对在随机因素的作用下用等精度测量法对同一对象进行多次测量，测定值用象进行多次测量，测定值用表示。当测量次数无表示

2、。当测量次数无限增加时，限增加时，小于任何一个实数小于任何一个实数X X出现的次数有确定出现的次数有确定的概率，这样的的概率，这样的测定值测定值称为称为随机变量随机变量。测量误差。测量误差所表现出来的数据也是所表现出来的数据也是随机变量。随机变量。 2.1 直接测量的误差分析z例：透平机械同一稳定工况下对其转速进行多次测量，例：透平机械同一稳定工况下对其转速进行多次测量，得到的结果如下得到的结果如下: 4752.84752.8 4754.5 4754.5 4753.74753.7 4753.94753.94753.14753.1 4757.54757.5 4752.7 4752.8 4752.

3、14752.7 4752.8 4752.1 4749.2 4749.2 4750.64750.64751.0 4753.9 4751.2 4750.3 4753.3 4752.1 4751.24751.0 4753.9 4751.2 4750.3 4753.3 4752.1 4751.24752.34752.3 4748.4 4748.4 4752.54752.5 4754.7 4754.7 4750.04750.0 4751.0 4752.34751.0 4752.34751.8 4750.6 4752.5 4752.4 4751.64751.8 4750.6 4752.5 4752.4 4

4、751.6 4747.94747.9 4748.3 4748.34753.4 4753.5 4752.74753.4 4753.5 4752.7 4749.1 4749.1 4753.2 4751.9 4753.44753.2 4751.9 4753.44755.6 4755.6 4750.24750.2 4756.7 4756.7 4752.1 4752.0 4751.1 4752.64752.1 4752.0 4751.1 4752.64753.64753.6 4749.1 4755.6 4749.1 4755.6 4754.04754.0 2.1 直接测量的误差分析z问题问题z 在这些数

5、据中究竟哪一个数据是最可信赖的？也就是说被在这些数据中究竟哪一个数据是最可信赖的？也就是说被测量的物理量的真值最大可能是什么？测量的物理量的真值最大可能是什么？z 能不能以能不能以99%99%的把握断定真值在哪一个数据区间中的把握断定真值在哪一个数据区间中? ?z特点特点z 随机性：在等精度的测量条件下，测定值互不相等，呈现随机性：在等精度的测量条件下，测定值互不相等，呈现波动状态，这就是数据的随机性波动状态，这就是数据的随机性.z 测定值皆在测定值皆在4747.0到到4758.0之间之间,范围并不大范围并不大,并且落在并且落在4750.0到到4754.0之间的次数很多之间的次数很多,而落在这

6、一区间以外的而落在这一区间以外的数据却很少，这种在数值上的有界性和中间大两头小的单数据却很少，这种在数值上的有界性和中间大两头小的单峰性规律在被测量技术中是普遍存在的峰性规律在被测量技术中是普遍存在的.2.1 直接测量的误差分析z测量值分布规律研究方法测量值分布规律研究方法 对所研究的子样，找出最大值和最小值；在此间对所研究的子样，找出最大值和最小值；在此间分分1020组，组数根据子样容量而定，组距可等分也可组，组数根据子样容量而定，组距可等分也可不等分，以突出子样的特点并冲淡子样的随机波动为不等分，以突出子样的特点并冲淡子样的随机波动为原则，分点值比原测量精度高一位以免个体数据落在原则，分点

7、值比原测量精度高一位以免个体数据落在分点上；列表用唱票的方法数出落在各组的个体数，分点上；列表用唱票的方法数出落在各组的个体数，称为称为频数频数，各组频数与子样容量之比称为，各组频数与子样容量之比称为频率频率；计算；计算出测定值最小的组至最大组的出测定值最小的组至最大组的累积频数和频率累积频数和频率；绘制绘制频数（频率）直方图和累积频率直方图频数（频率）直方图和累积频率直方图。当子样容量。当子样容量无限大，组数无限多时，各组的频率可任意接近于某无限大，组数无限多时，各组的频率可任意接近于某一定值，此值即称为一定值，此值即称为概率概率，而，而直方图演变为光滑曲线。直方图演变为光滑曲线。 2.1

8、直接测量的误差分析组次组次组区间组区间频数频数组频率组频率累积频数累积频数 累积频率累积频率1 1 4747.054748.051 10.020.021 10.020.022 2 4748.054749.052 20.040.043 30.060.063 3 4749.054750.054 40.080.087 70.140.144 4 4750.054751.056 60.120.1213130.260.265 5 4751.054752.057 70.140.1420200.400.406 6 4752.054753.0513130.260.2633330.660.667 7 4753.0

9、54754.0511110.220.2244440.880.888 8 4754.054755.052 20.040.0446460.920.929 9 4755.054756.052 20.040.0448480.960.961010 4756.054757.051 10.020.0249490.980.981111 4757.054758.051 10.020.0250501.001.00总和总和50501 150501.001.002.1 直接测量的误差分析z频率分布直方图与累积频率分布（经验分布）图频率分布直方图与累积频率分布（经验分布）图2.1 直接测量的误差分析z2.1.2 2.1

10、.2 随机误差评估与数据处理随机误差评估与数据处理z随机误差的分布规律随机误差的分布规律 大量的试验结果表明：测量值的随机误差分布大量的试验结果表明：测量值的随机误差分布规律有正态分布、规律有正态分布、t t 分布、均匀分布等，但多数分布、均匀分布等，但多数都服从正态分布。都服从正态分布。令令222)(21),;( mxemxn niinmxn12)(1limmxu2221)1 , 0;(ueun tuduetN2221)1 ,0;(正态分布的概率密度函数，正态分布的概率密度函数，x为测量值，为测量值，m为被测量值为被测量值的数学期望，的数学期望，=x-m为随为随机误差机误差 正态分布的标准正

11、态分布的标准偏差，代表测量偏差，代表测量数据分布离散程数据分布离散程度的特征值度的特征值标准正态分标准正态分布的概率密布的概率密度分布函数度分布函数标准正态分布函数标准正态分布函数2.1 直接测量的误差分析正态分布密度函数随正态分布密度函数随mm和和变化的情况变化的情况2.1 直接测量的误差分析标准正态分布密度函数（标准正态分布密度函数（a a）与标准正态分布函数（）与标准正态分布函数（b b）图）图 2.1 直接测量的误差分析2221)1 , 0;(ueun tuduetN2221)1 ,0;(u0.9 90.00.00.39890.39890.39730.3973.1.01.00.2420

12、0.24200.22030.2203.2.02.00.05400.05400.04490.0449.3.03.00.00440.00440.00340.0034.3.93.90.00020.00020.00010.0001t0.9 90.00.00.500000.500000.535860.53586.1.01.00.841340.841340.862140.86214.2.02.00.977250.977250.981690.98169.3.03.00.998650.998654.04.00.9999680.9999685.05.00.999999970.999999972.1 直接测量的误

13、差分析随机误差的分布规律：随机误差的分布规律：对称性、对称性、 单峰性、单峰性、 有界性、有界性、 抵偿性抵偿性绝对值相等的正绝对值相等的正误差与负误差出误差与负误差出现的概率相同现的概率相同绝对值小的误差绝对值小的误差比绝对值大的误比绝对值大的误差出现的概率大差出现的概率大绝对值很大的绝对值很大的误差出现的概误差出现的概率近于零率近于零当测量次数趋于无当测量次数趋于无穷大时，全部误差穷大时，全部误差的代数和趋于零的代数和趋于零2.1 直接测量的误差分析z例：某一正态分布函数的标准偏差为例：某一正态分布函数的标准偏差为，试求绝，试求绝对误差的绝对值分别小于对误差的绝对值分别小于和和33之概率。

14、之概率。解：令解：令 则则 =2( (0.84134-0.5)=68.268% 02)()(212)(22mxdemxNmxdzemxdezmx102102)(22212)(212mxz2.1 直接测量的误差分析同理：同理： =2(0.99865-0.5)=99.730% 302)()(212)33(22mxdemxNmxdzemxdezmx302302)(22212)(212z对被测量量真值的估计对被测量量真值的估计2.1 直接测量的误差分析 在一列等精度的测量中，算术平均值在一列等精度的测量中，算术平均值 是对被是对被测量量之真值的最佳估计。测量量之真值的最佳估计。xmnmnmnxxnni

15、ininiinii 1111 iimx2.1 直接测量的误差分析z实验标准（偏）差实验标准（偏）差-子样方差子样方差niixxns12)(11 n-1称为自由度，反映测量重复次数，故称为自由度，反映测量重复次数，故s也称也称为为“重复性标准差重复性标准差”。 另外还有多种估计标准偏差的方法，如极差法：另外还有多种估计标准偏差的方法，如极差法：2.1 直接测量的误差分析nndxxdRsminmax其中其中R为为极差，极差，dn为极差系数为极差系数 n23456789dn1.131.642.062.332.5.2.702.852.972.1 直接测量的误差分析 在无限次或有限次测量中，有在无限次或

16、有限次测量中，有68.268%68.268%的测量的测量值落在（值落在（-， ）或（）或（-s-s，s s）的区间内，该区间）的区间内，该区间以以m m 或或 为中心。为中心。 或或 s s 越小，精密度越高，越小，精密度越高， 或或 s s 称为标准误差，它们是测量值出现的概率密称为标准误差，它们是测量值出现的概率密度变化率由小变大的转折点。度变化率由小变大的转折点。 3 3或或 3s 3s 则称为极限误差，测量值落在（则称为极限误差，测量值落在（- -33， 3 3）或（）或（-3s-3s，3s3s）区间内的概率为）区间内的概率为99.730%99.730%，即每测量，即每测量100010

17、00次，误差绝对值大于次，误差绝对值大于33或或 3s 3s 的次数还不到的次数还不到3 3次，因此次，因此33或或 3s 3s 常作为粗大常作为粗大误差的判据之一。误差的判据之一。xz标准误差和极限误差标准误差和极限误差2.1 直接测量的误差分析z平均误差平均误差 测量值全部随机误差绝对值的算术平均值定测量值全部随机误差绝对值的算术平均值定义为平均误差。义为平均误差。 几何上，几何上， 正好处在概率密度曲线左半边或右正好处在概率密度曲线左半边或右半边重心的横坐标上。半边重心的横坐标上。547979. 01nnii%5 .57)(mxp2.1 直接测量的误差分析z或然误差或然误差z算术平均值的

18、标准误差算术平均值的标准误差 误差的绝对值小于误差的绝对值小于和大于和大于出现的概率相出现的概率相等，等，称为或然误差，而称为或然误差，而=0.6745=0.6745。%50)(mxp%5 .95)33(mxp xi是随机变量，则是随机变量，则 也是随机变量，它应该有也是随机变量，它应该有标准误差标准误差 ，可以证明：，可以证明：xxnxnlim2.1 直接测量的误差分析 由于实际测量时，由于实际测量时，n 总是有限的，总是有限的，所以所以 用用下式计算：下式计算： ，此时，此时 与与 之间也之间也存在误差，所谓误差的误差问题，其通式为：存在误差，所谓误差的误差问题，其通式为： 当当分别为分别

19、为、 时，时，z z分别等于分别等于1 1、0.67450.6745、0.79790.7979。n n与与 /及及n n与与 / / 的关系如图。的关系如图。xnsxxxxnlim1707. 0nzx2.1 直接测量的误差分析2.1 直接测量的误差分析2.1 直接测量的误差分析z测量次数对测量精密度的影响测量次数对测量精密度的影响 从图中看出，从图中看出，n10n10以后，以后， 随随n n增加而减小增加而减小的趋势变得缓慢了，的趋势变得缓慢了， / / 随随n n增加而减小的增加而减小的趋势也变得缓慢了，所以一般测量中，趋势也变得缓慢了，所以一般测量中，n n取取1010至至3030次就有相

20、当的精度了，只有对特别要求精密次就有相当的精度了，只有对特别要求精密的量，才作的量，才作3030次以上的测量。次以上的测量。xx2.1 直接测量的误差分析z测量结果的置信区间与置信度测量结果的置信区间与置信度 用子样用子样 作为母体参数作为母体参数m的估计值，为了衡量的估计值，为了衡量 的准确度，可以设法找到两个数的准确度，可以设法找到两个数和和，使关系式：，使关系式： 成立的概率为成立的概率为1- 1- 。 区间区间 称为置信区间，称为置信区间， 1- 1- 称为称为置信度，置信度，称为危险率，则对测量结果的评定可表称为危险率，则对测量结果的评定可表述为在一定的置信度述为在一定的置信度1-

21、1- 下：下：测量结果测量结果= =子样平均值置信区间的半长子样平均值置信区间的半长= = xmxxx,xxx2.1 直接测量的误差分析 对正态分布而言，对正态分布而言，与与和和有明确的数量对有明确的数量对应关系，即子样应关系，即子样 遵循遵循p p（ ；m m， ）时：）时： 1- 1- 99.73% 99.73% 95.5% 95.5% 68.268% 68.268% 57.5% 57.5% 50% 50% xxnnstnsx33nsx6745. 033nsxnsx7979. 0nsx6745. 02.1 直接测量的误差分析z小子样误差分析小子样误差分析t 分布分布2.1 直接测量的误差分

22、析2.1 直接测量的误差分析 t t 分布只取决于子样容量分布只取决于子样容量n n而与母体标准误差而与母体标准误差无关。它无关。它也具有对称性，也具有对称性，与正态分布相比，与正态分布相比， t t 分布分布的中心值比较小，而分散度比较大。的中心值比较小，而分散度比较大。越小，中心越小，中心值越低，分散度越大。当值越低，分散度越大。当大于等于大于等于3030时，时， t t 分布分布趋于正态分布。趋于正态分布。2.1 直接测量的误差分析 对一定的危险率对一定的危险率和自由度和自由度，对应确定的，对应确定的t tp p 值。三者间已知任意两者，通过查表，可确定第值。三者间已知任意两者，通过查表

23、，可确定第三者，从而建立以下置信区间与置信度之间的关三者，从而建立以下置信区间与置信度之间的关系：系：1pppttttnsxmtnsxp2.1 直接测量的误差分析z2.1.3 2.1.3 粗大误差的剔除粗大误差的剔除z处理原则处理原则1. 应首先检查读数是否有差错。应首先检查读数是否有差错。2. 如读数肯定无差错，应分析某种瞬变的系统误差如读数肯定无差错，应分析某种瞬变的系统误差（如电压突然跳动等）是否存在；同时在相同条件（如电压突然跳动等）是否存在；同时在相同条件下，增补测量次数，取得更多的数据，以削弱弥散下，增补测量次数，取得更多的数据，以削弱弥散特大的个别数据对最终估计值的影响。特大的个

24、别数据对最终估计值的影响。3. 最后回过头来判别这些个别值的合理性。最后回过头来判别这些个别值的合理性。2.1 直接测量的误差分析z拉伊特准则拉伊特准则3xxii 判为粗大误差。判为粗大误差。i 判据实质上是建立在判据实质上是建立在 基础上的。基础上的。当当n有限或有限或n较小时，并不十分可靠，容易混入该较小时，并不十分可靠，容易混入该剔除的数据，而相对于剔除的数据，而相对于t 分布，当分布，当n较大时，又容较大时，又容易舍去一些不该舍去的值。易舍去一些不该舍去的值。3n 2.1 直接测量的误差分析z肖维涅判据肖维涅判据 当当xi对应的对应的 值，大于下列值时，判值，大于下列值时，判xi存在粗

25、大误差。存在粗大误差。n5 6 7 8 9 10 11 12 13 14(xi-)/S1.65 1.73 1.79 1.86 1.92 1.96 2.00 2.04 2.07 2.10n15 16 17 18 19 20 21 22 23 24(xi-)/S2.13 2.16 2.18 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28 2.30 2.32n25 26 27 28 29 30 35 40(xi-)/S2.33 2.34 2.35 2.37 2.38 2.39 2.45 2.50ixxS2.1 直接测量的误差分析z格拉布斯判据格拉布斯判据 当当xi对应的对应的 值，大于值，大于T(

26、n,)时，判时，判xi存在粗大存在粗大误差。误差。 它与肖维涅判据类似，不同的是有它与肖维涅判据类似，不同的是有5.0%、2.5%和和1.0%的的3组危险率，此处危险率指将实际并不是异常数据而组危险率，此处危险率指将实际并不是异常数据而被误剔除的概率。用肖维涅判据的危险率高于被误剔除的概率。用肖维涅判据的危险率高于5.0%。ixxS2.1 直接测量的误差分析z测量结果的一般处理步骤测量结果的一般处理步骤1.将测量得到的一列数据将测量得到的一列数据x1、x2xn排列成表。排列成表。2.求出求出 （ ）3.求出剩余误差（残差）求出剩余误差（残差）Vi （ ）4.求出子样标准方差求出子样标准方差5.

27、按一定的危险率判别有无可疑数据。如有，则剔除；按一定的危险率判别有无可疑数据。如有，则剔除；重复步骤重复步骤14。再判别。每次判别只能舍弃一个可疑。再判别。每次判别只能舍弃一个可疑数据，直至到无可疑数据为止。数据，直至到无可疑数据为止。x11niixxn211()1niiSxxnxxVii2.1 直接测量的误差分析6. 在舍弃可疑数据后，计算出新的在舍弃可疑数据后，计算出新的 和和S及平均及平均值值 的标准误差的标准误差 ，7. 写出测量结果写出测量结果 ：8.对正态分布而言，上述结果的置信度为对正态分布而言，上述结果的置信度为99.73%；但当但当n 较小时，应用较小时，应用t分布估出上述结

28、果的置信度。分布估出上述结果的置信度。xxSnx3xx2.1 直接测量的误差分析z例：某试验中测量流量例：某试验中测量流量G得到一组数据如下，请得到一组数据如下，请分析最终的测量结果和置信度。（测量单位分析最终的测量结果和置信度。（测量单位kg/s）1.52 1.46 1.61 1.54 1.55 1.49 1.68 1.64 1.83 1.50序号序号测量值测量值11.52 -0.062 0.00384421.46 -0.122 0.01488431.61 +0.028 0.00078441.54 -0.042 0.00176451.55 -0.032 0.00103461.49 -0.09

29、2 0.00846471.68 +0.098 0.00960481.64 +0.058 0.00336491.83 +0.248 0.061504101.50 -0.082 0.0067242()iGG解：解：15.82iG ()0iGG2()0.11197iGGGGGii2.1 直接测量的误差分析10111.582iiGGn10211()0.1121iiSGGn30.336S SGi3用用3判据，由于判据，由于 ，无一可疑数据，则：，无一可疑数据，则：0.1120.03510GSn，3(1.582 0.105)GGG测量结果测量结果1 1： kg/skg/s2.1 直接测量的误差分析用肖维涅

30、判据：用肖维涅判据：(10)1.96T n 990.2482.214(10)0.112GGGTT nS由于由于 ， G G9 9存在粗大误差而舍弃，则：存在粗大误差而舍弃，则： 9111 .5 5 49iiGG9211()0.07991iiSGG(9)1.92T n (9)iGGT nS 而而即剩余的即剩余的9个数据均有效，则：个数据均有效，则：0.0269GS测量结果测量结果2 2： kg/skg/s 3(1.554 0.078)GGG2.1 直接测量的误差分析用格拉布斯判据：若用格拉布斯判据：若5.0%(10,5%)2.18T n而而： G9应舍去，最终结果同测量结果应舍去，最终结果同测量

31、结果2。若若 ，则，则9(10,5% )GTT n2.5%(10,2.5%)2.29T n由于由于 ，故：，故：G9不应舍去，最终结果同测量结果不应舍去，最终结果同测量结果1。 9(10,2.5% )GTT n2.1 直接测量的误差分析对正态分布而言，上述两结果，其置信度均为对正态分布而言，上述两结果，其置信度均为99.73%。对结果对结果1，子样容量为，子样容量为10，也嫌少，用，也嫌少，用t分布估计的分布估计的话，话， ， ， 即即查表并插值，得查表并插值，得 则置信度则置信度 同理：对结果同理：对结果2，子样容量为，子样容量为9，用，用t分布估计的话：分布估计的话： 查表并插值，得查表并

32、插值，得则置信度则置信度19n 3pSStnn3pt()1.58%pp tt1()98.42%ppp tt 8193pt%77. 1)(pttp%23.98)(1pttpp2.1 直接测量的误差分析z2.1.4 2.1.4 系统误差的分析、消除与更正系统误差的分析、消除与更正z系统误差的来源系统误差的来源仪表误差：仪表误差： 仪表结构本身不合理，存在摩擦、老化、磨损等造仪表结构本身不合理，存在摩擦、老化、磨损等造成；成；装置误差：装置误差： 安装、布置、调整不当造成；安装、布置、调整不当造成；校验误差：校验误差： 校验时所用标准仪表本身有附加误差（仪表基本误校验时所用标准仪表本身有附加误差（仪

33、表基本误差外）造成的附加误差；差外）造成的附加误差；环境附加误差：环境附加误差： 使用环境条件与说明书要求不符造成；使用环境条件与说明书要求不符造成；方法误差（理论误差）：方法误差（理论误差）： 由于理论假设或测量方法不完善造成由于理论假设或测量方法不完善造成；人为误差：人为误差： 不良观察习惯等造成；不良观察习惯等造成；2.1 直接测量的误差分析z系统误差的特点、常见变化规律系统误差的特点、常见变化规律不变的系统误差：如米尺标称尺寸不准；一般只有不变的系统误差：如米尺标称尺寸不准；一般只有用不同尺的对比实验来发现，多次重复实验不能发用不同尺的对比实验来发现，多次重复实验不能发现这类误差。现这

34、类误差。线性变化的系统误差：如电位差计测量热电势时由线性变化的系统误差：如电位差计测量热电势时由于标准电池的持续放电而产生的误差。若系统误差于标准电池的持续放电而产生的误差。若系统误差大于随机误差，可用离差观察法判别；若随机误差大于随机误差，可用离差观察法判别；若随机误差大于系统误差，可用马利科夫准则判别。大于系统误差，可用马利科夫准则判别。2.1 直接测量的误差分析周期性变化的系统误差：如仪表指针的回转中周期性变化的系统误差：如仪表指针的回转中心与刻度盘中心存在偏心带来的误差。若系统误心与刻度盘中心存在偏心带来的误差。若系统误差大于随机误差，可用离差观察法判别；若随机差大于随机误差，可用离差

35、观察法判别；若随机误差大于系统误差，可用阿贝误差大于系统误差，可用阿贝- -赫梅特准则判别。赫梅特准则判别。复杂规律变化的系统误差：如仪表指针偏转角复杂规律变化的系统误差：如仪表指针偏转角与偏转力矩不能严格保持线性关系而表盘仍均匀与偏转力矩不能严格保持线性关系而表盘仍均匀刻度。刻度。2.1 直接测量的误差分析z系统误差的判别方法系统误差的判别方法高等级仪表校核法高等级仪表校核法离差观察法：分析按测量先后次序排列的残差离差观察法：分析按测量先后次序排列的残差 的大小和符号的变化。的大小和符号的变化。马利科夫准则：马利科夫准则： 当当D D明显大于明显大于V Vi i 时，时，说明测量中存在线性变

36、化的系统误差。（当说明测量中存在线性变化的系统误差。（当n n是奇数是奇数时，在（时，在（n+1n+1）/2/2处分组）处分组）阿贝阿贝- -赫梅特准则：当赫梅特准则：当 认为测认为测量值中存在周期性系统误差。量值中存在周期性系统误差。ix2/12/1ninniiiVVD21111SnVVAniiiz系统误差的减小系统误差的减小2.1 直接测量的误差分析1.1.从产生误差的根源上采取措施减小系统误差从产生误差的根源上采取措施减小系统误差按允许按允许的的误差范围选适当准确度的仪表，对使用过久的仪表，要误差范围选适当准确度的仪表，对使用过久的仪表，要重新标定。重新标定。应严格按说明应严格按说明书的

37、要求安装书的要求安装和调试，和调试，校准零位，做好抗干扰屏蔽校准零位，做好抗干扰屏蔽。尽量尽量在规定的环境条件在规定的环境条件下使用，下使用，如一定要用在偏离规定的环境条如一定要用在偏离规定的环境条件时，必须加以修正。件时，必须加以修正。 完善测量理论，尽量完善测量理论，尽量减小减小由于理论假设或测量方法不完善造成由于理论假设或测量方法不完善造成的的系统误差。系统误差。纠正不良纠正不良的观察习惯，读数尽可能在外界条件比较稳定的观察习惯，读数尽可能在外界条件比较稳定的情况下的情况下进行。进行。2.1 直接测量的误差分析2.2.用修正方法减小系统误差用修正方法减小系统误差3.3.用交换法或代替法减

38、小不变系统误差用交换法或代替法减小不变系统误差 预先通过检定、校准或计算得出量具的系统误差估计值，预先通过检定、校准或计算得出量具的系统误差估计值，作出误差表或者曲线，然后取与误差数值相同而符号相反的值作出误差表或者曲线，然后取与误差数值相同而符号相反的值加到测量结果上，从而得到已修正的测量结果。加到测量结果上，从而得到已修正的测量结果。 一是交换法，如交换天平的被称重物与法码的位置，可减一是交换法，如交换天平的被称重物与法码的位置，可减小两臂不等带来的系统误差；小两臂不等带来的系统误差； 二是代替法，如在同一架天平上，分别称取被称重物和相二是代替法，如在同一架天平上，分别称取被称重物和相近重

39、量的标准法码，则被测量近重量的标准法码，则被测量= =标准量标准量+ +差值。差值。2.1 直接测量的误差分析4.4.用对称测量法减小线性系统误差用对称测量法减小线性系统误差5.5.用半周期法减小周期性系统误差用半周期法减小周期性系统误差6.6.系统误差可忽略不计的准则系统误差可忽略不计的准则 选定整个测量时间范围内的某时刻为中点，将测量在时选定整个测量时间范围内的某时刻为中点，将测量在时间上对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测量间上对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测量值。值。 相隔半个周期进行一次测量，取两次读数的算术平均值相隔半个周期进行一次测量，取两次读数的算术平均

40、值作为测量值。作为测量值。 系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测量结系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。2.1 直接测量的误差分析z系统误差综合系统误差综合1. 代数综合法：代数综合法：1nn的大小和符号都能估计。的大小和符号都能估计。=（1 1+2 2+ +n n）= = 或或2. 算术（绝对值）综合法：算术（绝对值）综合法：1n n 的大小可估计而符号不能估的大小可估计而符号不能估计。计。 或或但当但当n n较大时，较大时，或或显然偏大。显然偏大。3. .几何综合法：几何综合法：1n n 的

41、大小可估而符号不能估计且的大小可估而符号不能估计且n n比较大比较大。 或或 nii1 niin121)( niin121)( niin121( niin1222221 niin1222221 2.1 直接测量的误差分析z例：例：用用0.5级的弹簧管式压力表测量水压，分度值为级的弹簧管式压力表测量水压，分度值为0.02at，量程为量程为0.0006.000at，使用环境温度要求，使用环境温度要求t =20 ，每，每偏离偏离11，附加基本误差的，附加基本误差的4%4%。实际使用的。实际使用的环境温度为环境温度为30，指示压力为指示压力为4.000at4.000at，并且来回摆动，并且来回摆动1小

42、格，安装位置高于小格，安装位置高于水管水管1.05m ，但在表下，但在表下0.05m 处安装有放气阀，请对读数进处安装有放气阀，请对读数进行修正，并评估水压的相对误差。行修正，并评估水压的相对误差。解：解：(1)仪表基本误差：仪表基本误差： kg/cm2 (2)环境误差环境误差 （该误差应可有明确符号）（该误差应可有明确符号） kg/cm2030. 0)000. 6%5 . 0(1 p012. 0)10030. 0%4()%4(12 tpp2.1 直接测量的误差分析(3)装置误差：（该误差应为正误差）装置误差：（该误差应为正误差） kg/cm2(4)读数误差：读数误差： kg/cm2100.

43、4100*001. 0000. 4 hpp 指示指示005. 0105)(33 hp020. 04 p故按算术综合法（因符号不能估计，不能用代数综合）故按算术综合法（因符号不能估计，不能用代数综合） kg/cm2 测量结果表示为：测量结果表示为：4.1000.067 0.067 kg/cm2相对误差相对误差067. 0)(4321 ppppp00100. 4067. 06 . 1 pp2.1 直接测量的误差分析如按几何综合法：如按几何综合法： kg/cm2测量结果表示为：测量结果表示为：4.1000.038 0.038 kg/cm2相对误差相对误差由于由于n=4，不算大，按算术综合法较安全。，

44、不算大，按算术综合法较安全。038.012 niipp00100. 4038. 09 . 0 pp2.1 直接测量的误差分析z2.1.5 2.1.5 直接测量中的误差综合直接测量中的误差综合2.1 直接测量的误差分析z测量误差的综合测量误差的综合1.算术合成：算术合成： 对以单次测量值为结果的总误差：对以单次测量值为结果的总误差： 对以平均值为结果的总误差：对以平均值为结果的总误差：2.几何合成：几何合成： 对以单次测量值为结果的总误差：对以单次测量值为结果的总误差： 对以平均值为结果的总误差：对以平均值为结果的总误差：)(stp )(nstp 22)(stp nstp/)(22 2.1 直接

45、测量的误差分析z对测量误差允许范围的提法对测量误差允许范围的提法1.1.和和s分别不超过某值，即：分别不超过某值，即： A sBA sB2.2.要求测量值限制在某一范围内，即：要求测量值限制在某一范围内，即： X Xa a X X X Xb b 2.2 间接测量的误差传递z2.2.1 2.2.1 系统误差的传递与分配系统误差的传递与分配设设 y = fy = f（U U1 1，U U2 2，UUn n），），y y为间接被测量，为间接被测量， U U1 1，U U2 2，UUn n 为为直接被测量，直接被测量，U U1 1，U U2 2， U Un n 分别为分别为U U1 1，U U2 2，

46、UUn n 的系统的系统误差，并假设误差，并假设U U1 1，U U2 2，UUn n 之间相互独立，则：之间相互独立，则：y+y+y=fy=f（ U U1 1 +U U1 1），（），（ U U2 2 +U U2 2），），（ U U1 1 +U U1 1） nnuufuufuufy 2211yuufyuufyuufyynn 22112.2 间接测量的误差传递z由直接测量的系统误差计算间接被测量的系统误由直接测量的系统误差计算间接被测量的系统误差：差：第一类误差计算问题第一类误差计算问题z 例：间接测量加热器的输入电功率有多种方法，如：例：间接测量加热器的输入电功率有多种方法，如：(1)直接

47、测量电流直接测量电流I和电压和电压V来计算功率来计算功率P=IV； (2)直接测量电直接测量电流流I和电阻和电阻R来计算功率来计算功率P=I2R；(3)直接测量电压直接测量电压U和电阻和电阻R来计算功率来计算功率P=V2/R；假设各直接测量量有相同的相对误；假设各直接测量量有相同的相对误差差=1%=1%，试问哪一个方案，试问哪一个方案P的相对误差较小？由此可以的相对误差较小？由此可以得到哪些启示？得到哪些启示？解：对解：对IVP IVVIIVIVPVVPPIIPPP %2%1%1 VVII2.2 间接测量的误差分析RIP2 对对对对由于由于II、R R 均可正可负，计算均可正可负，计算P 时应

48、该按最大误差计算：时应该按最大误差计算：RIRIRIIIRPRRPPIIPPP2222 %3%1%22 RRIIRVP2 RVRRVRVVRVPRRPPVVPPP2222)(2 RRVV 2%32 RRVVPP2.2 间接测量的误差分析上例说明：上例说明： 间间接测量的量可用不同直接测量的量来计算。接测量的量可用不同直接测量的量来计算。由于使用测量方法的不同，尽管直接测量量的相对误差相由于使用测量方法的不同，尽管直接测量量的相对误差相同，但最终形成同，但最终形成间接被测量的误差却不同，因此要注意选择间接被测量的误差却不同，因此要注意选择最终误差小的测量方案，如最终误差小的测量方案，如P=IV方

49、案。方案。要提高测量精度，应把注意力主要集中在降低对要提高测量精度，应把注意力主要集中在降低对间接间接被测被测量的最终误差影响大的那个直接测量量的误差，如量的最终误差影响大的那个直接测量量的误差，如P=I2R方方案中的案中的I。2.2 间接测量的误差传递z根据被测量的误差范围确定直接测量量之间的误根据被测量的误差范围确定直接测量量之间的误差分配差分配第二类问题误差计算第二类问题误差计算1.令所有直接测量的误差相等，根据间接误差的传递公式再解令所有直接测量的误差相等，根据间接误差的传递公式再解得直接测量的误差值，则根据得直接测量的误差值，则根据2.先假定其中一个或几个直接测量量，然后根据间接测量

50、误差先假定其中一个或几个直接测量量，然后根据间接测量误差传递公式再计算最后直接测量量的允许误差。传递公式再计算最后直接测量量的允许误差。例：要求例：要求 ，假定，假定 则则%4 PPIIVVPP %2 IIVV%4 PP%3 VV%1 II2.2 间接测量的误差传递z2.2.2 2.2.2 标准误差的传递与分配标准误差的传递与分配设设 测量测量n次，则有次，则有 ， ，),( wvufyu w v 222222wvuywfvfuf 222222ywfyvfyufywvuy 2.2 间接测量的误差传递z根据直接测量量的标准误差计算间接测量量的标根据直接测量量的标准误差计算间接测量量的标准误差准误

51、差z 例：如果测量值例：如果测量值X1，X2，.Xn的标准误差为的标准误差为S，求其算，求其算术平均值的标准误差。术平均值的标准误差。解：解： 而单次测量量值的标准误差：而单次测量量值的标准误差： 则则 nxxxnx 211sxxnniin 212111 nssnnnnnnx 22222222121111 2.2 间接测量的误差传递z根据间接测量量的标准误差要求，进行直接测量根据间接测量量的标准误差要求，进行直接测量量之间的标准误差分配量之间的标准误差分配 方法同系统误差，只是计算更麻烦，故一般假设方法同系统误差，只是计算更麻烦，故一般假设n个直接个直接测量量，对于间接测量量所引起的误差均相等

52、，则测量量，对于间接测量量所引起的误差均相等，则22232322222121nunuuuyufufufuf 22232322222121nunuuuufnufnufnufn 2.2 间接测量的误差传递所以：所以： nyuyuyuufnufnufnn 2121以上以上同样可以看到：同样可以看到：1.在同样的直接测量量之标准在同样的直接测量量之标准误差下，有一个最佳测量方误差下，有一个最佳测量方法，使间接测量量的标准误法，使间接测量量的标准误差最小。差最小。2.测量中，我们应该设法尽量测量中，我们应该设法尽量降低对间接测量量的标准误降低对间接测量量的标准误差影响大的那个直接测量量差影响大的那个直接

53、测量量的标准误差。的标准误差。2.3 组合测量的回归分析z2.3.1 2.3.1 组合测量组合测量 在测量中，除了直接测量和间接测量外，有时我们在测量中，除了直接测量和间接测量外，有时我们需要得到一个或多个自变量与因变量之间的关系，这需要得到一个或多个自变量与因变量之间的关系，这些关系可以是肯定的函数关系，也可以是相关关系，些关系可以是肯定的函数关系，也可以是相关关系，即通过直接测量或间接测量数据求得与本试验有关的即通过直接测量或间接测量数据求得与本试验有关的各各变量之间关系，称为组合测量，这类测量通常有列变量之间关系，称为组合测量，这类测量通常有列表法、图形法和经验公式表法、图形法和经验公式

54、回归分析三种方法。回归分析三种方法。2.3 组合测量的回归分析z2.3.22.3.2列表法列表法优点：简单易作、形式紧凑、易于数据参考比较，而且可在优点：简单易作、形式紧凑、易于数据参考比较，而且可在同一表格内同时表示几个自变量与几个因变量之间的关系而同一表格内同时表示几个自变量与几个因变量之间的关系而不混乱。不混乱。缺点：表达方式是离散型的，实际使用时需内插法。缺点：表达方式是离散型的，实际使用时需内插法。内插法有内插法有比例法比例法（线性法）、抛物线法、差分法、牛顿法、（线性法）、抛物线法、差分法、牛顿法、拉格朗日法等。比例法简单，但误差较大；其他方法在拉格朗日法等。比例法简单，但误差较大

55、；其他方法在“计计算方法算方法”及有关数据整理的书籍上有介绍，计算较复杂，但及有关数据整理的书籍上有介绍，计算较复杂，但误差小。误差小。2.3 组合测量的回归分析z例：例：线性法线性法)(ababacacyyxxxxyy 误差误差cccyyy 2.3 组合测量的回归分析z例：例：抛物线法抛物线法11111)()( kkkkkkkyxxxxxxxxy11111)()( kkkkkkkyxxxxxxxxkkkkkkkyxxxxxxxx)()(1111 2.3 组合测量的回归分析z2.3.3 2.3.3 图形法图形法 形式直观、便于比较；容易显示出最高点和最低点、转折形式直观、便于比较；容易显示出最

56、高点和最低点、转折点和周期性等；使用比较方便。作图时要注意以下几点：点和周期性等；使用比较方便。作图时要注意以下几点： 1.坐标纸要选择适当，图幅和比例尺的选取一般应坐标纸要选择适当，图幅和比例尺的选取一般应与测量的精确度相适应。例如热电偶测量温度的误差与测量的精确度相适应。例如热电偶测量温度的误差为为0.10.1 ，则在坐标纸上就应能够读到，则在坐标纸上就应能够读到0.10.1左右。左右。 2.由于直线是所有曲线中最容易作的图形，因此，由于直线是所有曲线中最容易作的图形，因此，如有可能应将变量做适当变换，使所得图形尽可能成如有可能应将变量做适当变换，使所得图形尽可能成为一条直线。常用的方法：

57、为一条直线。常用的方法：xy lgxy lgxlgy xny x1/y或或1/xy例：例：3lglg2lg32 xyxy2.3 组合测量的回归分析 3.曲线要光滑、圆整，只有少数几个转折点；曲曲线要光滑、圆整，只有少数几个转折点；曲线经过的地方尽可能与所有的数据点靠近，并尽量线经过的地方尽可能与所有的数据点靠近，并尽量使曲线两边的数据点数目相近。使曲线两边的数据点数目相近。 4.当实验数据中有极值出现时，应在极值附近增当实验数据中有极值出现时，应在极值附近增加测量点，以便能在图形中正确反映出极值。加测量点，以便能在图形中正确反映出极值。 5.如试验数据点过于分散，为便于做图可采用分如试验数据点

58、过于分散，为便于做图可采用分组平均值来代替。组平均值来代替。2.3 组合测量的回归分析z2.3.4 2.3.4 经验公式经验公式回归分析回归分析z一元线性回归一元线性回归 设：设： ，并假设，并假设 xi 不存在测量误差。不存在测量误差。A、B的确定按最小二乘法：即各组测量值（的确定按最小二乘法：即各组测量值（xi , yi）在）在y方向上对于回归值方向上对于回归值 的偏差的平方和最小。的偏差的平方和最小。BxAy y niixnx11 niiyny11 niiniiniixxxxxnxS122112)()(12.3 组合测量的回归分析 niiniiniiyyyyynyS122112)()(1

59、 niiiniiniiniiixyyyxxyxnyxS1111)()(1)(则：则： 而：而： R称为相关系数，反映两个变量之间线性相关称为相关系数，反映两个变量之间线性相关的密切程度。的密切程度。 xxxySSBxByAyyxxxySSSR 2.3 组合测量的回归分析11 R1 R),(iiyx0 R ， 说明说明 正好都落在回归正好都落在回归直线上，而直线上，而 ，无线性关系。其它则介于之间。，无线性关系。其它则介于之间。2.3 组合测量的回归分析 R值多大时，才能用线性来表达呢？它还与值多大时，才能用线性来表达呢？它还与n有有关。关。 在一元回归分析中，线性相关系数等于零，不在一元回归分

60、析中，线性相关系数等于零，不能说明两者一定无相关关系，如圆就有明确的函数能说明两者一定无相关关系，如圆就有明确的函数关系。线性相关系数较小，不能判断两者一定线性关系。线性相关系数较小，不能判断两者一定线性不相关；子样线性相关，母体也不一定线性相关，不相关；子样线性相关，母体也不一定线性相关，因为它们都与子样容量有关。因为它们都与子样容量有关。2.3 组合测量的回归分析线性相关系数表线性相关系数表2.3 组合测量的回归分析2.3 组合测量的回归分析 事实上，事实上，xi，yi都有测量误差，我们同样可以假设都有测量误差，我们同样可以假设yi无测量误差，则无测量误差，则 ，同样用以上方法可得回归，同