MATLAB条件平差和间接平差

1、测量平差程序设计测量平差程序设计条件平差和间接平差条件平差和间接平差一、条件平差基本原理一、条件平差基本原理函数模型函数模型11010rrnrnALA0WAV随机模型随机模型12020PQD minPVVT平差准则平差准则 条件平差就是在满足条件平差就是在满足r个条件方程式条件下，求个条件方程式条件下，求使函数使函数最小的值，满足此条件极值问题用最小的值，满足此条件极值问题用拉格朗日乘法可以求出满足条件的拉格朗日乘法可以求出满足条件的V值。值。1、平差值条件方程：、平差值条件方程：11010rrnrnALA000022110221102211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnn

2、n), 2 , 1(,nirbaiii条件方程系数条件方程系数000,rba常数项常数项2、条件方程：、条件方程：11010rrnrnALA 代入平差值条件方程中，得到代入平差值条件方程中，得到将将VLL11110rrnrWVA为条件方程闭合差为条件方程闭合差rbawww,0AALW闭合差等于观测值减去其应有值。闭合差等于观测值减去其应有值。3、改正数方程：、改正数方程：按求函数条件极值的方法引入常数按求函数条件极值的方法引入常数 TrbarkkkK),(1称为联系系数向量，组成新的函数：称为联系系数向量，组成新的函数：)(2WAVKPVVTT 将将对对V求一阶导数并令其为零求一阶导数并令其为

3、零 022AKPVVTT 则：则：KAPVTKQAKAPVTT14、法方程：、法方程： 将条件方程将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：中，则得到： 0WKAQAT记作：记作：1110rrrrraaWKNNaa为满秩方阵，为满秩方阵， rARAQARNRTaa)()()(由于由于)()(011AALAQAWNKTaaKQAVTVLL11110rrnrWVA1110rrrrraaWKNTTaaAAPAQAN1按条件平差求平差值计算步骤按条件平差求平差值计算步骤1、列出、列出r=n-t个条件方程个条件方程2、组成法方程、组成法方程3、求解联系系数向量、求

4、解联系系数向量4、将、将 K值代入改正数方程值代入改正数方程V=P-1ATK=QATk中，求中，求出出V值，并求出平差值值，并求出平差值L=L+V 。 5、检核。、检核。WNKaa1例例 误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础P77P77设对下图中的三个内角作同精度观测，得观测值：设对下图中的三个内角作同精度观测，得观测值：L L1 1=42=42o o12201220，L L2 2=78=78o o09090909，L L3 3=59=59o o38403840，试按条件平差求三个内角得平差，试按条件平差求三个内角得平差值。值。clcclcdisp(disp(条件平差示例条件平差示例5

5、-1)5-1)disp(disp(三角形内角观测值三角形内角观测值) ) L1 = 42 12 20L1 = 42 12 20L2 = 78 9 9L2 = 78 9 9L3 = 59 38 40L3 = 59 38 40L = L1; L2; L3L = L1; L2; L3disp(disp(将角度单位由度分秒转换为弧度将角度单位由度分秒转换为弧度) )LL = dms2rad(mat2dms(L)LL = dms2rad(mat2dms(L)A = 1 1 1A = 1 1 1w = sum(LL(:) - piw = sum(LL(:) - piw = dms2mat(rad2dms(

6、w)w = dms2mat(rad2dms(w)P = eye(3);P = eye(3);Naa = ANaa = A* *inv(P)inv(P)* *AAKa = -inv(Naa)Ka = -inv(Naa)* *w w V = AV = A* *KaKaL1 = L + VL1 = L + VLL = LL = dms2rad(mat2dms(L1)dms2rad(mat2dms(L1)sumLL = sum(LL)sumLL = sum(LL)if(sum(LL) = pi)if(sum(LL) = pi) disp( disp(检核正确检核正确) )elseelse disp(

7、disp(检核错误检核错误) )endend例例 误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础P78P78在下图中，、为已知水准点，其高程为在下图中，、为已知水准点，其高程为HA=12.013m, HB = 10.013m, HA=12.013m, HB = 10.013m, 可视为无误差。为了确可视为无误差。为了确定点及点的高程，共观测了四个高差，高差观测定点及点的高程，共观测了四个高差，高差观测值及相应的水准路线的距离为：值及相应的水准路线的距离为：h1 = -1.004m, S1 = 2km;h1 = -1.004m, S1 = 2km;h2 = 1.516m, S2 = 1km;h2

8、= 1.516m, S2 = 1km;h3 = 2.512m, S3 = 2km;h3 = 2.512m, S3 = 2km;h4 = 1.520m, S4 = 1.5kmh4 = 1.520m, S4 = 1.5km试求和点高程的平差值。试求和点高程的平差值。clcclcclearclearh1 = -1.004;h1 = -1.004;h2 = 1.516;h2 = 1.516;h3 = 2.512;h3 = 2.512;h4 = 1.520;h4 = 1.520;HA = 12.013HA = 12.013HB = 10.013HB = 10.013h = h1 h2 h3 h4h =

9、h1 h2 h3 h4s1 = 2; s1 = 2; s2 = 1;s2 = 1;s3 = 2;s3 = 2;s4 = 1.5;s4 = 1.5;s = s1 s2 s3 s4s = s1 s2 s3 s4A = 1 1 -1 0; 0 1 0 A = 1 1 -1 0; 0 1 0 -1-1w1 = h1 + h2 - h3 + w1 = h1 + h2 - h3 + HA - HB;HA - HB;w2 = h2 - h4;w2 = h2 - h4;w = w1; w2w = w1; w2P = diag(1./s)P = diag(1./s)Naa = ANaa = A* *inv(P)

10、inv(P)* *AAKa = -inv(Naa)Ka = -inv(Naa)* *w wV = inv(P)V = inv(P)* *AA* *KaKaH = h + V;H = h + V; if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB=0 & H(2,1)-if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB=0 & H(2,1)-H(4,1)=0H(4,1)=0 disp( disp(检核正确检核正确)elseelse disp( disp(检核错误检核错误)endenddisp(disp(平差后的高程值平差后的高程值)HC = HA + H(1,1

11、)HC = HA + H(1,1)HD = HA + H(1,1) + H(4,1)HD = HA + H(1,1) + H(4,1)二、间接平差的基本原理二、间接平差的基本原理在一个控制网中，设有在一个控制网中，设有t t个独立参数，将每一个观测值都表达个独立参数，将每一个观测值都表达成所选参数的函数，以此为基础进行平差，最终求得参数的估成所选参数的函数，以此为基础进行平差，最终求得参数的估计值。计值。选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数）和独选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数）和独立（参数间不存在函数关系）。利用参数将观测值表示为立（参数间不存在函数关系）。利用参数将观测

12、值表示为dXAL其中其中L L为观测值，为观测值，为误差，或者表示为为误差，或者表示为lXA其中其中l lL Ld.d.设误差设误差和参数和参数X X的估计值分别为的估计值分别为V V 和和X则有则有lXAV为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值0XxXX0则误差方程表示为则误差方程表示为lxAV其中常数项为其中常数项为)(0dAXLl由最小二乘准则，所求参数的改正数应该满足由最小二乘准则，所求参数的改正数应该满足minPVVT目标函数对目标函数对x x求一阶导数，并令其为零求一阶导数，并令其为零022)(PAVxddVPVxdPVVd

13、TTT转置后得到转置后得到0PVAT把误差方程代入上式后得到把误差方程代入上式后得到0PlAxPAATT设设PAANTAPlAUT则法方程为则法方程为0UxNA由此求得参数改正数的唯一解为由此求得参数改正数的唯一解为UNxA1将其代入误差方程，可求得改正数将其代入误差方程，可求得改正数V V，最后得到观测值得平差，最后得到观测值得平差值及参数的平差值分别为值及参数的平差值分别为VLLxXX0精度评定精度评定计算单位权中误差的公式为计算单位权中误差的公式为tnPVVT0按误差传播定律得参数的权逆阵为按误差传播定律得参数的权逆阵为1 AxxXXNQQ参数的中误差为参数的中误差为jjjXXXQ0设参

14、数的函数为设参数的函数为),(21tXXXfF以以xXX0代入，并按泰勒级数展开，取一次项代入，并按泰勒级数展开，取一次项ttxfxffF110记为记为xfxfxfTttF11由此得到参数函数的权逆阵为由此得到参数函数的权逆阵为fNffQfQATXXTFF1中误差为中误差为FFFQ0改正数为改正数为lIPAANlxAVTA)(1TAVVAANQQ1平差值及其协因数阵分别为平差值及其协因数阵分别为VLLTAVVVLLVLLLLAANQQQQQ1二、水准网间接平差程序设计二、水准网间接平差程序设计例例 教材教材P128P128，A A和和B B是已知高程的水准点，是已知高程的水准点，并设这些点已知

15、高程无误差，并设这些点已知高程无误差，C C、D D、E E是待定点，是待定点，A A、B B高程、高程、观测高差和相应的水准路线观测高差和相应的水准路线长度见下表，试按间接平差长度见下表，试按间接平差求各待定点的高程平差值；求各待定点的高程平差值；线路编号观测高差（m）线路长度（km）已知高程（m）1234567+1.359+2.009+0.363+1.012+0.657+0.238-0.592.6HA=5.016HB=6.016程序代码如下：程序代码如下：disp(-水准网间接平差示例水准网间接平差示例-)disp(已知高程已知高程)Ha = 5.01

16、5 % 已知点高程，单位已知点高程，单位mHb = 6.016 % 已知点高程，单位已知点高程，单位mdisp(观测高差，单位观测高差，单位m)L = 1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357 disp(系数矩阵系数矩阵B)B = 1 0; 0 1; 1 0; 0 1; -1 1; -1 0l = 0; 0; 4; 3; 7; 2disp(C是单位权观测高差的线路公里数，是单位权观测高差的线路公里数，S是线路长度是线路长度)C = 1S = 1.1, 1.7, 2.3, 2.7, 2.4, 4.0P = C./S % 定义观测值的权，定义观测值的权，P = diag(P) % 定义权阵定义权阵disp(参数的解