最新导数练习题及答案

1、精品文档章末检测一、选择题1已知曲线y= x2+ 2x 2在点M处的切线与x轴平行，则点 M的坐标是()A ( 1,3)B . ( 1, 3)C. ( 2, 3) D. ( 2,3)答案 B解析t f' (x) = 2x + 2 = 0,二 x= 1.f( 1) = ( 1)2+ 2 X ( 1) 2= 3. a M( 1, 3).2. 函数y= x4 2x2 + 5的单调减区间为()A . ( 3 1)及(0,1)B . ( 1,0)及(1 ,+3 )C. ( 1,1)D . ( 3, 1)及(1 ,)答案 A32解析 y' = 4x 4x= 4x(x 1)，令 y'

2、 <0 得 x 的范围为(, 1) U (0,1)，故选 A.3. 函数f(x) = x3 + ax2 + 3x 9，在x= 3时取得极值，则 a等于()A . 2 B . 3C . 4 D . 5答案 D解析 f' (x)= 3x2+ 2ax+ 3由 f(x)在 x= 3 时取得极值，即 f' ( 3) = 0,即卩 27 6a+ 3= 0, a a = 5.14. 函数y= In 丄 的大致图象为()|X 十 1|精品文档答案解析函数的图象关于x= 1对称，排除C,当x> 1时，y= In(x+ 1)为减函数,故选D.5二次函数y= f(x)的图象过原点，且它的

3、导函数 条直线，则函数y= f(x)的图象的顶点所在象限是y = f' (x)的图象过第一、二、三象限的一A .第一 B.第二C.第三 D.第四答案 C解析/ y= f' (x)的图象过第一、二、三象限,故二次函数y = f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限.6. 已知函数f(x) = x'+ ax2 x 1在( 8,+ )上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A . ( 8, .3) B . 3, 一 3C. ( 3, +8 ) D. ( .3,.3)答案 B解析 f' (x)= 3x2 + 2ax 1 w

4、0 在(8,+ 8 )恒成立，= 4a2 12< 0? . 3 < a < , 3.7. 设 f(x)= xln x,若 f' (xo)= 2，则 xo 等于()A . e2 B. ln 2In 2C. 2 D. e答案 D解析 f' (x)= x ln x)' + (x)' ln x= 1 + ln x.二f' (xo) = 1 + In xo= 2,In xo= 1,xo = e.1& 设函数 f(x)=护一In x(x> 0)，贝U y = f(x)()1A 在区间(e, 1)(1 , e)内均有零点1B 在区间(e

5、，1)，(1，e)内均无零点1C. 在区间(e，1)内无零点，在区间(1, e)内有零点1D. 在区间(e, 1)内有零点，在区间(1, e)内无零点答案 Cx 3解析由题意得f' (x)=E，令 f' (X)>0 得x>3;令 f' (x)v0 得OvXV3;f'(x)=0 得x= 3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3 ,+ )为增函数，在点x= 3处有极1e11小值 1- In 3 v 0；又 f(1) = 3> 0, f(e) = 3 1 v 0, f(-) =丞 + 1> 0.sin a " 3co

6、s 05 n9设函数f(x)= x3+厂x2+ tan 0其中 茨0，石，则导数f' (1)的取值范围是()A 2,2 B .2,3C. .3, 2 D 2, 2答案 D解析 T f' (x) = x2sin 0+ x 3cos 0, f' (1) = sin 0+ . 3cos 0= 2(知 B+cos 0)n=2sin( 0+ 0./ 0 w 0W 55 .nw 0+壬 3n12'334'2n_nw sin( 0+ 3) w 1. . 2w 2sin( 0+2.10. 方程2x3 6x2 + 7 = 0在(0,2)内根的个数有()A 0 B 1C.

7、2 D 3答案 B解析 令 f(x) = 2x3 6x2 + 7, f' (x)= 6X2 12x= 6x(x 2),由 f' (x)> 0得 x> 2 或 xv 0;由 f' (x)v 0 得 0v xv 2 ;又 f(0) = 7> 0,f(2) = 1 v0, 方程在(0,2)内只有一实根.二、填空题11. 若曲线y= kx + In x在点(1, k)处的切线平行于 x轴，贝U k=.答案 11解析 求导得y' = k+-,依题意k+ 1 = 0,x所以k= 1.12. 已知函数f(x)= x3+ ax在区间(一1,1)上是增函数，则实

8、数 a的取值范围是 .答案 a> 3解析由题意应有f' (x) = 3/+ a>0，在区间(1,1)上恒成立，则 a>3x2, x ( 1,1)恒成立，故a> 3.13. 在平面直角坐标系 xOy中，点P在曲线C： y= x3 10x+ 3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 .答案 (2,15)解析 y' = 3x2 10= 2? x= ±.，又点P在第二象限内， x= 2，得点P的坐标为(一2,15)14. 函数f(x) = x3+ ax2 + bx+ a2,在x = 1时有极值10,那么a, b的值分别为

9、 .答案 4, 11解析 f' (x)= 3x2+ 2ax+ b, f' (1) = 2a + b+ 3= 0,2f(1) = a + a + b +1 = 10,|2a+ b = 3a = 3a = 4, ，或丫，当a = 3时，x= 1不是极值点，a, b的值ia + a + b= 9lb = 3lb = 11分别为4， 11.三、解答题15. 设|<a<1，函数f(x) = x3 |ax2 + b( 1 < x< 1)的最大值为1,最小值为二6，求常数a,b.解令 f' (x) = 3x2 3ax= 0,得 xi = 0, X2= a.a3

10、3f(0) = b, f(a)=- + b, f(- 1) = 1-2a + b,3f(1) = 1- a+ b23因为 3<a<1，所以 1 - a<0,故最大值为f(0) = b = 1,所以 f(x)的最小值为 f(- 1) = - 1-|a+ b=-|a,所以-|a¥，所以a = #故 a= f, b = 1.31116若函数f(x)= 4x3- ax+ 3在-1, |上是单调函数，则实数1 1解f' (x)= Hx2- a,若f(x)在 -1, |上为单调增函数，则f'2 1 1即12x2-a> 0 在- 2,刁上恒成立， a <

11、; 12x2 在-2, 1 上恒成立, a< (12x2)min = 0.当 a= 0 时，f' (x)= 12x2 >0 恒成立(只有 x= 0 时 f' (x) = 0). a = 0符合题意.1 1若f(x)在 - 1, 1上为单调减函数，1 1则f'(x)w 0,在2 2上恒成立，2 1 1即12x2-a< 0 在- 2, 1上恒成立，2 1 1 a > 12x在2, 2上恒成立，2a(12x )max= 3.当 a= 3 时，f' (x)= 12x2 -3= 3(4x2- 1)< 0 恒成立(且只有 x=a的取值范围为多少

12、？1 1(x) > 0在-，上恒成立,g时 f' (x) = 0).因此，a的取值范围为a< 0或a> 3.17某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为 160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000 n元(n为圆周率).将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解 因为蓄水池侧面的总成本为100 2rn = 200nh(元)，底面的总成本为160

13、n2元，所以蓄水池的总成本为(200 nh + 160 n2)元.又根据题意 200 nh + 160 n2= 12 000 n,12所以 h=石(300 4r ),2 n3从而 V(r) = n h = 5(300r 4r ).因为r>0，又由h>0可得r<5 ,3,故函数V(r)的定义域为(0,5,3).n3因为 V(r) = 5(300r 4r ),n2故 V (r) = 5(300 12r ).令V' (r) = 0,解得门=5,2= 5(因为2= 5不在定义域内，舍去).当r (0,5)时，V' (r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数；当

14、 r (5,5 .3)时，V' (r)<0 ,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数.由此可知，V(r)在r = 5处取得最大值，此时 h = 8.即当r = 5, h= 8时，该蓄水池的体积最大.17. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)133的函数解析式可以表示为：y=x x+ 8(0v xw 120).已知甲、乙两地相距 100千128 000 80米.(1) 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)当x= 40时，汽车

15、从甲地到乙地行驶了100 = 2.5小时，133要耗油(面000% 403 80 40 + 8) X 2.5= 17.5(升).当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=(13128 000X310012 8001580X + 8)T =五x+ - -4(0< xw 120),xh (x) = 6408002xX3 80640x2(0< x< 120).令 h' (x) = 0,得 x= 80.当 x (0,80)时，h' (x)< 0, h(x)是减函数；当 x (80,120)时，h'

16、(x)>0, h(x)是增函数.当 x= 80 时，h(x)取到极小值 h(80) = 11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值.答当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 升.当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 升.1 3 118. 已知函数 f(x)= aln x §(a R,0).(1) 当a = 3时，求曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；求函数f(x)的单调区间；若对任意的x 1 ,+ )，都有f(x)> 0成立，求a的取值范围.1 Q1解(1)当 a =

17、 3 时，f(x) = §x3 3ln x 3, f(1) = 0,23 f (x)= x J, f' (1) = 2,曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程 2x+ y 2= 0.32 a x a(2) f' (x) = x ；=仪> 0).3x a 当a< 0时，f' (x)=> 0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0 ,+R).x 当a> 0时，令f' (x) = 0，解得x=鵜或x=需(舍).x(0,祐)%(需，+ 8 )f (x)0+f(x)减极小值增函数f(x)的递增区间为(祐，+)，递减区间为(0, 3a) 对任意的x 1 ,+ 8 )，使f(x) > 0成立，只需对任意的 x 1 ,+ 8 ), f(x)min > 0.1 1当 av 0 时，f(x)在1,+8)上是增函数