奇函数和偶函数

1、探究探究1:1:结合解析式结合解析式, ,从从”数数”上观察有什么特征上观察有什么特征? ? x x -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 f(x)=x f(x)=x2 2探究函数f(x)=x2的性质特征:从这个表格中大家发现了什么规律从这个表格中大家发现了什么规律?149491xy1 2 3-3-1-2o探究探究1:结合图象结合图象,从从”形形”上观察有什么特上观察有什么特征征?探究函数f(x)=x2的性质特征:猜想猜想:结论结论: 对任意的对任意的x,都有都有f(-x)=f(x)f(-1)=f(1) f(-2)=f(2)f(-3)=f(3) 对任意的对任意的x,都有都

2、有f(-x)=f(x)1 1偶函数的定义偶函数的定义: :函数奇偶性的定义:如果对于函数定义域内的任意实数如果对于函数定义域内的任意实数x,都有都有f(-x)=f(x),则则f(x)叫做偶函数。叫做偶函数。探究函数探究函数f(x)=x3的性质特征的性质特征:探究探究1:结合解析式结合解析式,从从”数数”上观察有什么特征上观察有什么特征? -3 -2 -1 1 2 3 x f(x)=x3? 从这个表格中大家发现了什么规律从这个表格中大家发现了什么规律?1-18 27-8-27.自变量为一对相反数自变量为一对相反数,对应的函数值也为相反数对应的函数值也为相反数探究函数探究函数f(x)=xf(x)=

3、x3 3的性质特征的性质特征: :f(-1)= -f(1) f(-2)= -f(2)f(-3)= -f(3) 猜想猜想:13-3-1-22xy。探究探究1:结合图象结合图象,从从”形形”上观察有什么特征上观察有什么特征?对任意的对任意的x,都有都有f(-x)= -f(x)结论结论:对任意的对任意的x,都有都有f(-x)= -f(x)3 如果一函数如果一函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,则则f(x)具有奇偶性具有奇偶性函数奇偶性的定义函数奇偶性的定义: :1 1 偶函数的定义偶函数的定义: :如果对于函数定义域内的任意实数如果对于函数定义域内的任意实数x,都都有有f(-x)=f(x)

4、,则则f(x)叫做偶函数叫做偶函数2 2 奇函数的定义奇函数的定义: :如果对于函数定义域内的任意实数如果对于函数定义域内的任意实数x,都有都有f(-x)= -f(x),则则f(x)叫做偶函数叫做偶函数对奇函数、偶函数定义的理解：对奇函数、偶函数定义的理解：1、若函数具有奇偶性，那么、若函数具有奇偶性，那么f(x)与与f(-x)都要有意义，都要有意义，x, -x必须同时在定义域内，必须同时在定义域内，因此定义域必须关于原点对称。因此定义域必须关于原点对称。2、定义域关于原点对称是函数具有奇、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的偶性的_条件条件必要必要说出下列区间是否关于原点对称说出下列区间是否

5、关于原点对称 R 5、(-,1)(1,+)（-1，1） 6、-2,-1,0,1,2 （-1，1 7、a,b (ab) (-,0)(0,+) 练习练习1 1练习练习2 2、判断下面图象是不是偶函数的图象、判断下面图象是不是偶函数的图象定义域：定义域：x R Rf(-1)=f(1) f(-3)=f(3) f(-4)=f(4).但但f(-2)f(2)xy123-3-1-24-4例例1判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性f(x)=x-1/x 解：定义域：解：定义域：x|x0f(-x)=x1/-x =-x+1/x =-f(x)f(x)是奇函数是奇函数 3 f(x)=(解：定义域：解：定义域：0,)

6、定义域不不关于原点对称定义域不不关于原点对称 f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数2、f(x)=2x4+3x2解：定义域：解：定义域：Rf(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x)f(x)是偶函数是偶函数f(x)=解：定义域：解：定义域：Rf(-x)=f(x)是偶函数是偶函数f(x)=解：由题意得：解：由题意得：如果如果f(x)是既奇又偶函数，求它的解析式是既奇又偶函数，求它的解析式解：对于定义域内任意实数解：对于定义域内任意实数x 若若f(x)为偶函数为偶函数 f(-x)=f(x) 若若f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)=-f(x)f(x)=-f(x)2 f(x)=0

7、f(x)=0探讨题：探讨题：如果如果f(x)是既奇又偶函数，求它的解是既奇又偶函数，求它的解析式析式解析式：解析式：f(x)=0既奇又偶函数有多少个？无数个既奇又偶函数有多少个？无数个只要定义域关于原点对称即可只要定义域关于原点对称即可探讨题：探讨题：按照奇偶性的不同，函数可以分为：按照奇偶性的不同，函数可以分为： 偶函数偶函数 奇函数奇函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 既奇又偶函数既奇又偶函数例例2判断函数判断函数f(x)=a (a R)的奇偶性的奇偶性解：当解：当a=0时，时，f(x)=a为既奇又偶函数为既奇又偶函数当当a0时，时，f(x)=a为偶函数为偶函数变式变式1：判断函数判断函数f(

8、x)=ax (a R)的奇偶性的奇偶性变式变式2：判断函数判断函数f(x)=a x-b (a R)的奇偶性的奇偶性 课后拓展：课后拓展：偶函数的图象以偶函数的图象以f(x)=x2为例为例偶偶函函数数的的图图像像关关于于Y轴轴对对称称xyo奇奇 函函 数数的的 原原图图 点点像像 叫叫关关 做做于于 对对原原 称称点点 中中对对 心心称称奇函数的图象奇函数的图象(以以f(x)=x3为例为例)xyo 设有数量足够多的相同面值的硬币设有数量足够多的相同面值的硬币, ,让每个人轮流的在圆形桌面上摆硬币让每个人轮流的在圆形桌面上摆硬币, ,每每次摆一个次摆一个, ,个个不能相互重叠个个不能相互重叠, ,

9、也不能有一也不能有一部分落在桌面的边缘之外部分落在桌面的边缘之外, ,这样这样, ,经过许多经过许多次以后次以后, ,谁先摆不下硬币就算输谁先摆不下硬币就算输, ,老师先摆老师先摆, ,试问试问, ,老师有办法让你们一定输。老师有办法让你们一定输。趣味游戏趣味游戏赢你没商量赢你没商量 函数函数f(x),对定义域内的任意一个对定义域内的任意一个x若若f(-x)= f(x),则则f(x)叫偶函数叫偶函数 若若f(-x)=-f(x),则则f(x)叫奇函数叫奇函数 小结小结定义：定义：判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法: :判断定义域是否关于原点判断定义域是否关于原点对称对称判断判断f(x),f

10、(-x)的关系的关系奇函数图象关于原点对称奇函数图象关于原点对称偶函数图象关于偶函数图象关于y轴对称轴对称数学与生活是紧密联系的数学与生活是紧密联系的,数数学来源生活学来源生活,生活离不开数学生活离不开数学用数学知识解决实际问题用数学知识解决实际问题探究、解决问题的一种方法探究、解决问题的一种方法体验数学中的对称美，简洁美体验数学中的对称美，简洁美图象特征图象特征 英国的一位名人罗素：英国的一位名人罗素：数学不但拥有真理，而且拥数学不但拥有真理，而且拥有至高的美。有至高的美。 古希腊数学家普洛克拉古希腊数学家普洛克拉斯说：哪里有数学，哪里就斯说：哪里有数学，哪里就有美。有美。 数学是一种美的科学数学是一种美的科学数学不缺乏美，只是缺乏发数学不缺乏美，只是缺乏发现美的眼睛，